概率論 第5章 大數(shù)定律及中心極限定理

1、第五章大數(shù)定律1 在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時(shí)候一個(gè)有限的和很難求, 但一經(jīng)取極限由有限過(guò)渡到無(wú)限, 則問(wèn)題反而好辦. 例如, 若對(duì)某一x,要計(jì)算和 而一經(jīng)取極限，則有簡(jiǎn)單的結(jié)果 2 事實(shí)證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是正態(tài)分布，由此可見(jiàn)正態(tài)分布的重要性。對(duì)和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類(lèi)極限定理的研究，在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了“中心極限定理”的名稱(chēng)。本章將列述這類(lèi)定理中最簡(jiǎn)單，然而也是最重要的情況。 3 在概率論中，另一類(lèi)重要的極限定理是所謂“大數(shù)定律”。 在第一章中我們已經(jīng)討論了“頻率的穩(wěn)定性”。 大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率接

2、近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是事件發(fā)生的概率。“大數(shù)”的意思，就是指試驗(yàn)數(shù)目是大量的。 4記作1 大數(shù)定律 5幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理1（切比雪夫大數(shù)定律） 設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，則對(duì)任意的 有或依概率收斂6解釋:取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了,7定理2（伯努利大數(shù)定律）或 下面給出的伯努利大數(shù)定律, 是定理1的一種特例. 設(shè)nA是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的 ,有8是事件A發(fā)生的頻率， 貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次

3、數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.這就是頻率穩(wěn)定性的理論解釋。 歷史上，貝努利第一個(gè)研究了這種類(lèi)型的極限定理，在1713年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認(rèn)為，概率論的真正歷史應(yīng)從出現(xiàn)貝努利大數(shù)定律的時(shí)刻算起。 9 下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xi)=, i=1,2,，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑.10 例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n

4、 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).11 將一枚均勻?qū)ΨQ(chēng)的骰子重復(fù)擲n次，求n次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂的極限 例1解其共同的數(shù)學(xué)期望為 12 觀(guān)察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.2 中心極限定理13 中心極限定理，正是從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函

5、數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。 14下面介紹幾個(gè)常用的中心極限定理。 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類(lèi)定理都叫做中心極限定理.15 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身，而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.16列維一林德伯格中心極限定理17（證略） 18此定理說(shuō)明,當(dāng)n充分大時(shí),有 或19 將n個(gè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按“四舍五入”舍去小數(shù)位后化為整數(shù)試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)， 例1解(1) 當(dāng)n=1500時(shí)，舍入誤差之和

6、的絕對(duì)值大于15的概率； (2) n滿(mǎn)足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差 之和的絕對(duì)值小于10 根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí) 20(1)21(2)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n應(yīng)滿(mǎn)足條件： 即當(dāng) 時(shí)，才能使誤差之和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90 22下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。 棣莫弗-拉普拉斯定理23或即有近似計(jì)算公式 24例2 設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬(wàn)個(gè)人參加投保,每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi).在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬(wàn)元,問(wèn):(1)該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少?(2)該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40,60,80萬(wàn)元的概率各是多少? 解設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X,則 由D-L中心極限定理, 即該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎為0. 2526 練習(xí)：習(xí)題五 5. 8. 27解由中心極限定理知,補(bǔ)充題28解由中心極限定理知,29 假設(shè)生產(chǎn)線(xiàn)組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立. 3.(1)試求組裝100件成品需要15到20小時(shí)的概率； (2)以95%的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品? 解設(shè)第i件組裝的時(shí)間為Xi分鐘,i=1,100. 利用獨(dú)立同分布中心極限定理. (1)30(2)查表得 解得故最