第五講微積分的誕生人類精神的最高勝利

1、第五講微積分的誕生人類精神的最高勝利微積分產(chǎn)生的歷史背景教學(xué)目標(biāo)知識與能力 理解微積分產(chǎn)生的歷史背景. 了解促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題. 了解微積分誕生之前，眾多數(shù)學(xué)家所作出的不懈努力.過程與方法 結(jié)合學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，對微積分產(chǎn)生的歷史背景有更深的了解. 情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過對本課的學(xué)習(xí)，使大家了解歷史的發(fā)展需要偉人的推動.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn) 理解微積分產(chǎn)生的歷史背景.了解促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題.難點(diǎn) 理解微積分產(chǎn)生的歷史背景. 微積分是描述運(yùn)動過程的數(shù)學(xué)，它的產(chǎn)生為力學(xué)、天文學(xué)以及后來的電磁學(xué)等提供了必不可少的工具. 微積分并不是憑空產(chǎn)生的，它經(jīng)歷了長時(shí)間的醞釀過程.內(nèi)容解析 微積分產(chǎn)

2、生的前提有兩個(gè)：幾何坐標(biāo)和函數(shù)概念.這兩個(gè)方面由于笛卡兒和費(fèi)馬等人的工作，其基礎(chǔ)已基本具備. 恩格斯說：“社會一旦有技術(shù)上的需要，則這種需要就會比十所大學(xué)更能把科學(xué)推向前進(jìn)”. 到了17世紀(jì)，由于解析幾何的創(chuàng)立，使自然科學(xué)研究的中心轉(zhuǎn)向自然界的運(yùn)動和變化，古典算術(shù)或幾何、代數(shù)方法，甚至解析幾何，對自然界的運(yùn)動和變化都無能為力了，這就激起不少數(shù)學(xué)家致力尋找解決這些問題的新方法. 那么，促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題都有什么呢?瞬時(shí)速度問題切線問題函數(shù)的最值問題面積、體積、曲線長、重心和引力的計(jì)算瞬時(shí)速度問題 已知物體移動的距離表示為時(shí)間的函數(shù)的公式，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加

3、速度表示為時(shí)間的函數(shù)的公式，求速度和距離， 如何求不做勻速運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度就成為數(shù)學(xué)家們的一個(gè)當(dāng)務(wù)之急. 如果物體的運(yùn)動是勻速的，那么計(jì)算它的瞬時(shí)速度就是用運(yùn)動時(shí)間去除運(yùn)動距離. 如果物體的運(yùn)動不是勻速時(shí)，它的瞬時(shí)速度就不能用運(yùn)動時(shí)間去除運(yùn)動距離，因?yàn)樵诮o定的瞬間，移動的距離和所用的時(shí)間都是0，而0除以0是沒有意義的.分析 已知物體的速度公式求運(yùn)動的距離也會遇到同樣的問題.求變速運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度或運(yùn)動距離可以說是微分或積分概念最基本的現(xiàn)實(shí)原型之一.切線問題 馬克思曾指出：“全部微分學(xué)本來產(chǎn)生于求任意一條曲線上任意一點(diǎn)的切線問題”.切線概念，古希臘時(shí)代已有.例如歐幾里得的原本對圓的切線定義為

4、與圓僅接觸一點(diǎn)的直線. 希臘時(shí)代的這種切線定義，只是一種靜態(tài)的直覺定義，即是一種定性的描述，沒有給出求切線的一般方法. 后來根據(jù)圓的切線意義拓展到了曲線的一般定義:“一條與曲線如此相切的直線，使得在這條直線與曲線之間的空間中不能插進(jìn)其他的直線.” 17世紀(jì)，光學(xué)成為非常重要的研究領(lǐng)域，要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線射入透鏡的角度以便應(yīng)用反射與折射定律，而重要的角是光線與鏡面曲面法線（過曲線的切點(diǎn)與切線垂直的直線）的夾角，法線是垂直于切線的，所以問題在于求法線或切線. 另一個(gè)涉及曲線的切線的科學(xué)問題出現(xiàn)在運(yùn)動的研究中，運(yùn)動物體在它的軌跡上任一點(diǎn)處的運(yùn)動方向，是軌跡的切線方向.函數(shù)的最值問

5、題 早在16世紀(jì)，西歐各軍事強(qiáng)國的火炮制造技術(shù)就已經(jīng)非常先進(jìn).那么，一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題就是，發(fā)射角多大時(shí)炮彈獲得最大射程.16世紀(jì)的榴彈炮 17世紀(jì)初，意大利科學(xué)家伽利略（Galileo Galilei，15641642）認(rèn)識到炮彈彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言，在不考慮空氣阻力的情況下，當(dāng)發(fā)射角為45時(shí)炮彈的射程最大.此外，他還得到了發(fā)射角變化時(shí)炮彈所能達(dá)到的最大高度. 研究行星的運(yùn)動也涉及到求最大、最小值的問題，比如求行星離太陽最遠(yuǎn)和最近的距離.面積、體積、曲線長、重心和引力的計(jì)算 面積與體積計(jì)算問題古來有之：如曲線圍成的面積；曲面圍成的體積.17世紀(jì)上半葉，隨著天文學(xué)的長足進(jìn)步，這方面的問題變得更

6、為突出. 如德國天文學(xué)家開普勒給出的行星運(yùn)動三大定律和其他許多天文問題都涉及到行星運(yùn)動的軌道、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力等計(jì)算. 公元前4世紀(jì)，歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400約前347）提出計(jì)算曲邊形面積和體積的方法，此法在17世紀(jì)時(shí)稱“窮竭法”. 古希臘人曾用窮竭法計(jì)算出一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應(yīng)用了這個(gè)方法，但也必須加上很多技巧，所以這個(gè)方法缺乏一般性.這些長度、面積和體積計(jì)算問題就成為積分學(xué)的基本來源. 在微積分誕生之前，有眾多數(shù)學(xué)家為解決上述問題做出了不懈努力. 1615年，為了研究旋轉(zhuǎn)體的體積，開普勒引入了無窮大和無窮小概念，并指出：

7、圓是由無數(shù)個(gè)頂點(diǎn)在圓心的三角形構(gòu)成，圓周是由這些三角形的無窮小底邊構(gòu)成，把無限小的弧看成直線，把無限窄的面看成直線，把無限薄的體看做面.開普勒的求積術(shù) 意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利系統(tǒng)地運(yùn)用無窮小方法計(jì)算面積和體積.他假定：線是由無窮多個(gè)點(diǎn)組成，面是由無窮多條線組成，體是由無窮多個(gè)面組成.卡瓦列利利用幾何方法巧妙地求得若干曲邊圖形的面積，還證明了旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式.卡瓦列里不可分量原理 法國的笛卡兒的求切線方程的“圓法”、費(fèi)馬、帕斯卡的求極大、極小值的方法以及英國的巴羅的“微分三角形”和沃利斯的“無窮算術(shù)” 為解決上述問題都作出了獨(dú)特的貢獻(xiàn). 雖然眾多數(shù)學(xué)家的研究工作為微積分的誕生做了積極的準(zhǔn)備，但他們的方法粗糙且缺乏一般性.當(dāng)時(shí)還無人認(rèn)識到求面（體）積、求極值、求瞬時(shí)速度和求切線四者之間的內(nèi)在聯(lián)系，更未能意識到微分與積分之間的互逆關(guān)系.歷史的發(fā)展需要偉人的推動，在時(shí)代的召喚下，牛頓與萊布尼茨脫穎而出，擔(dān)負(fù)起這項(xiàng)偉大的任務(wù).課堂小結(jié)微積分產(chǎn)生的歷史背景: 微積分產(chǎn)生的前提有兩個(gè)：幾何坐標(biāo)和函數(shù)概念. 近代微積分的產(chǎn)生經(jīng)過了半個(gè)多世紀(jì)的準(zhǔn)備與醞釀，有著深刻的社會背景.隨著資本主義社會生產(chǎn)力的蓬勃發(fā)展，17世紀(jì)上半葉出現(xiàn)了許多重大的科學(xué)問題，這些問題的解決需要新的數(shù)學(xué)工具.促使微積分