《自動(dòng)控制原理》(程鵬著)習(xí)題解答第4章根軌跡法

1、第四章根驅(qū)法41如果單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=試用解析法繪出K從零變到無(wú)窮時(shí)閉環(huán)根軌跡圖，并判斷下列丿!跡上：(2+j0),(0+jl),(3+j2)。pA-10圖2-4-1習(xí)題41的根軌跡解閉環(huán)特征方程為s+1+K=0閉環(huán)極點(diǎn)為AJXXi)Xjoo2習(xí)題42的零.極點(diǎn)分布圖圖2-4IJ4i4J圖2-4-3習(xí)題4-2的根軌跡圖G($)=2s+)(o+1) 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答-5確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)，解下述方程式1d+51d+2得到么二0.88和必=3.79,由于d2不在實(shí)軸上根軌跡的區(qū)舍去。根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和與止實(shí)軸的夾角3，-2-5rc“(2k+1)

2、JIJ,Oa二一-=-22,二=1兀k=1根軌跡與虛軸的交點(diǎn)閉環(huán)特征方程為/+7f+10s+K=0令s=j3,并代入上述方程，得3=/To=3.16和K=70。根軌戈點(diǎn)坐標(biāo)為土j36。系統(tǒng)的根軌跡如圖2-4-4所示。10第四章根軌跡法其中，K=10K,開環(huán)極點(diǎn)為0和05,零點(diǎn)為1。按下述步驟纟實(shí)軸上，區(qū)間-05,0和(8,-1為根軌跡段。實(shí)軸上的分離點(diǎn)坐標(biāo)，解下述方程式L_!1萬(wàn)+05=+1得到di=029和血=1.707。根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)o,和與正實(shí)軸的夾角。03+11=05,3=(2k+1)兀=JI(0)第四章根軌跡法系統(tǒng)的根軌跡如圖2-4-5所示。圖245習(xí)題43(2)的根

3、軌跡第四章根軌跡法第四章根軌跡法(3)系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0,2和3,零點(diǎn)為-5,按下述步驟纟實(shí)軸上區(qū)間-2,0和-5,-3為根軌跡段。 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答圖2-4-6習(xí)題43（3）的根軌跡4-4設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略11環(huán)根軌跡圖（要求算出起始角呢）。/1、K（s+2）G（s）=a+i+j2）（+i-j2）（廠、K（$+20）（幻5s丿一（$+0+事0）（$+I。一門0）解（1）開環(huán)零點(diǎn)為Z=-2,開環(huán)極點(diǎn)為p-1+j2和p2-述步驟繪制根軌跡：實(shí)軸上區(qū)間（2為根軌跡段。起始角%=180+Z(0-zi)-Z(pi-/?2)=180+arctan2-90=%=153

4、.4第四章根軌跡法實(shí)軸上區(qū)間(8,-20為根軌跡段。起始角圖248習(xí)題44（21|I111-5-4一3-2-I0實(shí)軸圖247習(xí)題44(1)的根軌跡%=180+Z（p.-乙）-Z5/乃）=180+45-90=135嘰=135。確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)處標(biāo)，解下述方程111+10-jiod+10+jl0d+20得到J,=-34.14和=-5.86,由于d2不在實(shí)軸上的根軌跡段舍去。系統(tǒng)的根軌跡如圖2-4-8所示。沿萌命仔后儒扮制乏結(jié)的開環(huán)祕(mì)滋賂數(shù)/川下英隸 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答ArilI【X/-Prtl/ociTriri(1曰士曰血h：朮F7V/To=36,K=110o令S二j3,并代入上述方程，

5、求得3二土249所示。-15-10-50實(shí)軸圖249習(xí)題45(1)的根軌跡閉環(huán)特征方程為432s+30s+2005+圖2410習(xí)題45(2z=0令5=jo,并代入上述方程，得再令3二1,可以求出K=30和200-130=6.63。系統(tǒng)笊w-200w+Kz=0303+K3=()2-4-10所示。幵環(huán)極點(diǎn)為p=0p2=-1、3=-35、0=-3+j2和按下述步驟繪制根軌跡：第四章根軌跡法確定漸近線漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)5=丄=1二2.1漸近線與正實(shí)軸的夾角：電二（2；1）皿二36。,108。,180,252*確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。閉環(huán)特征方程為/105s+435s+7955+454s+K=0令s二j

6、j有3-4353+4543=0和105匯-795涇+K二解上述兩個(gè)方程，得=03：=1.033=651-，,（舍去）K=0K=7252IK=154895系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡如圖2411所示。實(shí)軸醫(yī)I0411!碩4斥的Ud4J|i亦 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答Z(O+2+j3)Z(0+l+j3)=(2R+l)Jl+Z(o+j3利用三角函數(shù)的加法公式.,)、tana+tanPtan(aP)=77_letanatanp33o+2o+1O)23O1+(o+2)(o+1)化簡(jiǎn)上式得22(o+2)+3-=2由上式可以看出，復(fù)數(shù)根軌跡部分是以(-2J0)為圓心，以。為半徑的圓。系統(tǒng)的根軌跡如圖2412所示。47

7、設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程如下.2*D(5)=C($+a)+習(xí)題4f圖2-4-12若出現(xiàn)根CI的范圍K(s+1)=0當(dāng)d取不同值時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡(0vKg)是不同的。有兩個(gè)和沒(méi)有分離點(diǎn)3種情況，試分別確定每種情況下軌跡圖。解系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為、K(s+1)G(s)H(s)=2s($+a)等效開環(huán)極點(diǎn)為p-pi=0,p3=-a,等效開環(huán)零點(diǎn)為點(diǎn)滿足下述方程211dd+d一d+1第四章根軌跡法第四章根軌跡法實(shí)軸(b)實(shí)軸(0 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答4-8設(shè)負(fù)反饋控制系統(tǒng)中G(5)=H(s)=lKS(5+2)(5+5)要求:概略繪制系統(tǒng)根軌跡圖(OvKvoo),并判定閉環(huán)系統(tǒng)的帚如果改變反饋通道

8、的傳遞函數(shù)，使77(5)=1+25,重做第(論H(s)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解(1)系統(tǒng)的根軌跡如圖2-4-14(a)所示，從根軌跡圖可K0,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)系統(tǒng)的根軌跡如圖24-14(b)所示，系統(tǒng)的特征方程為5+7,+10?+2Ks+K=0令上述方程中$=得和03二255.K=22.75 #第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答由此可知，當(dāng)OvK1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。(1)(2)解環(huán)極點(diǎn)是P=0,A=-1,“3=-3o實(shí)軸上區(qū)間-3,-2和1,0是根軌跡段，根軌跡的分離點(diǎn)由下式確定1111+=dd+1d+3d+2利用試探法可以確定分離點(diǎn)d=053。軌跡如圖2-4-17所示。(2)在s平面上作C=0

9、5的阻尼線，該 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答、025(s+a)G(S)=d(s+l)。作以G為參量的根軌跡(0VGV8解系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(5+1)+025(5+a)=Q構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)如下0.25a.5$(f+s+025)其開環(huán)極點(diǎn)為P=0、“2.3=-05O實(shí)軸上區(qū)間(8,o5和-05,0為根軌跡段，分離點(diǎn)d由下述方程確定12廠+=0dd+05即d=0.167,令s=j3并代入上述特征方程，可得-0.51.5-1-0.5實(shí)軸3=0.a=03二05.C1圖2418習(xí)題4根軌跡與虛軸得交點(diǎn)為s=j05o根軌跡如圖2-4-18所示。4-12已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2.6G(s)

10、=s(o$+1)(i)試?yán)L制時(shí)間常數(shù)T從零變到無(wú)窮時(shí)的閉環(huán)根軌跡。解系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為0.1Ts4-Ts+0f+s+2.6=0等效開環(huán)傳遞函數(shù)為卅(01S+1)第四章根軌跡法第四章根軌跡法G_$($+2)開環(huán)零點(diǎn)為Zi=1,開環(huán)極點(diǎn)為/?i=0,p2區(qū)間-2,0和1,8)為根軌跡段。分離點(diǎn)由下述方程確定=2,根軌跡為零度根1_1d+2=d-12.732o在分離點(diǎn)乩、d2處的H乙-0)-Z(乙先=y(2Jt+1)X180+Z(zi-p)+Z(=*(2k+1)X180。=90。(k=0)系統(tǒng)的根軌跡如圖2419所示。4-13設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為_K(1s)G(5)=5(5+2)試

11、繪制K從0-oo的閉環(huán)根軌跡圖，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重根和純虛根的K值。解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成K(s1)1萬(wàn)+解上述方程得H=-0.732,d2K；、K；，根據(jù)模方程有60實(shí)輛圖2419習(xí)題4K；=J=7.46I必1IIdIIdi+21 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答解該系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，因此系統(tǒng)的根軌跡為零度根軌跡。為根軌跡段。根軌跡如圖2422所示。心+1)2eg($+2)2 #第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答 #第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答-4-3210實(shí)軸圖2421習(xí)題414的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖2422習(xí)題414 #第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答4-15某一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為6(5)77(5)

12、=為了改善系統(tǒng)性能，分別采用在原系統(tǒng)中加比例及微分串聯(lián)校正不種不同方案，校正前后的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2-4-23所示。第四章根軌跡法其根軌跡如圖2424(a)所示。對(duì)于如圖2423(b)所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K，(s+!25)G(Q=心+0.2)其根軌跡如圖2424(b)所示。對(duì)于如圖2423(c)所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)以及對(duì)應(yīng)的申2-4-23(b)所示系統(tǒng)的相同。1.5L5Ljii-2.5-2-1.5-4-0J實(shí)軸(b)第四章根軌跡法第四章根軌跡法圖2-4-24習(xí)題415的根軌跡(2)圖2-425(a)為如圖2423(b)所示系統(tǒng)的單位階躍2-4-25(b)為如圖2-4-23(c)所示系統(tǒng)的

13、單位階躍響應(yīng)曲線?？磳鐑煞N校正的效果基本相同。第種校止方案的超調(diào)量略大。 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答實(shí)軸上區(qū)間(8,3和-2,0為根軌跡段，分離點(diǎn)由以下方程/111114-“-L4-“dd+2d+5j5+5+j5一d+3利用試探法求出分離點(diǎn)坐標(biāo)為么二1.17,血八4.85o復(fù)數(shù)極丿%=(2R+1)H+Z(“3-Zl)-Z(p3-/?|)-Z(/?3-卩2)Z=180+111.8。-135120.96-90=-54.16根軌跡如圖2426所示。實(shí)軸習(xí)題416根軌跡圖24264-17設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=2s(s+05)($+1054-50)試畫岀開環(huán)增益K從0-8的閉環(huán)根軌跡圖。解系統(tǒng)的

14、開環(huán)零點(diǎn)為Zi=1,極點(diǎn)為P=0,/?2=-05,解題步驟與習(xí)題4-16相同，根軌跡如圖2-4-27(a)所示，圖為在原點(diǎn)附近的根軌跡。102!第四章根軌跡法418設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(X_K“(s+1)=f(s+2)(s+4)試分別畫出正反饋系統(tǒng)和負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡圖，并指出它們的$同。解系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)乙=-1,開環(huán)極點(diǎn)P.2=0,=-2,0(1)正反饋系統(tǒng)實(shí)軸上區(qū)間4,-2和1,+8)是根軌跡段；漸近線2-4-(-1)八167,第四章根軌跡法第四章根軌跡法分離點(diǎn)2111+=dd+2d+4d+1利用試探法得d-3.08o根軌跡如圖2428(a)所示。 第二篇自動(dòng)控制原理習(xí)題解答根軌跡與

15、虛軸得交點(diǎn)，閉環(huán)特征方程為S+65+854-令S二j3,并代入上述方程，可以確定s+K=03=0和K=03=佢K=12根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為s=土佢。根軌跡如圖2428(b)所示。對(duì)于正反饋系統(tǒng)，當(dāng)K0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于負(fù)吳012時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。正反饋系統(tǒng)負(fù)反饋系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。419設(shè)控制系統(tǒng)如圖2-4-29所示，試作閉環(huán)根軌跡，并化對(duì)系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)作用下響應(yīng)c(r)的影響。圖2-4-29習(xí)題419的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(小K(s+2s+2)=3s開環(huán)零點(diǎn)為Zl=1+j,=-1j,極點(diǎn)為p=P2=p?=Oo(-8,0為根軌跡段。根據(jù)相角方程起始角0p滿足以下關(guān)系：3()卩=(2R+l)n+Z(/zZi)+Z(pZ2)第四章根軌跡法令S=j3并代入上述特征方程，可得3=0和3=土邁IK=0K=U系統(tǒng)的根軌跡如圖2430所示。當(dāng)K時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)零點(diǎn)乙.2=-lj不是