321：對數(shù)的概念（詳稿）

1、PAGE PAGE 5課題：3.2.1對數(shù)（第1課時）授課教師：宜興市匯文中學(xué) 王震教材：蘇教版 必修1一、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能： = 1 * GB2 理解對數(shù)的概念； = 2 * GB2 理解指數(shù)式和對數(shù)式的相互關(guān)系，會熟練地進(jìn)行指數(shù)式和對數(shù)式的互化； = 3 * GB2 了解常用對數(shù)和自然對數(shù)以及這兩種對數(shù)的記法； = 4 * GB2 了解對數(shù)恒等式； = 5 * GB2 了解對數(shù)的發(fā)明史.2、過程與方法： = 1 * GB2 通過具體實例說明研究對數(shù)的必要性； = 2 * GB2 通過探究對數(shù)的概念以及對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系，使學(xué)生感受化歸與轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納能力； = 3 *

2、 GB2 通過獨立思考以及師生之間，生生之間的互相交流，培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)與合作交流的能力.3、情感態(tài)度與價值觀：通過對數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)清基本概念的來龍去脈，加深對人類認(rèn)識事物的一般規(guī)律的理解和認(rèn)識，使學(xué)生能用相互聯(lián)系的觀點辯證地看問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問題的意識；通過讓學(xué)生了解對數(shù)發(fā)明史及其對簡化運算的作用，使學(xué)生了解對數(shù)的發(fā)展歷史，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值，感受數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展源于實踐以及數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用.二、教學(xué)重點、難點1、教學(xué)重點：對數(shù)的概念，指數(shù)式和對數(shù)式之間的關(guān)系以及指數(shù)式和對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化.2、教學(xué)難點：對數(shù)概念的理解和對數(shù)恒等式的證明.三、教學(xué)方法和教學(xué)手段：啟發(fā)

3、式、自主探索、多媒體整合教學(xué).四、教學(xué)過程 = 1 * GB4 回顧舊知 激發(fā)新疑（課前欣賞尼加拉瓜發(fā)行的改變世界面貌的十個數(shù)學(xué)公式）在第3.1.2節(jié)的例題4中，我們已經(jīng)知道，若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是，則經(jīng)過年，該物質(zhì)剩留量：.通過這個式子，你能不能求出年后該物質(zhì)剩余量嗎？是多少？年后呢？由此，已知底數(shù)和指數(shù)可以求冪本題研究的是一種放射性物質(zhì)，在物理學(xué)中研究放射性物質(zhì)，通常要研究它的半衰期.那么，經(jīng)過多少年這種物質(zhì)的剩留量為原來的一半？上述問題也就是求滿足中的，是一個：已知底數(shù)和冪的值求指數(shù)的問題，要解決這個問題，首先要學(xué)習(xí)本課內(nèi)容：對數(shù)（書寫課題） = 2 * GB4 數(shù)海拾貝 知識溯源16、1

4、7世紀(jì)，歐洲人熱衷于探索新大陸和遠(yuǎn)洋貿(mào)易，為此需要更為準(zhǔn)確的天文知識.在天文學(xué)的研究中，需要大量繁瑣的計算，為了改進(jìn)數(shù)字計算方法蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）發(fā)明了對數(shù),并于1614年在論述對數(shù)的奇跡中，介紹了他的方法和研究成果.對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，天文學(xué)界更是以近乎狂喜的心情迎接這一發(fā)明.法國著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯（P.S.Laplace，1794-1827）曾說：對數(shù)可以縮短計算時間，“在時效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.恩格斯曾經(jīng)把“笛卡爾的坐標(biāo)系”、“納皮爾的對數(shù)”、“牛頓和萊布尼茨的微積分”共同稱為17世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明.那么，讓

5、眾多學(xué)者評價如此之高的對數(shù)是如何定義的呢？ = 3 * GB4 共同研究 建構(gòu)新知對數(shù)的概念一般地，如果（且）的次冪等于，即，那么就稱是以為底的對數(shù)（logarithm），記做，其中，叫做對數(shù)的 底數(shù) ，（base of logarithm）叫做 真數(shù) （proper number）.由對數(shù)定義可知，與兩個等式所表示的是，這個量之間的同一個關(guān)系的不同表達(dá)方式.為什么說是同一關(guān)系?例如，； .(板書)為什么說是不同表達(dá)方式？（且）指數(shù)式底數(shù)指數(shù)冪對數(shù)式底數(shù)對數(shù)真數(shù) = 4 * GB4 直接應(yīng)用 內(nèi)化概念初步理解了對數(shù)的概念，我們發(fā)現(xiàn)對數(shù)式和指數(shù)式可以互化，那么指數(shù)式如何改寫成對數(shù)式呢？我們來看例

6、題.例1 將下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 ； = 4 * GB2 .解 = 1 * GB2 . = 2 * GB2 . = 3 * GB2 . = 4 * GB2 .例題的 = 3 * GB2 = 4 * GB2 ，指數(shù)部分含有未知數(shù)，我們通過將指數(shù)式改寫成對數(shù)式，可以求出指數(shù)，其實是個解方程的過程，所以要解決本節(jié)開頭提出的問題，只要計算 的值.指數(shù)式可以改寫成對數(shù)式，那么對數(shù)式怎么改寫成指數(shù)式？我們看例2.例2 將下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 .解 = 1 * GB

7、2 . = 2 * GB2 . = 3 * GB2 .例題的 = 3 * GB2 ，真數(shù)部分含有未知數(shù)，通過將對數(shù)式改寫成指數(shù)式，可以求出真數(shù)，那么這種指對互化能否求對數(shù)的值呢？我們看例題例3 求下列各式的值： = 1 * GB2 ； = 2 * GB2 .解 = 1 * GB2 由，得. = 2 * GB2 設(shè)，則根據(jù)對數(shù)定義知， 即，得， 所以.由例題什么樣的對數(shù)式我們能直接求出值？黑板上有沒有你暫時不能求值的對數(shù)式？這樣底數(shù)和真數(shù)沒有直接關(guān)系的對數(shù)式求值，在后續(xù)學(xué)習(xí)中我們會研究其求值方法，我們還可以用計算器計算這些對數(shù)式的值.（引例，例的 = 3 * GB2 = 4 * GB2 分別為，

8、）我們再來看兩個底數(shù)和真數(shù)有特殊關(guān)系的對數(shù)式：，（板書） = 5 * GB4 延伸拓展 了解特例在數(shù)學(xué)學(xué)科中，我們學(xué)習(xí)和使用的數(shù)是幾進(jìn)制的？ = 1 * GB2 通常將以為底的對數(shù)稱為常用對數(shù).為了方便起見，對數(shù)簡記為，如，可簡記為：，. = 2 * GB2 在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以為底的對數(shù)，稱為自然對數(shù).是個無理數(shù).正數(shù)的自然對數(shù)簡記為，如，分別記為，.（板書常用對數(shù)和自然對數(shù)，及其簡記符號）本節(jié)課學(xué)習(xí)到現(xiàn)在為止，我們理解了一個概念（對數(shù)的概念），掌握了一種互化（指數(shù)式和對數(shù)式的互化）！同學(xué)們自己做幾個題，檢驗一下學(xué)習(xí)成果. = 6 * GB4 當(dāng)堂訓(xùn)練 牛刀小試練習(xí)：求下列各式的值： =

9、 1 * GB2 ； = 2 * GB2 ； = 3 * GB2 ； = 4 * GB2 ； = 5 * GB2 ； = 6 * GB2 . = 7 * GB4 深入研究 提升能力我們再用這個互化來研究一下例題例4 已知，. = 1 * GB2 ， ， ， ，一般地， ，請證明這個結(jié)論； = 2 * GB2 證明：.證明： = 1 * GB2 設(shè)，則， 所以.（板書該結(jié)論） = 2 * GB2 設(shè)，則， 所以.（板書該結(jié)論，指明為對數(shù)恒等式，并引出底數(shù)為的特殊形式）展示1917年尼加拉瓜“改變世界面貌的十個數(shù)學(xué)公式”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)納皮爾指數(shù)對數(shù)公式和另兩個含有對數(shù)運算的公式）這套郵票說明：對數(shù)

10、的發(fā)明，對人們研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，今天我們對對數(shù)做了初步的研究，請同學(xué)們回顧并總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？ = 8 * GB4 自主小結(jié) 鞏固所學(xué) = 1 * GB2 課堂小結(jié)回顧、討論并總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容.學(xué)習(xí)1個概念，掌握1個互換，給出1組結(jié)論.對數(shù)的發(fā)明是偉大的，老師認(rèn)為最能體現(xiàn)體現(xiàn)這對數(shù)價值的是：伽利略：“給我空間、時間及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個宇宙.”對數(shù)最大的作用是簡化計算，在后續(xù)“對數(shù)的運算性質(zhì)”學(xué)習(xí)中，我們會逐漸研究.本節(jié)課我們就學(xué)習(xí)到著，完成課后分層作業(yè). = 2 * GB2 分層作業(yè) 鞏固練習(xí)： 練習(xí)1、2； 探究練習(xí)： 練習(xí)6.五、教學(xué)設(shè)計說明本節(jié)課的內(nèi)容是

11、高中數(shù)學(xué)必修1第3章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的第2節(jié)對數(shù)函數(shù)的第1小節(jié)對數(shù)的第1課時.于3.2對數(shù)函數(shù)這一節(jié)而言，是在學(xué)習(xí)了函數(shù)概念及其性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)后，在新的知識平臺上系統(tǒng)研究的又一類基本初等函數(shù)；于3.2.1對數(shù)而言，是根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪學(xué)習(xí)的延續(xù)，也為后續(xù)3.2.2對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備工作；而本節(jié)課對數(shù)的第一課時對數(shù)的概念，承接了根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)，也為對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式，乃至對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).本節(jié)課通過指數(shù)函數(shù)中的例題4引入，該例是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的重要背景.利用物理中對放射性物質(zhì)半衰期的研究入手，用具體實例說明研究對數(shù)的必要性；然后通過對數(shù)發(fā)明史的介紹，激發(fā)學(xué)生

12、學(xué)習(xí)興趣；對數(shù)定義后與指數(shù)進(jìn)行類比，幫助學(xué)生迅速理解對數(shù)的概念，同時點明本節(jié)課的重點：理解指數(shù)式和對數(shù)式的相互關(guān)系，會熟練地進(jìn)行指數(shù)式和對數(shù)式的互化；然后通過例1、例2的指對數(shù)互換來鞏固對數(shù)概念，幫助學(xué)生建立遇見指數(shù)式或?qū)?shù)式就互化的直覺；接著通過例題3幫助學(xué)生掌握這個互化；然后通過常用對數(shù)的數(shù)學(xué)史介紹引入兩種特殊底數(shù)的對數(shù)；例題4第1小題使學(xué)生經(jīng)歷猜想和證明的過程，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，同時滲透換元法，然后由學(xué)生自己嘗試對數(shù)恒等式的證明，再次鞏固指數(shù)式和對數(shù)式的互化；最后組織學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)內(nèi)容，通過介紹改變世界面貌的十個數(shù)學(xué)公式和伽利略的話，讓學(xué)生感知對數(shù)發(fā)明的偉大，體會數(shù)學(xué)是人類發(fā)展不

13、可或缺的內(nèi)容，同時再次點明對數(shù)的簡化計算的作用，為下節(jié)課的研究做好鋪墊.整課力求最大限度的尊重教材、力圖契合教材組織的主要形式，從問題情境入手，歷經(jīng)數(shù)學(xué)活動，意義建構(gòu)，數(shù)學(xué)理論，數(shù)學(xué)運用和回顧反思，使學(xué)生數(shù)學(xué)地分析和解決問題.六、教后反思“數(shù)海拾貝 知識溯源”環(huán)節(jié)中給出對數(shù)發(fā)明史過于倉促和簡單，要加入人們發(fā)明數(shù)學(xué)符號的知識介紹：數(shù)，起源與生活.為了計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)，當(dāng)要表示相反意義的數(shù)時，我們引進(jìn)了？（負(fù)號“”），當(dāng)兩個整數(shù)不能整除時，為了表示其商，我們引進(jìn)了？（分式）；而非完全平方數(shù)開方時，我們引進(jìn)了?(根號“”)，每當(dāng)遇到一個新的似乎是不可逾越的問題和障礙時，人類的聰明之處就在于他們會引入新的符號！ = 2 * GB2 關(guān)于、的范圍，初稿時有涉及，但考慮，解釋麻煩，有沖淡主題之嫌而刪去，現(xiàn)在想來：的范圍無需解釋，指數(shù)函數(shù)中已經(jīng)完成這個任務(wù)，但和的范圍要提出讓學(xué)生思考，可在，三量名稱對比表中順勢給出.例 = 3 * GB2 總結(jié)后引出例有些牽強(qiáng)，改為：從例發(fā)現(xiàn)指數(shù)式改寫成對數(shù)式可以求指數(shù)式里的指數(shù)的值（也就是對數(shù)式里對數(shù)值），從例發(fā)現(xiàn)對數(shù)式改寫成指數(shù)式可以求對數(shù)式里的真數(shù)數(shù)的值，我們來使用互化來求一下值 = 4 * GB2 因時間安排問題例題教師講的過