導(dǎo)數(shù)的切線方程和圖像知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題

1、.PAGE . 導(dǎo) 數(shù)導(dǎo) 數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1. 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱的定義：設(shè)是函數(shù)定義域的一點(diǎn)，如果自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應(yīng)的增量；比值稱為函數(shù)在點(diǎn)到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即=.注：是增量，我們也稱為改變量，因?yàn)榭烧韶?fù)，但不為零.以知函數(shù)定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑒t與關(guān)系為.2. 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與點(diǎn)處可導(dǎo)的關(guān)系：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)是在點(diǎn)處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果在點(diǎn)處可導(dǎo)，則點(diǎn)處連續(xù).事實(shí)上，令，則相當(dāng)于.于是如

2、果點(diǎn)處連續(xù)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)，是不成立的.例：在點(diǎn)處連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)，因?yàn)?，?dāng)0時(shí)，；當(dāng)0時(shí)，故不存在.注：可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，也就是說，曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率是，切線方程為4. 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：為常數(shù)注：必須是可導(dǎo)函數(shù).假設(shè)兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；假設(shè)兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).例如：設(shè)，則在處均不可導(dǎo)，但它們和在處均可導(dǎo).5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6. 函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)

3、單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在*個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果0，則為增函數(shù)；如果0，則為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)在區(qū)間恒有=0，則為常數(shù).注：是f*遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個(gè)點(diǎn)例外即*=0時(shí)f* = 0，同樣是f*遞減的充分非必要條件.一般地，如果f*在*區(qū)間有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正或負(fù)，則f*在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加或單調(diào)減少的.7. 極值的判別方法：極值是在附近所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的極大值，極小值同理當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，則是極大值；如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，則是極小值.也就是說是極值點(diǎn)的充分條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是=0.

4、此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小函數(shù)在*一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同.注： 假設(shè)點(diǎn)是可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，則=0. 但反過來不一定成立. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是假設(shè)函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點(diǎn).例如：函數(shù)，在點(diǎn)處不可導(dǎo)，但點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn).8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)展比擬，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)展比擬.注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.為常數(shù) II. III. 求導(dǎo)的常見方法：常用結(jié)論：.形如或兩邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化求

5、代數(shù)和形式.無理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對(duì)數(shù)之后可變形為，對(duì)兩邊求導(dǎo)可得.用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類型求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：假設(shè)曲線在點(diǎn)的切線平行于軸即導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，由切線定義知，切線方程為下面例析四種常見的類型及解法類型一：切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1曲線在點(diǎn)處的切線方程為 類型二：斜率，求曲線的切線方程此類題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決例2與直線的平行的拋物線的切線方程是 類型三：過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上

6、一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例3 求過曲線上的點(diǎn)的切線方程類型四：過曲線外一點(diǎn)，求切線方程此類題可先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法來求解例4求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程例5函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程函數(shù)圖象及其導(dǎo)函數(shù)圖象函數(shù)在定義域可導(dǎo)，其圖象如圖，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為_ 函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在的圖象如下圖，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為_ _ 假設(shè)函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象是 函數(shù)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如下圖的一條直線，則圖象的頂點(diǎn)在 A第一象限 B第二象

7、限 C第三象限 D第四象限O12*yO12*y*yyO12yO12*O12*ABCD (2007年)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),的圖象如右圖所示，則的圖象最有可能的是設(shè)函數(shù)f(*)在定義域可導(dǎo)，y=f(*)的圖象如下左圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(*)的圖象可能為()安微省市2010年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)文科函數(shù)的圖像如下右圖所示，則的圖像可能是*oy(2010年3月省市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試文科)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖，則的圖象可能是( )2010年省市高三十校聯(lián)考文科如右圖所示是*一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時(shí)間變化的可能圖象是 (A) (B) (C) (D)(2008二模文

8、、理)二次函數(shù)的圖象如圖1所示 , 則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀是 2009卷文假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是 ( )yababao*o*ybao*yo*ybA B C D卷11如果函數(shù)的圖象如右圖，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是( )2008年卷12)函數(shù)y=f(*),y=g(*)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下列圖，則y=f(*),y=g(*)的圖象可能是 (2008一模文、理)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖像畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的選項(xiàng)是 ABCD*y*4OoO(省株洲市2008屆高三第二次質(zhì)檢)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下，則 函數(shù)有1個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)有2個(gè)極大值點(diǎn)，2

9、個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)有3個(gè)極大值點(diǎn)，1個(gè)極小值點(diǎn)函數(shù)有1個(gè)極大值點(diǎn)，3個(gè)極小值點(diǎn)(2008質(zhì)檢理)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，則函數(shù)在區(qū)間極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (A).1 (B).2 (C).3 (D).4【市文】函數(shù)的圖象大致是 【文】如圖是二次函數(shù)的局部圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 A. B.C. D.定義在R上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如右圖所示.假設(shè)兩正數(shù)滿足，則的取值圍是 A BCD函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如下圖.求：的值；的值.1解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即，因而選2 解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為由此得到切點(diǎn)故切線方程為，即，應(yīng)選評(píng)注：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設(shè)切線方程為，代入，得，又因?yàn)?，得，?yīng)選3解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為又知切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或，即，或評(píng)注：可以發(fā)現(xiàn)直線并不以為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過了點(diǎn)且以為切點(diǎn)的直線這說明過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，解決此類問題可用待定切點(diǎn)法4解：設(shè)為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為，即又切線過點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，即評(píng)注：點(diǎn)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn)，但在解答過程