2021-2022學(xué)年浙江省溫州市平陽高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知三棱柱的所有棱長均相等，側(cè)棱平面，過作平面與平行，設(shè)平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關(guān)系為( )ABCD2已知，則（ ）ABCD23已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（ ）ABCD4一個組合體

2、的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的體積是（ ）ABCD5已知單位向量，的夾角為，若向量，且，則（ ）A2B2C4D66已知函數(shù)，集合，則（ ）ABCD7設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件8關(guān)于函數(shù)，有下列三個結(jié)論:是的一個周期；在上單調(diào)遞增；的值域為.則上述結(jié)論中，正確的個數(shù)為（）ABCD9若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（ ）ABC6D810當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（ ）ABCD11國務(wù)院發(fā)布關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見中提出，要優(yōu)先落實教育投入某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年

3、國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù)，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（ ）A隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B年以來，國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C從年至年，中國的總值最少增加萬億D從年到年，國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年12已知為銳角，且，則等于（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在中，則_14若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為_15已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為_.16已知，則展開式中的系數(shù)為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文

4、字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知，求證：（1）；（2）.18（12分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的方程為.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求出直線l與曲線C的交點M，N的極坐標(biāo)；（2）設(shè)P是橢圓上的動點，求面積的最大值.19（12分）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線交橢圓于兩點，線段的中點在直線上，求證：線段的中垂線恒過定點.20（12分）已知函數(shù)（，）滿足下列3個條件中的2個條件：函數(shù)的周期為；是函數(shù)的對稱軸；且在區(qū)間上單調(diào).（）請指出這二個條件，并求出函數(shù)的解析式；（）

5、若，求函數(shù)的值域.21（12分）如圖，四棱錐的底面ABCD是正方形，為等邊三角形，M，N分別是AB，AD的中點，且平面平面ABCD.（1）證明：平面PNB；（2）問棱PA上是否存在一點E，使平面DEM，求的值22（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（）設(shè)直線與曲線交于，兩點，求；（）若點為曲線上任意一點，求的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】利用圖形作出空間中兩直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，

6、設(shè)為的中點，為的中點，由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，由題易知，的補角，分別為，設(shè)三棱柱的棱長為2，在中，；在中，；在中，.故選：B【點睛】本題主要考查了空間中兩直線所成角的計算，考查了學(xué)生的作圖，用圖能力，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).2B【解析】結(jié)合求得的值，由此化簡所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.【詳解】由，以及，解得.故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.3C【解析】令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)

7、正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.4C【解析】根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為2的棱柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，即，故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.5C【解析

8、】根據(jù)列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，故選C【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.7C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.8B【解析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個判斷即可求出【詳解】因為，所以是的一個周

9、期，正確；因為，所以在上不單調(diào)遞增，錯誤；因為，所以是偶函數(shù)，又是的一個周期，所以可以只考慮時，的值域當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，的值域為，錯誤；綜上，正確的個數(shù)只有一個，故選B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用9A【解析】依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：雙曲線的離心率為，所以，雙曲線的焦距為.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點，不正確，設(shè)，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的

10、應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.11C【解析】觀察圖表，判斷四個選項是否正確【詳解】由表易知、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表，正確認(rèn)識圖表是解題基礎(chǔ)12C【解析】由可得，再利用計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對三角函數(shù)式化

11、簡求值公式的靈活運用的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】由已知利用余弦定理可得，即可解得的值【詳解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）故答案為：1【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14【解析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出得答案【詳解】，則，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，故答案為【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題15【解析】根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率

12、公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經(jīng)過點，即，則，由此可得.故答案為：.【點睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.161【解析】由題意求定積分得到的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，求出展開式中的系數(shù)【詳解】已知，則，它表示4個因式的乘積故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項故展開式中的系數(shù)故答案為：1【點睛】本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析；（2）見解析【解析】（1

13、）結(jié)合基本不等式可證明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他兩個式子，三式相加可證結(jié)論【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號成立，；（2）由基本不等式，同理，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號成立【點睛】本題考查不等式的證明，考查用基本不等式證明不等式成立解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式，方法是綜合法18（1），；（2）.【解析】（1）利用公式即可求得曲線的極坐標(biāo)方程；聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程，即可求得交點坐標(biāo)；（2）設(shè)出點坐標(biāo)的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程： 聯(lián)立，得，又因為都滿足兩方程，故兩曲線的交點為，.（2）易知，直線. 設(shè)點，則點到直線的距

14、離（其中）. 面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.19（）；（）詳見解析.【解析】（）把點代入橢圓方程，結(jié)合離心率得到關(guān)于的方程，解方程即可；（）聯(lián)立直線與橢圓方程得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和中垂線的定義求出線段的中垂線方程即可證明.【詳解】（）由已知橢圓過點得，又，得，所以，即橢圓方程為.（）證明： 由，得，由，得，由韋達(dá)定理可得，設(shè)的中點為，得，即，的中垂線方程為，即，故得中垂線恒過點.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中的定值問題；考查運算求解能力和知識

15、的綜合運用能力；正確求出橢圓方程和利用中垂線的定義正確表示出中垂線方程是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.20（）只有成立，；（）.【解析】（）依次討論成立，成立，成立，計算得到只有成立，得到答案.（）得到，得到函數(shù)值域.【詳解】（）由可得，；由得：，；由得，；若成立，則，若成立，則，不合題意，若成立，則，與中的矛盾，所以不成立，所以只有成立，.（）由題意得，所以函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期，對稱軸，單調(diào)性，值域，表達(dá)式，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.21（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）根據(jù)題意證出，再由線面垂直的判定定理即可證出.（2）連接AC交DM于點Q，連接EQ，利用線面平行的性質(zhì)定理可得，從而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，M，N分別是AB，AD的中點，.又，.為等邊三角形，N是AD的中點，.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，平面ABCD.又平面ABCD，.平面PNB，平面PNB.（2）解：存在.如圖，連接AC交DM于點Q，連接EQ.平面DEM，平面PAC，平面平面，.在正方形ABCD中，且.，.故.所以棱PA上存在點E，使平面DEM，此時，E是棱A的靠近點A的三等分點.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線