連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣_省略_解的估計(jì)及在一類時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用

1、學(xué)校代號(hào) 10530學(xué) 號(hào) 201610111047分類號(hào) 0231.1-密 級(jí)泡潭大律碩士學(xué)位論文連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的估計(jì)及左一美日寺滯系盅擊南應(yīng)用學(xué)位申請(qǐng)人崔志盟指導(dǎo)教師劉建州教授學(xué)院名稱 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院學(xué)科專業(yè)數(shù)學(xué)研究方向代數(shù)學(xué)和矩陣分析及其應(yīng)用二零一九年四月七日連續(xù)耦爵g霰溯的估計(jì)學(xué)位申請(qǐng)人崔志盟導(dǎo)師姓名和職稱劉建州教授學(xué)院名稱數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院學(xué)科專業(yè)數(shù)學(xué)研究方向 代數(shù)學(xué)和矩陣分析及其應(yīng)用學(xué)位申請(qǐng)級(jí)別理學(xué)碩士學(xué)位授予單位湘潭大學(xué)論文提交日期201947The bounds for the solution of the continuouscoupled al

2、gebraic Lyapunov matrix equation and itsapplication in a class of time-delay systemCandidateZliimeng CuiSupervisor and RankProf. Jianzhou LiuCollegeMathematics and Computational ScienceProgramMathematicsSpecialization Algebra and Matrix Analysis and Its Application DegreeMaster of ScienceUniversityX

3、iangtan UniversityDateApril 7tli, 2019學(xué)位/翳毒聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取 得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其 他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè) 人和集體，均己在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果 由本人承擔(dān)。作者簽名：修扁亂 日期:初，砂月/日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué) 校保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查 閱和借閱。本人授權(quán)湘潭大學(xué)可以將本學(xué)位論

4、文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān) 數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索?？梢圆捎糜坝?、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位 論文。涉密論文按學(xué)校規(guī)定處理。作者簽名：雀鬲闌 日期年上月,日隨著現(xiàn)代技術(shù)和機(jī)械工程的飛速發(fā)展，控制系統(tǒng)的研究應(yīng)用得到了學(xué)者們空前的 關(guān)注.在研究控制系統(tǒng)時(shí)，人們常常需要考慮和研究它們的穩(wěn)定性分析和最優(yōu)化問題等, 而對(duì)于這些問題的研究，在許多情況下都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的Lyapunov矩陣方程的求解 問題及對(duì)其解的上下界的估計(jì)問題.因此，對(duì)Lyapunov矩陣方程半正定解的研究及其應(yīng) 用得到了許多學(xué)者的關(guān)注，且在理論和具體應(yīng)用上取得不少研究成果.本文利用矩陣的Kronecker積、矩陣逆的非負(fù)性和矩陣的

5、不等式，對(duì)連續(xù)耦合 代數(shù)Lyapunov矩陣方程進(jìn)行變換，并且利用矩陣的恒等變換和正定矩陣的性質(zhì)，獲得了 方程半正定解的含有參數(shù)的兩個(gè)上界.然后，通過構(gòu)造出連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣 方程的等價(jià)形式，利用矩陣特征值的性質(zhì)，矩陣的恒等變換，結(jié)合矩陣不等式的放縮得 到了連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程的下界.并且，用具體的數(shù)值例子驗(yàn)證了所得結(jié)果 的有效性，并且比較了它們的精確性.最后，根據(jù)文章得到的連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上界，結(jié)合矩陣恒等變 換和不等式的放縮并且選擇合適的Lyapunov函數(shù)，得到了使一類時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的的條 件，并用具體的數(shù)值例子說明得到結(jié)果的有效性.關(guān)

6、鍵詞：半正定解；連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程；Kronecker積；矩陣；時(shí) 滯系統(tǒng).AbstractWith the ra.pid development of modern technology and mechanical engineering, the research and application of control systems has received unprecedented attention from scholars. When studying control systems, people often need to consider and stu

7、dy their stability analysis and optimization problems. In many cases, the problem can be transformed into the solution of the corresponding Lyapunov matrix equation and the upper and lower bounds of its solution. Therefore, the research on the semi-positive definite solution of Lyapunov matrix equat

8、ions and its application have attracted the attention of many scholars, and in the theory and specific applications, many research results have been obtained.In this paper, we use the Kronecker product of the matrix, the non-negative of the A/matrix inverse and the inequality of the matrix to transf

9、orm the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation, and use the identity of the matrix and the properties of the positive definite matrix, the two upper bounds containing the parameters. Then, by constructing the equivalent form of the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation

10、, and then using the properties of the matrix eigenvalues, the identity transformation of the matrix, combined with the scaling of the matrix inequality, the lower bound of the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation is obtained. Moreover, the validity of the results obtained is verifi

11、ed by specific numerical examples, and their accuracy is compared.Finally, according to the upper bound of the solution of the continuous coupling algebra Lyapunov matrix equation obtained by the paper, combined with the matrix identity transformation and the inequality scaling and selecting the app

12、ropriate Lyapunov function, the conditions for stabilizing a class of time-de lay systems are obtained, and use specific numerical examples to illustrate the validity of the results.Keywords: positive semi-definite solution; continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation; Kronecker product; A

13、/matrix; time-delay system. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 第一章緒論1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1.1課題的背景來源1 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 1.2本文的主要工作2 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1.3本文所用記號(hào)及定義4 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 第二章連

14、續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界52.1引言5 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 2.3連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界6 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 2.3數(shù)值例子14 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 第三章連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的下界16 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 3.1引言16 HYPERLIN

15、K l bookmark45 o Current Document 3.2連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的下界16 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 3.3數(shù)值例子19第四章連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上界在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用. 21 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 4.1引言214.2連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上界在一類時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用. 21 HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 4.3數(shù)值例子24 HYPERL

16、INK l bookmark66 o Current Document 總結(jié)與展望25 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 參考文獻(xiàn)26 HYPERLINK l bookmark119 o Current Document 致謝30第一章緒論1.1課題的背景來源近年來，網(wǎng)絡(luò)控制、工業(yè)生產(chǎn)、航空航天及動(dòng)態(tài)規(guī)劃等領(lǐng)域都涉及到控制系統(tǒng)，控 制系統(tǒng)的研究應(yīng)用得到了學(xué)者們空前的關(guān)注.在研究控制系統(tǒng)時(shí)，人們常常需要考慮和 研究它們的穩(wěn)定性分析和最優(yōu)化問題等，而對(duì)于這些問題的研究，通?？梢赞D(zhuǎn)成研究相 應(yīng)的Lyapunov和Riccati矩陣方程的半正定解和解的

17、性質(zhì)問題.解決非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一種有效方法是利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，許多控制 系統(tǒng)中的問題，如控制系統(tǒng)中的穩(wěn)定性分析，大多情況下都可轉(zhuǎn)化研究相應(yīng)的Lyapunov矩 陣方程的求解問題.但在實(shí)際運(yùn)算中，Lyapunov矩陣方程的精確解是很難計(jì)算得到的， 特別是當(dāng)矩陣維數(shù)不斷增大時(shí)，求解的過程會(huì)更復(fù)雜.但是在許多實(shí)際問題中，只需 知道Lyapunov矩陣方程的近似解即可.例如時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，就可以由連續(xù)代 數(shù)Lyapunov矩陣方程解的界來得到穩(wěn)定性條件.連續(xù)代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的界可以應(yīng)用到時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題中4, 5, 6.比如在管道中流體的流動(dòng)和長(zhǎng)導(dǎo)線上的

18、電信號(hào)傳遞都會(huì)伴隨時(shí)間的延遲，像含有這 類元素的系統(tǒng)都為時(shí)滯系統(tǒng).實(shí)際上，時(shí)滯現(xiàn)象在控制系統(tǒng)中是普遍存在，我們所研究 的時(shí)滯系統(tǒng)大多是時(shí)滯不能忽略的系統(tǒng)，例如國(guó)民經(jīng)濟(jì)& 9、冷軋機(jī)11, 13和交通運(yùn) 輸網(wǎng)絡(luò)12等.對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和魯棒控制都是近些年學(xué)者們所熱衷研究的問 題.考慮下面的時(shí)滯系統(tǒng)：房(匕)= d).(1.1.1)申即士 (t) = Ax(t) + d).(1.1.2)其中0-hls(t)InA =,B =01&)s2 (七)【n 0j并且Xi(t) e Rn是常數(shù)向量，%(t)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，正常數(shù)d是延遲，矩陣&是 具有恰當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.對(duì)于上述時(shí)滯系統(tǒng)(1.1.

19、2)的穩(wěn)定性分析，我們可以利用下面 連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程的半正定解來討論.A?Pi + 2 di/Pj = Qi,其中i,j e S, S = 1,2, - ,s是一個(gè)有限集合，dij是一組實(shí)數(shù)并且da 。(號(hào)7)，E心=0. & Rg是常數(shù)矩陣，Q. e Rnxn為對(duì)稱半正定矩陣，R Gjes是矩陣方程(1.1)的對(duì)稱半正定解.當(dāng)s = 1時(shí)，上述時(shí)滯系統(tǒng)(1.1.2)退化為下面的線性定常系統(tǒng)() = Ax(t),(1.1.3)x(t)為n維狀態(tài)向量，則對(duì)系統(tǒng)(1.1.3)的穩(wěn)定性討論，就可以轉(zhuǎn)化為連續(xù)代數(shù)Lyapunov矩 陣方程的求解問題.在線性跳躍系統(tǒng)的馬爾科夫過程中耦

20、合的Lyapunov矩陣方程也有著極其重要的作 用22. J.M已經(jīng)在文獻(xiàn)23中得到線性跳躍系統(tǒng)中耦合微分Lyapunov矩陣方程的精確解， 但是這個(gè)解是應(yīng)用Kronecker積得到的，而這種方法會(huì)使矩陣方程的維數(shù)增大.在實(shí)際 操作中，矩陣的維數(shù)越大計(jì)算量就會(huì)更大，導(dǎo)致方程求解將會(huì)更加復(fù)雜.對(duì)于這一問題， 文獻(xiàn)24給出了用迭代降維的兩種平行算法來求時(shí)間連續(xù)和離散的耦合代數(shù)Lyapunov矩 陣方程的解.事實(shí)上，許多實(shí)際問題，只需知道矩陣方程的解的上下界就可以了.故本文 將對(duì)連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上下界進(jìn)行了推導(dǎo)，并且將它的上界應(yīng)用到 了一類時(shí)滯系統(tǒng)中.1.2本文的主要工作本文

21、利用矩陣的Kronecker積、矩陣逆的非負(fù)性、矩陣的恒等變換和矩陣不等 式變換，得到了連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程半正定解的帶有參數(shù)的兩個(gè)上界.并且 對(duì)連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的下界也進(jìn)行了估計(jì).最后，進(jìn)一步討論了的方程 解的上界在一類時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用.本文主要內(nèi)容分為四個(gè)部分：第一部分，簡(jiǎn)要說明了連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程的背景及來源，且簡(jiǎn)述了本 文所用的基本符號(hào)和相關(guān)定義.第二部分，首先利用矩陣的Kronecker積、AI-矩陣逆的非負(fù)性和矩陣的不等式，對(duì) 連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程進(jìn)行變換，并且利用矩陣的恒等變換和正定矩陣的性 質(zhì)，獲得了方程半

22、正定解的含有參數(shù)的兩個(gè)上界.最后，通過數(shù)值例子驗(yàn)證了所得結(jié)果 的有效性，并且比較了它們的精確性.第三部分，通過構(gòu)造出連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程的等價(jià)形式，然后利用矩陣 特征值的性質(zhì)，矩陣的恒等變換，結(jié)合矩陣不等式的放縮得到了連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩 陣方程半正定解的下界，并且用具體的數(shù)值例子說明了它的有效性.第四部分，根據(jù)第二部分得到的連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上界，結(jié)合矩 陣恒等變換和不等式的放縮并且選擇合適的Lyapunov函數(shù)，得到了使時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的 條件，并用數(shù)值例子說明了其有效性.1.3本文所用記號(hào)與定義RmXn(CmXn)表示m x n階實(shí)(或復(fù))數(shù)矩

23、陣的集合. 歐(頃)表示n維實(shí)(或復(fù))數(shù)列向量的集合.I：?jiǎn)挝痪仃?設(shè)矩陣A =(如)e Rnxn,AT-.矩陣A的轉(zhuǎn)置.A-1：矩陣A的逆.A(A) = *(&, A2(A),An(A)表示矩陣A的特征值，且實(shí)部有如下序列： Re(XA) ReX2(A) . J?e(An(A)./i(A)：矩陣A的測(cè)度，定義為/i(A)=舄(0 + )/2).4 A上)0,說明矩陣A是對(duì)稱正定(半正定)矩陣.A A ()B,說明矩陣A-B是對(duì)稱正定(半正定)矩陣.A0,說明矩陣A是非負(fù)矩陣，即矩陣A的每個(gè)元素都是非負(fù)的.A B,代表矩陣A與矩陣B的Kronecker積.定義1設(shè)B R” 若其非對(duì)角元素都為非

24、正數(shù)，則B為Z-矩陣.定義2設(shè)A Rg”是Z一矩陣，且A = si - B,其中6 Rnxn是非負(fù)矩陣，若 s p(B),則A為M一矩陣.第二章連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界2.1弓I言本章主要討論下面的連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程(CCALE)A?Pi + 丹& +：心？3 =(2.1.1)頂盧其中i,j e s, s =- ,4是一個(gè)有限集合，dij是一組實(shí)數(shù)并且da 。(號(hào)項(xiàng))，E心=0. & Rnxn是常數(shù)矩陣，Qi e Rnxn為對(duì)稱半正定矩陣，Pi e Rnxn jes是矩陣方程(2.1.1)的半正定解.當(dāng)s = 1時(shí)，方程退化為CCAL

25、E (2.1.1)的一般形式：P + PA = Q.(2.1.2)本章通過對(duì)連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程的變換，結(jié)合矩陣的Kronecker積、肱 -矩陣逆的非負(fù)性及正定矩陣的性質(zhì)和不等式放縮技巧，得到方程半正定解的兩個(gè)含有 參數(shù)的上界.最后用數(shù)值例子驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性和優(yōu)越性.引理2.1所對(duì)任意對(duì)稱矩陣X e R,有XnWl 廿 X 廿人 1(X)1.引理2.2叫 設(shè)矩陣X,y e Rnxn,且X是半正定矩陣，則U = ytx + xfyo成立當(dāng)且僅當(dāng)矩陣(Y + Y)是半負(fù)定的.引理2.3冏設(shè)A R,戶是侃階實(shí)對(duì)稱矩陣，若A y 0,則+ 方 Y(Y)0當(dāng)且僅當(dāng)P h(A)0.

26、引理2.4山，鑰設(shè)X是Z矩陣，則下列條件等價(jià)； X是M一矩陣；XT 0;X的所有對(duì)角元素都是正數(shù)，且存在一個(gè)正對(duì)角矩陣D使得XD是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) 矩陣.引理2.5冏 對(duì)于任意對(duì)稱矩陣AhBi e Rnxn(i = 1,2, ,”)，和非負(fù)實(shí)常數(shù) Cij 0(?, j = 1, 2, - ,n),如果 & A Bi,則有nn:% % B j.j=ij=l2.2連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界在本節(jié)，我們運(yùn)用矩陣的Kronecker積，矩陣不等式的變換和矩陣及非負(fù)矩 陣的性質(zhì)，得到連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程的解的上界.最后，我們用一些數(shù)值例 子來檢驗(yàn)所得結(jié)

27、果的有效性.定理2.1設(shè)Pt是CCALE(2A：l)的對(duì)稱半正定解，如果有& + *Y0,(2.2.1)并且F e Rsxs是一個(gè) M一矩陣，則對(duì)于任意的正數(shù)炫0,其中今 S, Pi有如下上界Pr Y (&一 依/)一7(& + 底/)%(& + 即)(&一 底/廣4炫 (&)(& Pui(Ai 庇1)-1 = Pi-(2.2.2)其中S Pui = 9ijQ3。，項(xiàng)=1, 2, , s).(2.2.3)j=i并且，矩陣F和正實(shí)數(shù)gij分別定義為2/z(Ai)die.dis 、2_2/(&).一奴F =， dsi ds2 .)F_ = G = S).證明：令己+ 一，22/（&）應(yīng)用引理2.1

28、可得M? + Mi =/+& +用2川（&）I + 人 1（& + A?）Ir 2（&）/2四（&）=0.（2.2.4）我們很容易驗(yàn)證（2.2.5）（& 一照）H& + 庇I） = （& + 炫/）（& 庇1） 1.通過對(duì)CCALE (2.1.1)的變形和(2.2.5)式,一2（珞艮）十（一丹）2扁 Qi + YdijPj=2四（&） E珞 + %&）+_2；&）0 + 由*/ = w（a）（&庇wo 汕-&+/V）叩二（&+/） + 2；&） =4/3 /li（A ） （& +。）丁Pui（A + 底/） 4f3i/i（Ai）Pui（& /）（& + 刊汀產(chǎn) Ri（Ai + 底/）2（& 8

29、i【）T0 + 也馮 +4&必（&）（& + 炫/）（& Si【）TPui（Ai 底/）T（& + 炫/） H2/（A） TOC o 1-5 h z 1=*73（& /） （& + /） （4i /3iI）TPui（Ai /3il）4為口（&）L0 + dijPj -p +三uz_2四（&）=（& 反/）（& +/）（& + 慶1）丁Pui（A + 庇I） + 4庇認(rèn)APui （& + &/）（& 0iI）T _/4_t刀,i十 時(shí)（& + M）（& -歸）Qg + dijPj-p m -2/z(A)=(A-即尸(& + 庇 W (_2，&) + gz + RJ2，&) 十 勺(& + 底/)

30、(& 徵廣 Qi H-: dj Pj-p m _2四(&).(2.2.6)由定理?xiàng)l件可知Pui是半正定的，根據(jù)(2.2.4)式和引理2.2,我們可以得到+ 勺 + 5)-0?因此等式(2.2.6)可以變形為下面的不等式ATA.Qi + EdijPj(2.2.7)Lj(P p. A- (P _ p.* Y _P 2水&)泌g J_2四(&)一 十 _2四(&)，同樣地，利用方程(2.1.1)的等價(jià)形式，根據(jù)(2.2.4)式和引理2.2,有下面的矩陣不等式0 + g djPj-2；&)-司 +0 + di/Pjpa-2心) d A?(Qi + 】由，P，)(Qi + 2 dijPj)Ai0+V-P

31、- +坦+蘭5 +_2四(&)+-2四(&)J尹Z(f+m+Q+ # 此)(;+M?(Qi + 2 d訪Pj) + (0 + 52頂盧0.(2.2.8)因此有矩陣0 + -2；) _- 0,故有2四(&)只djjPj Qi (i = 1, 2, , s). 頂盧Ti = Qi 2/j,(Ai)Pi +: dijPj 0,申然后，我們有等式2四(&)只2 djjPj = Qi Ti (? = 1, 2, , s).(2.2.9)頂盧即2四(&)Pi di* = Qi Ti,許i2四(&)尸2 d%jPj = Q2 T2,頂尹2(2.2.10)2/z(t4s)Ps dsjPj = Qs Ts.5豐

32、s對(duì)于方程組(2.2.10),我們可以寫成如下形式(F/)PP2=Q1-T1 Q2 T2,(2.2.11)1 Ps ) Qs Ts )由條件知F是一個(gè)M一矩陣，所以F可以寫成F = sls- B,其中s B 0. 因此，我們有下面的等式F In = (sis B) 0 In=sis In B 區(qū) In=slsn B In,利用文獻(xiàn)18中的定理9.1.13,可以得到p(B用)=p(B), Ai(B In) = AB), (F 0 1滬 =F-1 0 In.因此，F(xiàn)0ln也是一個(gè)M一矩陣.將(2.2.11)式兩邊同時(shí)乘以矩陣F-1 /,則變成(R 9ij(Qj - Tj) j=lP2 92j(Qj

33、 - Tj)j=l1 Ps ).52 9sj(Qj - Tj)頂=1Pi = E 9ij(Qj -Tj),j=i因?yàn)镕是肱-矩陣，由引理2.4可以知道F-1是一個(gè)非負(fù)矩陣，則有g(shù)ij 0,=1,2,. ,.s).然后再利用引理2.5,有 0,所以我們可以得到j(luò)=iPi 9ijQj = -Puij=l由(2.2.12)式可以得到Pul Pu2= gijQj頂=1s gjQj頂=1= (GM)Q2k Pus )sE QsjQj1 Qs )上式兩邊同時(shí)乘以矩陣(G/n)T = G-1 In = F In,將得到(F In)Pul Pu2=QQ21 Pus )Q s y展開得2/z(Ai)Pwl di

34、jPuj = Qi,許一2“(&)乙2 一 2jPuj = Q2,頂尹2一2由(A、) Pus I dsj Puj Qs 訐S2Ai)Pui ijPuj = Qi-因此Q / +】Puj s(2.2.12)(2.2.13)Pui = = 9ijQj-根據(jù)(2.2.12)式和(2.2.13)式，可得Pui +0 + ijPjj/i2四(&)Qi H-1 di,PujY Pui +=0.(2.2.14)現(xiàn)在，根據(jù)(2.2.7)式和(2.2.14)式，再利用條件(2.2.1)和引理2.3,可以知道球-Pt 是半正定的，即定理2.1得證.注記2.1從理論上我們可以證明定理2.1中的上界 外 比Rh好，

35、即Pui Y Pui-證明:Pui - Pm=(A- /V)T(& + 照)TPuE + 算)0-反/尸4依 (&)(& Pui(Ai 慶I) - Pui=(& &iI)-T (& + SiI)TPni(Ai _|_ 庇I) - 4庇叭Ai)Pui(& 6J)TPui(Aa- &/)(& 炫/)T=(& -伉I)T 2庇忍Pi + 2庇Pu，A 4(& / aTa .= 一4但但/)庇【)1Y 0.所以，有Pui Pm 注記2.2當(dāng)s = 1時(shí)，矩陣方程CCALE (2.1.1)退化為CALE (2.1.2),并且定理 2.1就變成文獻(xiàn)42中的推論3.2.2.顯然，定理2.1是文獻(xiàn)42中的推論

36、3.2.2的推廣.同樣地，利用定理2.1中的一些結(jié)論，可以得到一個(gè)比定理2.1更精確的上界.定理2.2與定理2.1有相同的條件，則Pi有如下上界Pi Y (& 功/)丁 (& +彷/)2(& /) +/)T +/4/z(&)(& I)TPui(Ai /)t(& + 慶I) 4M/z(&)Rg(& - 房/)T證明：令Bi = 2(& /) T + IPui2(Ai 7) 1 + I卻(&)(& 1) tPui(Ai - I) *則有P*虹ui(&-&/) (& + 功/)7旦(& +。/)(& -但/) 1 -4底 /(&)(&-Pui(Ai 底/)T.(2.2.15)同樣的，根據(jù)等式(2.2

37、.15)和不等式(2.2.14),我們可以得到aTa .F了以)+皿)刁切 0 + 如 ijPj2四(&)(舟京 +。京&)+2；&)14/3 甲(Ai)4 即(&)i-QiWP京A 如)一+ /V)P京(& + 伉I)i + 庇 1)丁 Ba(Ai + 底/) 4/?滬(&)R(& (3iI)T(Ai + (3iI)2T Bi(Ai + 庇 I)2(Ai &/)_i0 + ijPj頂盧H2四(&)+4底四(&)(& +，/)(& 炫/) 丁Pui(A -庇1) i(& + 房/) +10 + dijPjj/i2四(&)、(& 一炫/) (&+(A% 庇1)丁B,(Ai - 歸)4% 四(&)

38、L(& + /3iI)TBi(Ai + 庇1) + 4庇fi(A，i)Pui (& + 炫/)(& 0 + Pj_P - +m _2四(&)Y (& &i【)T(Ai + 照)T ATA-i Bi + Bi- + Pui (& + (3iI)(Ai 房/)T.L2四(&)2四(&)(2.2.16)根據(jù)(2.2.11)式，對(duì)矩陣進(jìn)行恒等變換，可以得到Bi = 2(& -/) T + IPui2(Ai I) 1 +/ 4/z(&)(& /) TPui(Ai I) 1=(& + /)(& /) /)M& + /)切(&)(& I)T Pui(Ai I)-】=(& + /)見(& + /) 4/1(&

39、)貝=峪卻(&)見.(2.2.17)其中旻和分別定義為Ui = (& 1)一叩濃(壓1) 咯=(& + /)見(& + I).通過(2.2.17)式，可以得出_B. + BH P -2四(4)2四(&)十m1=4?見& A?U UiAi Vi + 咯&) + 2A Ui +2四(&)ATta.r因?yàn)榫仃囉前胝ǖ?，再根?jù)(2.2.5)式利用引理2.2,所以有ATJA.J+ 5心頃* +。)叩即4?A刁切民+旦刁衣y+Pw -(2.2.18)將(2.2.18)式帶入到(2.2.16)式中，可得2四(&)(P R) + (P二-R)&2/1(4)ATA.(A，i 震) T(Ai + /3iI)T

40、Bi + Bj+/(&+，/)(&_/) 12四(&)2四(&)0.最后利用引理2.3得到R七0.證畢.注記2.3雖然定理2.1和定理2.2的上界的取值都依賴于Pul,但是定理2.2的上 界比定理2.1的上界更精確.證明：根據(jù)注記2.1的證明過程，我們易得民土臼坎然后再利用(2.2.15)式，有P：i = (& /V)T(& + /V)民(& + /V)(& 即)t4功 /(&)(& (3iI)TPui(Ai W)_iY (A-/V)T(& + 歸)Tp + /V)(& 汕T4庇. (&)(& /3iI)TPui(Ai 慶I)T當(dāng)S = 1,定理2.1就退化成下面的推論.推論2.1設(shè)P是連續(xù)代

41、數(shù)Lyapunov矩陣方程2.1.2)的半正定解，若A-AT Y 0, 則對(duì)于任意的正數(shù)&0, P有上界P Y -+- I)T + /g2(A - 1) + /+2(A /) tQ(A Z) 1 (_4 + 以)+ 2/JQ(& /?/) 1.由注記2.1和注記2.2,我們很容易知道推論2.1的結(jié)果比文獻(xiàn)42中推論3.2.2的結(jié)果精確.2.3 數(shù)值例子下面，我們將舉具體例子說明本文上界的有效性. 例2.1:考慮 CCALE (2.1.1),其中，一61.52 (-4 00、-3 -20、& =0-2 -3,& =0 -31,& =0 -2-11 2.54 -1.5)1 00-Q)1 003)6

42、01、823、(22 2 Qi =0 6 2,6 =2 7 4,Q3 =25 -4(1 2 5 J 3 4 9 ,J4 5,da = 0.2, dij = 0.1(?豐 j),其中 i,jeS = l, 2, 3).通過計(jì)算可知矩陣&, &和A3都滿足條件(2.2.1),并且由定理2.1可得 TOC o 1-5 h z (0.4840-0.1000-0.1000F =-0.10005.8377-0.1000.I-0.1000-0.10002.5505)顯然F是一個(gè)矩陣，因此有1.35770.8078-0.6833 0.80782.5365-1.3830-0.6833-1.38302.46951

43、3.0125 0.24142.0361 11.6166 0.3606 0.5371 10.2414 13.2256 3.9977,Pu2 =0.3606 1.4691 0.7300i 2.03613.9977 11.2088 )i 0.5371 0.7300 1.7760 ；Pul =0.77230.4157-0.39160.41571.7844-0.9544-0.3916-0.95441.5832由定理2.1計(jì)算得6.7647 -0.6125 0.8113 11.3369 0.3187 0.4240 =-0.6125 9.9513 1.3275，% =0.3187 1.4393 0.6658

44、I 0.81131.3275 8.6377)I 0.4240 0.6658 1.3712)0.62590.2528-0.32700.25281.5487-0.8708-0.3270-0.87081.3946*1 Y P、 ul ulY Pul,5y再經(jīng)過計(jì)算，可以得到Pu2,尸：3P*廠“3再由定理2.2可得3.7014 0.0354 0.0987 11.2363 0.3061 0.3773 1P* rul 0.0354 9.1215 0.4234)ru2 0.3061 1.4319 0.6439、0.0987 0.4234 6.0001)、0.3773 0.6439 1.1710)Y P：3

45、 Y七3,所以 定理2.2的上界要比定理2.1的上界更好，并且它們的上界都好于上界Pui.第三章連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的下界3.1弓I言本節(jié)運(yùn)用矩陣特征值的性質(zhì)和矩陣的恒等變換，對(duì)矩陣不等式進(jìn)行放縮，得到了一 個(gè)連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的下界.引理3.1陟對(duì)任意矩陣X e欣x七有ReXX) (X).引理3.2 設(shè)X,y e Rnxn是對(duì)稱矩陣，且1 ?, j 人頂(X) +i + j n + 1,人fi(X + y) 人頂(X) + 人g(X), i + j 從和Mi * * * 如果X七則Ai /i, ? = 1, 2, , n.引理 3.4 閔設(shè) z =- -

46、 - ,xn)T,y = (gi,切，,yn)T 6 R且 N g, A =(a茍)e Rg是非負(fù)的，則Ax Ay.3.2連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的下界定理3.1如果有Ai + Y 0,并且H e Ks是一個(gè)M一矩陣，則連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov.陣方程(2.1.1)的半正定解有如下的下界Pib Ph + (& I)(& +(& + /)(& ly1 = P；i.其中Plh H, n分別定義為Pli = 2(& /) (J2 曲以 + 0)(& /)T,頂盧1r/121 .diskT17iH =一21*21, desk?丁2=H_i721 dsiks ds2ks 1)J J *

47、 )ki = 2舄(& /)(& I)-1, 7i = 2An (Ai I)TQi(Ai-n-1證明：對(duì)CCALE (2.1.1)進(jìn)行恒等變換可得(& 已(& /) = (& + /)(& + /) + 2(2 祐P/ + Qi),頂盧由條件4+ A? Y 0和引理3.1,可以知道Ai-I是非奇異的，有Pi = (& - /)(& + /)己(& + /)(& - I)T+2(& n-T(E dijPj + 0)(& I)一頂盧 因?yàn)镻i是半正定的，再利用引理2.1,故有Pi 工 2(&/)-djjPj + 0)(4 /)t頂盧2(& 1)項(xiàng)d布舄(P頂)(& I)T頂盧+2(& - I)TQ

48、i(Ai I)- 對(duì)不等式(3.2.2)兩邊同時(shí)取最小特征值，通過引理3.3知道不等式仍不變號(hào)，再利用引 理3.1得到下面的不等式從(R) 2 裳(&/)-(& 頂盧+2舄(& I)TQi(Ai /)-1,即有*n(Fi) 2An (& /)-(& I)-1 2 dijAn(Pj) N 2人打(& I)TQi(Ai 7)_1.5豐l把我們定義的ki和y代入到(3.2.3)式中得n (。/) kj: dij Xn (Pj ) 2 Ti,展開得舄(Pi) ki dijXn(Pj) 7i, 許i舄(尸2)-炳 助 Xn(Pj) N 72, j2(3.2.4)Xn(Ps) - ks: dsjXn(Pj

49、) Ts 5豐s方程組(3.2.4)的系數(shù)矩陣為H,所以方程組(3.2.4)可以寫成下面的矩陣不等式HAn(Pi) )pa72l 舄(Ps) * /(3.2.5)由于H是矩陣，根據(jù)引理2.4, H是非負(fù)的，再由引理3.4, (3.2.5)式等價(jià)于Wi) 舄(P2) H_i7172=/ bT2k X(Fs)I % /I C因此有將An(Pi) 匚代入到(3.2.2)式中得Pi 2(& I) d-ijTjl + Qi)(Ai 1) 1 = Pn，頂盧(3.2.6)再根據(jù)(3.2.1)式，(3.2.2)式和(3.2.6),式有Pi = (&-/)-(& + /)(&- /)T+2(& IdijPj

50、+ 0)(& /)T頂盧(& /)(& + /)&(& + /)(& /)T+2(& /)_T(+ Qi)(Ai I)T頂盧=R + (& /) (& + /)&(& + /)(& /) 1 (3.2.7) 定理3.1成立.當(dāng)s = 1時(shí),連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程(2.1.1)就退化為連續(xù)代數(shù)Lyapunov矩 陣方程(2.1.2),定理3.1就變成文獻(xiàn)39中的定理1,即：推論3.1設(shè)P是連續(xù)代數(shù)Lyapunov矩陣方程2.1.2；的半正定解，則P有下界 P 二 Pio + (A /廠7(4 + I)TPl(A + I)(A /)-1.其中矩陣pl0為Pio = 2(A I) tQ

51、(A I) 1.3.3 數(shù)值例子下面我們將給出具體的數(shù)值例子來說明本章得到的下界的有效性.例3.1:考慮CCALE (2.1.1),對(duì)于1,3 e 1,2,3,矩陣&, 0和常數(shù)如與例2.1 中的相同.根據(jù)定理3.1計(jì)算得到1.0000 -0.0031 -0.0031 H =-0.0040 1.0000 -0.0040.I -0.0086 -0.00861.0000 )顯然H是一個(gè)矩陣，再通過計(jì)算得出丁1 = 0.1424, r2 = 0.2016, r3 = 0.0949.由定理3.1可以計(jì)算得Pll =0.33520.27350.27351.03290.1916 0.1518,Pl2 =0

52、.63810.20000.20000.87200.2000 0.41031 0.19160.15180.3561)1 0.20000.41030.4658 )/0.24570.1695-0.2924Pl3 =0.16950.7682-0.6921-0.2924-0.69210.9187/則有0.52920.41390.3554 0.86780.26000.2771、P=0.41391.64130.3218，02 =0.26001.09000.52571 0.35540.32180.6819)1 0.27710.52570.6660 i/0.30710.2387-0.3616P；3 =0.238

53、70.9186-0.8156-0.3616-0.81561.0758/第四章連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上界在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用4.1引言對(duì)于控制系統(tǒng)來說，穩(wěn)定性是一個(gè)重要的特性，也是一個(gè)基本的要求.在實(shí)踐中，由 于信息的傳遞，系統(tǒng)元素的自然屬性，數(shù)據(jù)變量的計(jì)算等等，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中都存在著時(shí)滯 問題.因此，時(shí)滯系統(tǒng)在控制系統(tǒng)中常常需要討論其穩(wěn)定性問題.本章將利用第二章得到的連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程(2.1.1)解的上界應(yīng)用到 上面一類時(shí)滯系統(tǒng)中去，得到了這類時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的條件.4.2連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程解的上界在時(shí)滯系統(tǒng)中的應(yīng)用定理4.1假設(shè)存在半正定矩陣0代

54、=1,2, ,s)和實(shí)數(shù)da 0(?豐頂), dij = 0 ?, j 6 S = (1, 2,.,連續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov陣方程2.1.1)有半正定j&s 解Pt,并且有下面條件成立(4.2.1)Qi + 3 為頂(*)乙4 Y o.則時(shí)滯系統(tǒng)1.1.2)是穩(wěn)定的.箜也 d -0其中=其中fij() = dji , Pui由定理2.1中的(2.2.3)式給出.|0 ,= 0證明：對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)(1.1.2),我們選擇下面的Lyapunov函數(shù)P其中矩陣Pi滿足方程CCALE(2.1.1),方便起見下面出現(xiàn)的和時(shí)分別代替皿和 Xi(t d).現(xiàn)在，使V（T（i）,i）沿著系統(tǒng)（1.1.2）求

55、導(dǎo)得V (冷)*)ss+EE i Pj 工iEE ijXidjXid=1項(xiàng)盧(m(-T _T_T |X2y 1)* , )s )l心)/=1PlP2TX - XPlp2IP，)IPs X0九21（匕）尸2 hsl(t)PsX4)九 12(t)Pl0 hs2(t)Ps、九 ls(t)R九2s （匕）尸20 Jxs)珥，珥,TXsPMi尸2&T12PSAS /0(x ld+ （奸，珥,，z?)九 21(t)P20-. h2s(t)P22dI hsl)Pshs2(t)Ps 0jI ) TOC o 1-5 h z ss+EE dij 工 i Pj 工 iEE ijXidjXid。=1。=1ssssXi

56、 & Pii + ijXi PjXi i= 1i= 1i=l jii= 1 jiT TTld “2d，TXsd %（配勺5豐1E 勺頂尹2TXs:hjs(t)PjWj詳s %(t)Pmd 祚iE h2i(t)P2xid澎2I hsi(t) Pid詳s/sssss布心+ EE dijX PjXi EE dnxldPJxid i=lz=li= 1 jii=l jiss+EE w?d&(t)p，wj + EE * j 營(yíng)(七)Pj % id4=1頂=1ssssi 4/ P/Mi + i i + EE dijX PjXi EE ijXidjXid i=li=li= 1 jii=l jiss+EE g?

57、d&(t)Pj勺 + EE 工/ hji(t) Pjxid”=1=1ssi (4/ P, + PiA+: dij Pj) i 一: ij idPj id=1ji=1 ji,b b _T 滅(t) D | b b TD _十 )xid ry- jxj 十 )xj rr jxidi=l j/iVaiji=l jiZaijssi (4/ Pi + P/A/ +由分 Pj)工 i 一 ij id id=1ji=1 ji+y? y?日護(hù)?dP舟d+52 52月勺i= 1 jii= 1 j 主i$ 人2 (4/ Pi + PAi + djPjXi + -F必/i=lj 盧i=l ji 前 珥(-0 + 5

58、Z )Pui)$ii=lji dji0.故時(shí)滯系統(tǒng)(1.1.2)是穩(wěn)定的.注記4.1在定理4.1的證明過程中，要求di30.當(dāng)曲=0時(shí)，我們令函數(shù) 項(xiàng))=0即可.并且當(dāng)函數(shù)項(xiàng)(七)趨于0時(shí)，不等式(4.2.2)總是成立的.我們?cè)诘诙轮械玫竭B續(xù)耦合代數(shù)Lyapunov矩陣方程(2.1.1)的半正定解的上界 Pui和P：i都比上界Pui要好，因此，用上界Pui或P：i替換定理4.1中條件(4.2.1)的 上界Pui時(shí)，定理4.1的結(jié)論也是成立的.4.3 數(shù)值例子在下面，我們給出例子來說明使時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定的條件是存在的.例4.1:考慮例2.1的時(shí)滯系統(tǒng)，我們選擇函數(shù)ht)=苦e-* t e 0,+

59、oo),明顯 hij(i) E (0,苦.令=苦，根據(jù)定理4.1,可以得到-0 + (筍+普而口21口31-6 + （箏+箏而12口32-Q3 + （箏+箏）七3給 3口23-1.37340.0858-0.27610.0858-1.2976-0.5786-0.2761-0.5786-1.0146-7.4252-1.8718-2.8090-1.87186.4777-3.7404-2.8090-3.7404-8.3685 1.5173-1.71281.7571-1.7128-4.09813.50831.75713.5083-4.1220Y0,Y0,Y 0.則滿足條件(4.2.1).因此，在這個(gè)例子

60、中時(shí)滯系統(tǒng)(1.1.2)是穩(wěn)定的.總結(jié)與展望矩陣方程在網(wǎng)絡(luò)控制、工業(yè)生產(chǎn)、航空航天、動(dòng)態(tài)規(guī)劃以及隨機(jī)過程等領(lǐng)域均有廣 泛的應(yīng)用.在研究設(shè)計(jì)這些控制系統(tǒng)時(shí)，人們必須要考慮研究系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和最優(yōu)化 問題，在大部分情況下，研究控制系統(tǒng)的這些問題都可轉(zhuǎn)成研究相應(yīng)的矩陣方程的半正 定解問題.因此，對(duì)矩陣方程解的研究無論是在理論方面，還是在實(shí)際應(yīng)用方面都有著 重要價(jià)值.在前人的研究基礎(chǔ)上，本文首先利用矩陣的Kronecker積、矩陣逆的非負(fù)性以及 矩陣不等式的變換，得出了連續(xù)耦合Lyapunov矩陣方程解兩個(gè)帶有參數(shù)的新的上界.又 通過對(duì)矩陣特征值的性質(zhì)的應(yīng)用和矩陣不等式的放縮，得到了連續(xù)耦合Lyapu