動點問題中的最值、最短路徑問題解析版

1、. 專題01 動點問題中的最值、最短路徑問題動點問題是初中數(shù)學(xué)階段的難點，它貫穿于整個初中數(shù)學(xué)，自數(shù)軸起始，至幾何圖形的存在性、幾何圖形的長度及面積的最值，函數(shù)的綜合類題目，無不包含其中. 其中尤以幾何圖形的長度及面積的最值、最短路徑問題的求解最為繁瑣且靈活多變，而其中又有一些技巧性很強的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，本專題以幾個根本的知識點為經(jīng)，以歷年來中考真題為緯，由淺入深探討此類題目的求解技巧及方法.一、根底知識點綜述1. 兩點之間，線段最短；2. 垂線段最短；3. 假設(shè)A、B是平面直角坐標(biāo)系兩定點，P是*直線上一動點，當(dāng)P、A、B在一條直線上時，最大，最大值為線段AB的長如下列圖所示；4. 最短路

2、徑模型1單動點模型作圖方法：作點關(guān)于動點所在直線的對稱點，連接成線段與動點所在直線的交點即為所求點的位置. 如下列圖所示，P是*軸上一動點，求PA+PB的最小值的作圖.2雙動點模型P是AOB一點，M、N分別是邊OA、OB上動點，求作PMN周長最小值.作圖方法：作點P關(guān)于動點所在直線OA、OB的對稱點P、P，連接PP與動點所在直線的交點M、N即為所求.5. 二次函數(shù)的最大小值，當(dāng)a0時，y有最小值k；當(dāng)a0經(jīng)過點A(1,0)，點M(m,0)是*軸正半軸上的動點，假設(shè)點Q在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，求b的值.例5. 2019如圖，一副含30和45角的三角板和拼合在個平面上，邊與重合，當(dāng)點從點出發(fā)沿

3、方向滑動時，點同時從點出發(fā)沿射線方向滑動當(dāng)點從點滑動到點時，點運動的路徑長為；連接，則的面積最大值為例6. 2019如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點O，過點O作OHBC于點H，以O(shè)為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M.1求證：DC是圓O的切線；2假設(shè)AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影局部面積；3在2的前提下，P是線段BD上的一動點，當(dāng)PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值.專題01 動點問題中的最值、最短路徑問題解析例1. 2019涼山州如圖，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，點P在BC上運動不與B、C重合，過點P作PQEP，交CD于點Q，則CQ的最大值為【答案】4

4、. 【解析】解：PQEP，EPQ=90，即EPB+QPC=90，四邊形ABCD是正方形，B=C=90，EPB+BEP=90，BEP=QPC，BEPCPQ，AB=12，AE=3，BE=9，設(shè)CQ=y，BP=*，CP=12*，0*0經(jīng)過點A(1,0)，點M(m,0)是*軸正半軸上的動點.假設(shè)點Q在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，求b的值.【答案】見解析.【解析】解：經(jīng)過點A(1,0)，1+b+c=0，即點Q在拋物線上，即，b0，Q點在第四象限，所以只要構(gòu)造出即可得到的最小值取N1,0，連接AN，過M作MGAN于G，連接QM，如下圖，AGM為等腰直角三角形，GM=，即當(dāng)G、M、Q三點共線時，GM+MQ取最

5、小值，即取最小值，此時MQH為等腰直角三角形，QM=，GM=QH=MH，=，解得：m=聯(lián)立得：m=，b=4. 即當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，b=4. 【點睛】此題需要利用等腰直角三角形將轉(zhuǎn)化為2，進(jìn)而根據(jù)兩點之間線段最短及等腰三角形性質(zhì)求解.例5. 2019如圖，一副含30和45角的三角板和拼合在個平面上，邊與重合，當(dāng)點從點出發(fā)沿方向滑動時，點同時從點出發(fā)沿射線方向滑動當(dāng)點從點滑動到點時，點運動的路徑長為；連接，則的面積最大值為【答案】【解析】解：如圖1所示，當(dāng)E運動至E，F(xiàn)滑動到F時，圖1過D作DGAC于G，DHBC交BC延長線于點H，可得EDG=FDH，DE=DF，RtEDGRtFDH，DG=GH,D

6、在ACH的角平分線上，即C，D，D三點共線. 通過分析可知，當(dāng)DEAC時，DD的長度最大，隨后返回初始D點，如圖2所示，D點的運動路徑為DDD，行走路線長度為2DD；圖2BAC=30，AC=12，DE=CDBC=，CD=DE=，由圖知：四邊形ECFD為正方形，CD=EF=12，DD=CD-CD=12-,D點運動路程為2DD=24-；圖3如圖3所示，當(dāng)點D運動至D時，ABD的面積最大，最大面積為：=【點睛】準(zhǔn)確利用全等、角平分線判定得到D點的運動軌跡是關(guān)鍵，利用三角函數(shù)及勾股定理求解，計算較為繁瑣，尤其是利用割補法求解三角形的面積時對學(xué)生計算能力要求較高，此題難度較大，新穎不失難度.例6. 20

7、19如圖，在菱形ABCD中，連接BD、AC交于點O，過點O作OHBC于點H，以O(shè)為圓心，OH為半徑的半圓交AC于點M.1求證：DC是圓O的切線；2假設(shè)AC=4MC，且AC=8，求圖中陰影局部面積；3在2的前提下，P是線段BD上的一動點，當(dāng)PD為何值時，PH+PM的值最小，并求出最小值.【答案】見解析.【解析】1證明：過點O作ONCD于N，AC是菱形ABCD的對角線，AC平分BCD，OHBC，ONCD，OH=ON，又OH為圓O的半徑，ON為圓O的半徑，即CD是圓O的切線.2由題意知：OC=2MC=4，MC=OM=2，即OH=2，在RtOHC中，OC=2OH，可得：OCH=30，COH=60，由勾股定理得：CH=3作點M關(guān)于直線BD的對稱點M，連接MH交BD于點P，可知：PM=PM即PH+PM=PH+PM=HM，由兩點