江蘇省十一校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期階段聯(lián)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、江蘇省十一校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期階段聯(lián)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘 總分150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得的坐標(biāo).【詳解】設(shè)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，故選：B2. 要從a，b，c，d，e 5個(gè)人中選出1名組長(zhǎng)和1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，則不同的選法種數(shù)是（ ）A. 20B. 16C. 10D. 6【答案】B【解析】【分析】利用間接法，先求總的選2人擔(dān)任正副組長(zhǎng)的選法，再減去當(dāng)副組長(zhǎng)的情況，即為所求【

2、詳解】不考慮限制條件5人中選2人擔(dān)任正副組長(zhǎng)有種選法，若a當(dāng)副組長(zhǎng)，有種選法，故a不當(dāng)副組長(zhǎng)，有 (種)選法.故選：B3. 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. 540B. C. 162D. 【答案】D【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求出，然后寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得常數(shù)項(xiàng)所在項(xiàng)數(shù)，從而得常數(shù)項(xiàng)【詳解】的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，解得 所以的通項(xiàng)公式為： 當(dāng)時(shí)，為常數(shù)故選：D4. 已知，且事件A、B相互獨(dú)立，則（ ）A. 0.18B. 0.5C. 0.3D. 0.9【答案】A【解析】【分析】由概率的乘法公式求解作答.【詳解】由題意得.故選：A5. 已知隨機(jī)變量，且，則的值為（

3、）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求解.【詳解】解：，故選：C.6. 展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)定理得出展開(kāi)式中的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可求解；【詳解】由題意可知，展開(kāi)式中的系數(shù)為.所以原式的展開(kāi)式的系數(shù)為：故選：D.7. 盒中有3個(gè)紅球，4個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球2個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件表示第一次抽取的是黑球，

4、事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以，故選：B8. 已知水平直線上的某質(zhì)點(diǎn)，每次等可能的向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，則在第6次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)恰好回到初始位置的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)為零，每次加或者減，經(jīng)過(guò)6次后，結(jié)果還是零的問(wèn)題.用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】該問(wèn)題等價(jià)于：一個(gè)數(shù)據(jù)為零，每次加或者減，經(jīng)過(guò)6次后，結(jié)果還是零的問(wèn)題.則每次都有加1或者減1兩種選擇，共有種可能；要使得結(jié)果還是零，則只需6次中出現(xiàn)3次加1，剩余3次為減1，故滿足題意的可能有：種可能.故滿足題意的概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解

5、，屬基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9. 下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）A. 空間向量，（，），若，則B. 若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，則P、A、B、C四點(diǎn)共面C. 已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D. 任意向量，滿足【答案】ABC【解析】【分析】A.利用空間向量數(shù)量積的定義判斷；B.利用空間向量共線定理的推論判斷；C.利用空間基底的定義判斷；D.根據(jù)與 共線，與 共線判斷.【詳解】A.空間向量，（，），若，則，所以，故正確；B. 若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，且，則P、A、

6、B、C四點(diǎn)共面，故正確；C.因?yàn)槭强臻g的一組基底,所以不共面，則也不共面，又，所以不共面，則也是空間的一組基底，故正確；D.因?yàn)榕c 共線，與 共線，又，是任意向量，所以 與 不一定相等，故錯(cuò)誤；故選：ABC10. 為研究需要，統(tǒng)計(jì)了兩個(gè)變量x，y的書(shū)籍情況如表：xy其中數(shù)據(jù)，和數(shù)據(jù)，的平均數(shù)分別為，并且計(jì)算相關(guān)系數(shù)，回歸方程為，則（ ）A. 點(diǎn)必在回歸直線上，即B 變量x，y正相關(guān)C. 當(dāng)，則必有D. 【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)回歸方程的性質(zhì)和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)必在回歸直線上，所以，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以變量x，y負(fù)相關(guān)，所以B錯(cuò)

7、誤，對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)不一定在回歸直線上，所以當(dāng)，不一定有，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以，所以D正確，故選：AD11. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. ，B. 隨機(jī)變量滿足，則C. D. 若，則【答案】ACD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的期望和方差可判斷A選項(xiàng)；利用期望的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可判斷CD選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，隨機(jī)變量滿足，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，則，D對(duì).故選：ACD.12. （多選）甲盒中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙盒中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，先從甲

8、盒中隨機(jī)取出一球放入乙盒用事件A表示“從甲盒中取出的是紅球”，用事件B表示“從甲盒中取出的是白球”；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一球，用事件C表示“從乙盒中取出的是紅球”，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 事件B與事件C是互斥事件B. 事件A與事件C不是獨(dú)立事件C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷A；根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義即可判斷B；分第一次取白球和紅球兩種情況討論，從而可判斷C；根據(jù)條件概率公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：事件B與事件C能同時(shí)發(fā)生，事件A與事件B不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：事件A發(fā)生與否與事件C有關(guān)，故B正確：對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，所以，故D正確

9、故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13. 若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X的均值_【答案】【解析】【分析】由超幾何分布期望公式直接求解即可.【詳解】由題意知：.故答案為：.14. 已知單位向量，滿足，則_【答案】#【解析】【分析】先由題設(shè)得，兩邊平方結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】由題意知：，可得，即，又，則，解得.故答案為：.15. 現(xiàn)有甲乙兩類(lèi)零件共8件，其中甲類(lèi)6件，乙類(lèi)2件，若從這8件零件中選取3件，則甲乙兩類(lèi)均被選到的方法共有種_.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)【答案】36【解析】【分析】利用計(jì)數(shù)原理可得甲乙兩類(lèi)均被選到的方法共有；【詳解】甲乙兩類(lèi)均被選到分兩種情況：（1）

10、甲類(lèi)選2個(gè)，乙類(lèi)選1個(gè)，即；（2）甲類(lèi)選1個(gè)，乙類(lèi)選2個(gè)，即；所以總數(shù)共有：，故答案為：.16. 男子冰球比賽上演的是速度與激情的碰撞.2022北京冬奧會(huì)男子冰球主要比賽場(chǎng)館是位于北京奧林匹克公園的“冰之帆”國(guó)家體育館本屆冬奧會(huì)男子冰球有12支隊(duì)伍進(jìn)入正賽，中國(guó)首次組隊(duì)參賽，比賽規(guī)則12支男子冰球參賽隊(duì)先按照往屆冬奧會(huì)賽制分成三個(gè)小組（每組4個(gè)隊(duì)）正賽分小組賽階段與決賽階段；小組賽階段各組采用單循環(huán)賽制（小組內(nèi)任兩隊(duì)需且僅需比賽一次）；決賽階段均采用淘汰制（每場(chǎng)比賽勝者才晉級(jí)），先將12支球隊(duì)按照小組賽成績(jī)進(jìn)行種子排名，排名前四的球隊(duì)晉級(jí)四分之一決賽（且不在四分之一決賽中遭遇），其余8支球隊(duì)按

11、規(guī)則進(jìn)行附加賽（每隊(duì)比賽一次，勝者晉級(jí)），爭(zhēng)奪另外4個(gè)四分之一決賽席位，隨后依次是四分之一決賽、半決賽、銅牌賽、金牌賽則本屆冬奧會(huì)男子冰球項(xiàng)目從正賽開(kāi)始到產(chǎn)生金牌，組委會(huì)共要安排_(tái)場(chǎng)比賽【答案】30【解析】【分析】分別求出小組賽、附加賽、四分之一決賽、銅牌賽、金牌賽各自比賽場(chǎng)次,加起來(lái)能求出組委會(huì)共要安排多少場(chǎng)比賽.【詳解】根據(jù)賽制,小組賽共安排比賽場(chǎng)比賽，附加賽共安排82=4場(chǎng)比賽，四分之一決賽共安排82=4場(chǎng)比賽，半決賽共安排42=2場(chǎng)，銅牌賽、金牌賽各比賽一場(chǎng)，共2場(chǎng)，故本屆冬奧會(huì)男子冰球項(xiàng)目從正賽開(kāi)始到產(chǎn)生金牌,組委會(huì)共要安排:184十422=30場(chǎng)比賽.故答案為：30四、解答題：本大

12、題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17. 如圖所示，在正方體中，點(diǎn)M，N分別在和DB上，且，（1）求線段MN的長(zhǎng)；（2）求直線和平面DMN所成角的大小【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知將求出，再求其模長(zhǎng)即可；（2）將與平面DMN的法向量求出，利用向量法求解線面所成角即可.【小問(wèn)1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，.因?yàn)辄c(diǎn)M在上，設(shè)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)N在DB上，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，所?【小問(wèn)2詳解】設(shè)為平面DMN的法向量，因?yàn)?，由，得，取，所以為平面DMN的一個(gè)法向量.記直線和平面DMN所成角為，因

13、為，所以，所以直線和平面DMN所成角為.18. 某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：元24568元3040605070（1）求出線性回歸方程；（2）當(dāng)廣告費(fèi)支出為12（元）時(shí)，求銷(xiāo)售額y的線性回歸估計(jì)值附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，【答案】（1） （2）95.5（元）【解析】【分析】（1）先求出，結(jié)合公式求出即可得線性回歸方程（2）將代入線性回歸方程求出即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)線性回歸方程為易得， -3-1013-20-1010020，所以【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，故當(dāng)廣告費(fèi)支出為12（元）時(shí)，銷(xiāo)售額y的線性回歸估計(jì)值為95.5（元）19. 甲、乙兩名運(yùn)

14、動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為.如果比賽采用“五局三勝（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）”比賽規(guī)則.（1）求甲獲勝的概率；（2）記甲、乙比賽的局?jǐn)?shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1） （2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）甲前三局勝了兩局，且第四局甲勝，即可求解.(2)列出的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再列出分布列，即可求出期望.【小問(wèn)1詳解】記甲獲勝為事件，說(shuō)明甲前三局勝了兩局，且第四局甲勝，所以答：甲獲勝的概率為【小問(wèn)2詳解】可能取值是3、4、5，所以345則20. 2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式于2月4日在國(guó)家體育館舉行，北京成

15、為了歷史上首個(gè)同時(shí)舉辦夏奧會(huì)與冬奧會(huì)的“雙奧城市”，冬奧會(huì)上，各種炫酷的冰雪運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目在青少年中掀起了一股冰雪運(yùn)動(dòng)熱潮為了了解某班學(xué)生喜愛(ài)冰壺項(xiàng)目是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)總計(jì)男生15女生20總計(jì)50已知在全班50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為0.6（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）；（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？附：，其中0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）填表見(jiàn)解析 （2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)

16、0.005的前提下認(rèn)為喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得完整的列聯(lián)表.（2）根據(jù)公式可求的值，對(duì)照臨界值表可得相應(yīng)的結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄矏?ài)冰壺運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的概率為0.6，故喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為30人，故補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)總計(jì)男生101525女生20525總計(jì)302050【小問(wèn)2詳解】由，所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜愛(ài)冰壺運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)21. 如圖，四棱雉的底面為直角梯形，平面（1）求異面直線與所成的角的余弦值；（2）求出點(diǎn)A在平面上的投影M的坐標(biāo)【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）以D點(diǎn)為原點(diǎn)， ，

17、分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量的夾角公式求解即可，（2）設(shè)，則，表示出，然后由，列方程組可求出結(jié)果【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，兩兩垂直，所以以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以異面直線與所成的角的余弦值為【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則又，由，得，解得所以22. 法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)購(gòu)買(mǎi)一個(gè)面包，面包師聲稱(chēng)自己出售的每個(gè)面包的平均質(zhì)量是1000，上下浮動(dòng)不超過(guò)50.這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布.（1）假設(shè)面包師說(shuō)法是真實(shí)的，從面包師出售的面包中

18、任取兩個(gè)，記取出的兩個(gè)面包中質(zhì)量大于1000的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）作為一個(gè)善于思考的數(shù)學(xué)家，龐加萊每天都會(huì)將買(mǎi)來(lái)的面包稱(chēng)重并記錄，25天后，得到數(shù)據(jù)如下表，經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包總質(zhì)量為24468.龐加萊購(gòu)買(mǎi)的25個(gè)面包質(zhì)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：）981972966992101010089549529699789891001100695795296998198495295998710061000977966盡管上述數(shù)據(jù)都落在上，但龐加菜還是認(rèn)為面包師撒謊，根據(jù)所附信息，從概率角度說(shuō)明理由附：若，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知：隨機(jī)變量若，則，；通常把發(fā)生概率在0.05以下的事件稱(chēng)為小概率事件.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；期望為1（個(gè)）（2）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意知，的所有可能取值為0，1，2.可求得；.從而可求得的分布列和其數(shù)學(xué)期望.（2）記面包師制作的每個(gè)面包的質(zhì)量為隨機(jī)變量X.假設(shè)面包師沒(méi)有撒謊，則.由附，從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)，記這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則.可求得這25個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為，而由