2021-2022學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知向量，且，則m=( )A8B6C6D82已知函數(shù)，若則（ ）Af(a)f(b) f(c)Bf(b) f(c) f(a)Cf(a) f(c) f(b)Df(c) f(b) f(a)3如圖，雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近

2、線(xiàn)分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ）ABCD4木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（ ） ABCD5某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為( )ABCD6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（ ）AB4CD7已知的值域?yàn)?，?dāng)正數(shù)a，b滿(mǎn)足時(shí)，則的最小值為（ ）AB5CD98如果實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，那么的最大值為（ ）ABCD9已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；若函數(shù)在上不單調(diào)，則；當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1A1B2C3D410如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績(jī)，算

3、法框圖中輸入的，為莖葉圖中的學(xué)生成績(jī)，則輸出的，分別是（） A，B，C，D，11如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()ABCD12已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)的焦距為，若過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)與兩條漸近線(xiàn)圍成的三角形面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi).14如圖是一個(gè)算法的偽代碼，運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)15已知向量，且，則_16對(duì)定義在上的函數(shù)，如果同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的總有；（2）當(dāng)，時(shí)，總有成立.則稱(chēng)函數(shù)稱(chēng)為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).

4、三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，滿(mǎn)足（1）求內(nèi)角的大小（2）已知，設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn)，且，求平面四邊形面積的最大值.18（12分）已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明曲線(xiàn)的形狀；(2)若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng).19（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若直線(xiàn)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，求的值.20（12分）如圖，在直三棱柱中，

5、點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).（）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫(xiě)出的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（）求二面角的余弦值.21（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根，求證：.22（10分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典數(shù)書(shū)九章中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中，底面ABCD是矩形.平面，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫(xiě)出它每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

6、（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案【詳解】，又，34+（2）（m2）0，解得m1故選D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2C【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；在同一坐標(biāo)系中作與圖象，可得，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，

7、屬于中檔題.3A【解析】易得，過(guò)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為T(mén)，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過(guò)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為T(mén)，故，又所以，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題，在作雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.4C【解析】由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來(lái)的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為，底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為，圓錐的高，圓錐母線(xiàn)，截去的底面弧的圓心角為120，底面剩余部分的面積為，故幾何體的體積為：.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查

8、了三視圖還原幾何體及體積求解問(wèn)題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.5A【解析】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀(guān)圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，且平面，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵6A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到

9、的的值，當(dāng)，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下：，；，；，；，；，；，；，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.7A【解析】利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：的值域?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.8B【解析】解：當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，故選B9C【解析】逐一分析選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判斷；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿(mǎn)足條件，則極值點(diǎn)必在區(qū)

10、間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】為奇函數(shù)，其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，正確由題意知因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確由題意知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上為增函數(shù)，不合題意，故令，解得因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上有解，需，解得，正確令，得根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或因?yàn)?，所以最大值?4，結(jié)論錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.10B【解析】試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計(jì)的是成績(jī)不小于80和成績(jī)不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績(jī)不小于80的有1

11、2個(gè)，成績(jī)不小于60且小于80的有26個(gè)，故，考點(diǎn)：程序框圖、莖葉圖11A【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀(guān)圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，高為.該幾何體的體積為故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.12A【解析】先求出函數(shù)在處的切線(xiàn)方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在處的切線(xiàn)方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選

12、：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)與兩條漸近線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，則，由已知，即，所以，離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，做此類(lèi)題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.1413【解析】根據(jù)題意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿(mǎn)足條件，故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.15【解析】根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)

13、的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16【解析】由不等式恒成立問(wèn)題采用分離變量最值法：對(duì)任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，從而可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上G函數(shù)，所以對(duì)任意的總有，則對(duì)任意的恒成立，解得，當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，時(shí)，總有成立，即 恒成立，即恒成立，又此時(shí)的最小值為，即恒成立，又因?yàn)?解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題是一道函數(shù)新定義題目，考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生分析理解能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17

14、（1）（2）【解析】（1）首先利用誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本關(guān)系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理可得：，則，得到，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；【詳解】解：（1）由，；（2）由（1）知，是正三角形，設(shè)，由余弦定理得：，所以當(dāng)時(shí)有最大值【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換公式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.18 (1) 曲線(xiàn)表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn);(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)

15、方程；（2）由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得的值，再將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義可得直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng).試題解析：（1）由可得，即， 曲線(xiàn)表示的是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為的拋物線(xiàn). （2）將代入，得， ， ， ，直線(xiàn)的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入得，由直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義可知，. 19（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn)，由此求得，結(jié)合橢圓離心率求得，進(jìn)而求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線(xiàn)的方程.聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得的面積.（2）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓

16、方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由此求得的值，根據(jù)在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點(diǎn)為，所以直線(xiàn)：，聯(lián)立，消去整理得，解得，所以的面積.（2）由題知，設(shè)，.由題還可知，直線(xiàn)的斜率不為0，故可設(shè)：.由，消去，得，所以所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.20（）存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，且，證明詳見(jiàn)解析；（）.【解

17、析】（）可考慮采用補(bǔ)形法，取的中點(diǎn)為，連接，可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線(xiàn)面垂直性質(zhì)，先證平面，即，若能證明，則可得證，可通過(guò)我們反推出點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置應(yīng)在處，進(jìn)而得證；（）采用建系法，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面對(duì)應(yīng)法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；【詳解】（）存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，且.證明如下：取的中點(diǎn)為，連接.則，所以平面.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交線(xiàn)為，所以平面，所以.在平面內(nèi)，所以，從而可得.又因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.易知，所以，.設(shè)平面的法向量為，則有取，得.同理可求得平面

18、的法向量為.則.由圖可知二面角為銳角，所以其余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題21（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，；若，；故此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則=，（也可代入后再求導(dǎo)）在上單調(diào)遞減，故對(duì)于時(shí)，總有.由此得【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.22（1）證明見(jiàn)解析，是，；（2）【解析】（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面， 得到，再由線(xiàn)面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而得到，再利用線(xiàn)面垂直的判定定