2022屆福建省福州市重點高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)集合Ay|y2x1，xR，Bx|2x3，xZ，則AB（ ）A（1，3B1，3C0，1，2，3D1，0，1，2，32若實數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)，則z 的最大值為()AB1C2D03

2、已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD4已知集合，集合，則（ ）.ABCD5已知集合A0，1，B0，1，2，則滿足ACB的集合C的個數(shù)為（）A4B3C2D16已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A向左平移個單位長度B向右平移個單位長度C向左平移個單位長度D向右平移個單位長度7下列四個圖象可能是函數(shù)圖象的是（ ）ABCD8已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）ABCD9已知函數(shù)，若有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD10小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：0012：10之間隨機到達(dá)小王所居住的樓下，則小

3、王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（ ）ABCD11已知直線過雙曲線C：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的離心率為ABCD12已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意， ，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在等差數(shù)列（）中，若，則的值是_.14已知均為非負(fù)實數(shù)，且，則的取值范圍為_15已知，是平面向量，是單位向量.若，且，則的取值范圍是_.16不等式的解集為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）2019年是五四運動100周年.五四運動以來

4、的100年，是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際，學(xué)校組織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18（12分）如圖，在直三棱柱中，點P

5、，Q分別為，的中點.求證：（1）PQ平面；（2）平面.19（12分）已知函數(shù)（I）若討論的單調(diào)性；（）若，且對于函數(shù)的圖象上兩點，存在，使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證：.20（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值與最小值.21（12分）已知函數(shù)，其中.（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在定義域上有兩個極值點，且.求實數(shù)的取值范圍；求證：.22（10分）如圖，在三棱柱中，、分別是、的中點.（1）證明：平面

6、；（2）若底面是正三角形，在底面的投影為，求到平面的距離.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】解：集合Ay|y2x1，xRy|y1，Bx|2x3，xZ2，1，0，1，2，3，AB0，1，2，3，故選：C【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題2C【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x，y滿足條件，目標(biāo)函數(shù)如圖：當(dāng)時函數(shù)取最大值為 故答案選C【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)的最值:當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值

7、最大，在軸截距最小時，z值最小；當(dāng)時，直線過可行域且在軸上截距最大時，值最小，在軸上截距最小時，值最大.3B【解析】根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】當(dāng)時，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當(dāng)時，令當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當(dāng)時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為， 故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.4A【解析】算出集合A、B及，再求補集即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【點睛】本題

8、考查集合的交集、補集運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題.5A【解析】由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.6A【解析】由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象故選A考點：函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法：7C【解析】首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，因為為奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即可排除A、D，再根據(jù)時函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】的定義域為，其圖象可由

9、的圖象沿軸向左平移1個單位而得到，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，的圖象關(guān)于點成中心對稱.可排除A、D項.當(dāng)時，B項不正確.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.8A【解析】首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調(diào)性和零點，令，根據(jù)“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，為增函數(shù)，且，則是唯一零點.由于“當(dāng)時，.”，所以令，得，因為，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查

10、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9C【解析】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，令，可得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，若直線和有兩個交點，則.實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)零點求參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.10C【解析】設(shè)出兩人到達(dá)小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時間分別為，以12：00點

11、為開始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運算能力.11B【解析】直線的傾斜角為，易得設(shè)雙曲線C的右焦點為E，可得中，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B12A【解析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為對任意， ，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.

12、【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13-15【解析】是等差數(shù)列，則有，可得的值，再由可得，計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，又，故.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，也可以由已知條件求出和公差，再計算.14【解析】設(shè),可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結(jié)合的取值范圍求關(guān)于的二次函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則 ,因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以 ,即,令則函數(shù)的對稱軸為,所以當(dāng)時函數(shù)有最大值為,即當(dāng)且，即，或，時取等號；因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,令,則函數(shù)的對稱軸為,

13、所以當(dāng)時,函數(shù)有最小值為,即，當(dāng),且時取等號，所以.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數(shù)求最值相結(jié)合求代數(shù)式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型、難度大型試題.15【解析】先由題意設(shè)向量的坐標(biāo)，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解【詳解】由是單位向量若，設(shè)，則，又，則，則，則，又，所以，（當(dāng)或時取等）即的取值范圍是，故答案為：，【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平16【解析】通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得，解得，所以解集是?！军c睛】本題主要考查

14、無理不等式的解法。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）分布列見解析，期望為【解析】（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類題包含兩個事件：一個抽到2道B類題，一個是抽到3個B類題，計算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計算概率得分布列，再由期望公式計算期望【詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類題”為事件，則抽到2道類題有種取法，抽到3道類題有種取法，；（2）的所有可能值分別為，的分布列為：0123【點睛】本題考查古典概型，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望解題關(guān)鍵是掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式18（1）見解析（2）見解析【解析】（1

15、）取的中點D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，和都是平面內(nèi)的直線且交于點，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，中點，且.在直三棱柱中，.Q為棱的中點，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點，.由（1）知，.又，平面，平面，平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.19 (1)見解析(2)見證明【解析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，以及，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到，將證明轉(zhuǎn)化為證明即可，再令，設(shè) ，用導(dǎo)數(shù)方

16、法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)論成立.【詳解】（1）解：易得，函數(shù)的定義域為，令，得或.當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞減；或時，函數(shù)單調(diào)遞增.此時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.當(dāng)時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；此時，的減區(qū)間為. 綜上，當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為：當(dāng)時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.；當(dāng)時，增區(qū)間為.（2）證明：由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得由（1）中得.易知，導(dǎo)函數(shù) 在上為增函數(shù)，所以，要證，只要證，即，即證.因為，不妨令，則 .所以 ，所以在上為增函數(shù)，所以，即，所以，即，即.故有（得證）.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)

17、，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)極值等即可，屬于常考題型.20（1），（2）最大值，最小值【解析】（1）由曲線的參數(shù)方程，得兩式平方相加求解，根據(jù)直線的極坐標(biāo)方程，展開有，再根據(jù)求解.（2）因為曲線C是一個半圓，利用數(shù)形結(jié)合，圓心到直線的距離減半徑即為最小值，最大值點由圖可知.【詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得：因為直線的極坐標(biāo)方程為.所以所以即（2）如圖所示：圓心C到直線的距離為：所以圓上的點到直線的最小值為：則點M(2，0)到直線的距離為最大值：【點睛】本題主要考查參數(shù)方程，普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關(guān)系，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬

18、于中檔題.21（1）；（2）；詳見解析.【解析】（1）由函數(shù)在處的切線與直線垂直，即可得，對其求導(dǎo)并表示，代入上述方程即可解得答案；（2）已知要求等價于在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組，解得答案，最后分析此時單調(diào)性推及極值說明即可；由可知，是方程的兩個不等的實根，由韋達(dá)定理可表達(dá)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而用含的式子表示，令，對求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可知道存在常數(shù)使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而求最值證明不等式成立.【詳解】解：（1）依題意，故，所以，據(jù)題意可知，解得.所以實數(shù)的值為.（2）因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點，且，所以在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根.所以解得.當(dāng)時，若或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有兩個極值點，且.所以，實數(shù)的取值范圍是.由可知，是方程的兩個不等的實根，所以其中.故，令，其中.故，令，在上單調(diào)遞增.由于，所以存在常數(shù)，使得，即，且當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，又，所以，即，故得證.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，還