2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊(cè)) 第8節(jié)　函數(shù)與方程 學(xué)案

1、第8節(jié)函數(shù)與方程1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn),了解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解的步驟.1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義:使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn),而是一個(gè)實(shí)數(shù).該實(shí)數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)

2、零點(diǎn),即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)且單調(diào),而且f(a)f(b)0,則f(x)在(a,b)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).3.二分法對(duì)于在區(qū)間a,b上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系0=00)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2101.若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有f(a)f(b)0,則函數(shù)y=f(x)一定有零點(diǎn).特別是,當(dāng)y=f(x)在a,b上單調(diào)時(shí),它僅有一個(gè)零點(diǎn).2.由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間a,b上有零點(diǎn)不一定能推

3、出f(a)f(b)0,如圖所示,所以f(a)f(b)0是y=f(x)在閉區(qū)間a,b上有零點(diǎn)的充分不必要條件.1.若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A.(-,1)B.(1,+)C.(-,1D.1,+)解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點(diǎn),所以方程x2+2x+a=0無實(shí)根,即=4-4a1.故選B.2.(必修第一冊(cè)P155習(xí)題T2改編)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,且有如下的x,f(x)對(duì)應(yīng)值表:x1234f(x)136.13615.552-3.9210.88x567f(x)-52.488-232.06411.238由表可知函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間有

4、(D)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析:因?yàn)閒(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,f(6)f(7)0,所以存在零點(diǎn)的區(qū)間有4個(gè).故選D.3.(必修第一冊(cè)P155習(xí)題T4改編)函數(shù)f(x)=3x+2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(C)A.(1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-2,-1)解析:由于函數(shù)在R上單調(diào)遞增,且f(-2)=3-2+2(-2)=19-40, f(-1)=3-1+2(-1)=13-20,f(1)=3+20,f(2)=9+40,因此f(-1)f(0)0的零點(diǎn)是(B)A.(-1,0),(1,0)B.-1,1C.(-1,0)D.-1解析:由題意可得x+1=0

5、,x0,解得x=-1;lgx=0,x0,解得x=1.綜上x=1.故選B. 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用1.函數(shù)f(x)=log2x-1x的零點(diǎn)所在區(qū)間為(C)A.(0,12)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:由題意可知函數(shù)在(0,+)上單調(diào)遞增,且連續(xù)不間斷.f(12)=log212-20,f(1)=log21-10,由f(1)f(2)0及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).故選C.2.已知函數(shù)h(x)=ex與g(x)=x2-8x,兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(B)A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:令f(x)=h(x)-g(x)

6、=ex-x2+8x,則f(-2)=e-2-(-2)2+8(-2)0,f(-1)=e-1-(-1)2+8(-1)0,所以f(-1)f(0)0,又f(x)的圖象連續(xù),且在(-1,0)上單調(diào),所以函數(shù)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)必有零點(diǎn).即兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(-1,0).故選B.3.已知x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù),g(x)=x為取整函數(shù),若x0是方程ln x=2x的一個(gè)解,則g(x0)等于(B)A.1B.2C.3D.4解析:令f(x)=ln x-2x,則函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù),且f(2)=ln 2-10,故x0(2,3),所以g(x0)=x0=2.故選B.4.已知函數(shù)f(x)=l

7、og2(x+1)+3x+m的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1上,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(D)A.(-4,0)B.(-,-4)(0,+)C.(-,-4(0,+)D.-4,0)解析:因?yàn)閒(x)=log2(x+1)+3x+m在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)=log2(x+1)+3x+m的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1上,所以f(0)0,f(1)0,即m0,log22+3+m0,解得-4m0.故選D.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是否連續(xù),再看是否有f(a)f(b)0,則函數(shù)y=ff(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3B.2C.0D.4解析:y=

8、ff(x)-1=0,即ff(x)=1.當(dāng)f(x)0時(shí),f(x)+1=1,即f(x)=0時(shí),此時(shí)log2x=0,計(jì)算得出x=1,或者x+1=0,計(jì)算得出x=-1.當(dāng)f(x)0時(shí),即log2f(x)=1,當(dāng)f(x)=2時(shí),若x+1=2,計(jì)算得出x=1(舍去),若log2x=2,計(jì)算得出x=4.綜上所述,函數(shù)y=ff(x)-1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選A.數(shù)形結(jié)合法 (1)已知f(x)=-x2-2x+1,x0,-2x+1,x0,則函數(shù)g(x)=f(x)-e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4(2)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x-1,1時(shí),f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象

9、與函數(shù)y=|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有()A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.7個(gè)解析:(1)函數(shù)g(x)=f(x)-e-x的零點(diǎn),即方程f(x)-e-x=0的解,即f(x)=e-x,即y=f(x)與y=e-x圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因?yàn)閒(x)=-x2-2x+1,x0,-2x+1,x0,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖象如圖所示,由函數(shù)圖象可知y=f(x)與y=e-x有兩個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)g(x)=f(x)-e-x有2個(gè)零點(diǎn).故選B.(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象如圖所示,因?yàn)閒(9)=f(1)=1lg 9,f(11)=f(1)=10,3x+4,x0時(shí),令-1+ln x=0,故x

10、=e,符合;當(dāng)x0(aR),若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1B.1,+)C.(0,1)D.(-,1解析:畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn),所以f(x)在(-,0和(0,+)上各有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)x0時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn),需a1;當(dāng)x0時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn),需-a0.綜上,00,-4m22或m-6,-8m0,m-193,m3,即-193m0,m20,解得m-6或2m143.(3)若f(x)=x2-mx-m+3=0的一根大于1,一根小于1,則f(1)=1-2m+32.若二次方程的根在一個(gè)區(qū)間上,則要考慮方程判別式0,方程對(duì)應(yīng)的

11、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在該區(qū)間內(nèi),以及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)和開口方向;若二次方程的根在兩個(gè)區(qū)間上,則只需要考慮區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)和開口方向.針對(duì)訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|(x+1),若關(guān)于x的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的值為()A.0B.1C.0和-1D.0和1解析:f(x)=|x-1|(x+1)=x2-1,x1,-(x2-1),x1,畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,結(jié)合函數(shù)圖象可知k=1或k=0時(shí),方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.故選D.2.方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(0,2)內(nèi),則m的取值范圍是()A.(53

12、,5)B.(-73,5)C.(-,53)(5,+)D.(-,53)解析:因?yàn)榉匠?x2+(m-2)x+m-5=0的一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一根在區(qū)間(0,2)內(nèi),所以函數(shù)f(x)=4x2+(m-2)x+m-5的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)在區(qū)間(-1,0)內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間(0,2)內(nèi),則只需f(-1)=4-(m-2)+m-50,f(0)=m-50,解得-73m5.所以m的取值范圍是(-73,5).故選B.3.函數(shù)f(x)=1|x-1|-2cos(x)在區(qū)間-3,5上所有零點(diǎn)的和等于()A.2B.4C.6D.8解析:因?yàn)閒(x)=1|x-1|-2cos(x),令f(x)=0,則1|x-1|=2cos(x),

13、則函數(shù)的零點(diǎn)就是y=1|x-1|和y=2cos(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),可得y=1|x-1|和y=2cos(x)的圖象都關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則交點(diǎn)也關(guān)于直線x=1對(duì)稱,畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖所示,觀察圖象可知,y=1|x-1|和y=2cos(x)在-3,5內(nèi)有8個(gè)交點(diǎn),即f(x)有8個(gè)零點(diǎn),且關(guān)于直線x=1對(duì)稱,故所有零點(diǎn)的和為42=8.故選D. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),若f(2)=0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值是()A.5B.4C.3D.2解析:因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(3-x)=f(x),f(x-3)=f(x),所以f

14、(x)是以3為周期的周期函數(shù),又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(2)=0,所以f(-2)=0,所以f(5)=f(2)=0,f(1)=f(-2)=0,f(4)=f(1)=0.即在區(qū)間(0,6)內(nèi),f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0,因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,6)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值是4.故選B. 已知函數(shù)f(x)=(12)x-|log3(x-1)|有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則()A.x1x2x1+x2B.x1x2x1+x2解析:在同一平面直角坐標(biāo)系下,作出函數(shù)y=(12)x與函數(shù)y=|log3(x-1)|的圖象如圖所示,設(shè)x1(1,2),x2(2,+),有(12)x1=-

15、log3(x1-1),(12)x2=log3(x2-1),所以(12)x2-(12)x1=log3(x2-1)+log3(x1-1)=log3(x2-1)(x1-1).因?yàn)閤1x2,得(12)x2-(12)x10,所以有l(wèi)og3(x2-1)(x1-1)=log3(x1x2-x1-x2+1)0,即0 x1x2-x1-x2+11,所以x1x20,2|x|,x0,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.解析:由2f2(x)-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,由圖象知y=12與y=f(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),y=1與y=f(x)的圖象有3個(gè)

16、交點(diǎn).因此函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)有5個(gè).答案:5 已知函數(shù)f(x)=log2(-x2),x-1,-13x2+43x+23,x-1,若f(x)在區(qū)間m,4上的值域?yàn)?1,2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖,當(dāng)x-1時(shí),函數(shù)f(x)=log2(-x2)單調(diào)遞減,且最小值為f(-1)=-1,則令log2(-x2)=2,解得x=-8;當(dāng)x-1時(shí),函數(shù)f(x)=-13x2+43x+23在(-1,2)上單調(diào)遞增,在2,+)上單調(diào)遞減,則最大值為f(2)=2,又f(4)=232)上至少存在一點(diǎn)與直線y=x+1上的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則m的取值范圍為.解析:因?yàn)橹本€y

17、=x+1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y=x-1,依題意方程log2(2x-m)=x-1在(2,+)上有解,即m=2x-1在(2,+)上有解,所以m2.又2x-m0恒成立,則m4,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,4.答案:(2,4知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練函數(shù)零點(diǎn)(個(gè)數(shù))及所在區(qū)間1,2,3,1015利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值(范圍)5,8,911,1316函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題4,6,712,141.函數(shù)y=x-4(12)x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(B)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:y=x-4(12)x=x-(12)x-2為R上的連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù),且f(1)=1-

18、20,所以f(1)f(2)0,0,x=0,-1,x0時(shí),方程x2sgn x=2x-1可轉(zhuǎn)化為x2=2x-1,化簡(jiǎn)得(x-1)2=0,解得x=1;當(dāng)x=0時(shí),方程x2sgn x=2x-1可轉(zhuǎn)化為0=-1,無解;當(dāng)x0時(shí),方程x2sgn x=2x-1可轉(zhuǎn)化為-x2=2x-1,化簡(jiǎn)得x2+2x-1=0,解得x=-1+2(舍去)或x=-1-2.綜上,方程x2sgn x=2x-1的解是1或-1-2.故選C.4.已知三個(gè)函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=x-1,h(x)=log3x+x的零點(diǎn)依次為a,b,c,則(D)A.abcB.bacC.cabD.acb解析:令f(x)=2x+x=0,解得x0,令g(x

19、)=x-1=0,解得x=1,由h(x)=log3x+x在(0,+)上單調(diào)遞增,得h(13)=-1+130,因此h(x)的零點(diǎn)x0(13,1),則bca.故選D.5.函數(shù)f(x)=3x-1,x1,2x2-ax,x1有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(C)A.(-,2B.(-,2)C.2,+)D.(2,+)解析:由題意得,當(dāng)x1時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)x=13;當(dāng)x1時(shí),令2x2-ax=0,得x=a2,要使函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則只需a21,解得a2.故選C.6.(多選題)(2021河北石家莊高三質(zhì)量檢測(cè))記函數(shù)f(x)=x+ln x的零點(diǎn)為x0,則關(guān)于x0的結(jié)論正確的為(BC)A.0 x012B.

20、12x01C.e-x0-x0=0D.e-x0+x0=0解析:由于函數(shù)f(x)=x+ln x在(0,+)上單調(diào)遞增,且f(12)=12-ln 20,所以12x00,故A,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,B,C選項(xiàng)正確.故選BC.7.(2021江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) =lgx,x1,-lg(2-x),x1,g(x)=x3,則方程f(x)=g(x-1)的所有根的和等于(C)A.1B.2C.3D.4解析:作出函數(shù)f(x)=lgx,x1,-lg(2-x),x0,a-10,解得a1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+).答案:(1,+)9.已知函數(shù)f(x)=2|x|,x1,x2-3x+3,x1,若關(guān)于x的方

21、程f(x)=2a(aR)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解析:作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)=2a恰有兩個(gè)不同實(shí)根,所以y=2a與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖象,得2a2或341或380 (aR)在R上沒有零點(diǎn),則a的取值范圍是(B)A.(0,+)B.(1,+)0C.(-,0D.(-,1解析:假設(shè)函數(shù)f(x)=2x-a,x0,-3x-a,x0(aR),存在零點(diǎn),則當(dāng)x0時(shí),由y=2x-a有零點(diǎn),則a=2x(x0),即00時(shí),由y=-3x-a有零點(diǎn)可知a0(aR)存在零點(diǎn)的條件是a1,且a0.因此當(dāng)函數(shù)f(x)=2x-a,x0,-3x-a,x0(

22、aR)在R上沒有零點(diǎn)時(shí),a(1,+)0.故選B.12.(2021內(nèi)蒙古赤峰二中等校聯(lián)考)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A,B兩點(diǎn)滿足:點(diǎn)A,B都在函數(shù)f(x)的圖象上;點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則點(diǎn)對(duì)(A,B)是函數(shù)f(x)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)(A,B)與(B,A)可看作是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”,已知函數(shù)f(x)=x2+2x(x0),2ex(x0),則f(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有(C)A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析:根據(jù)題意,“姊妹點(diǎn)對(duì)”滿足兩點(diǎn):都在函數(shù)圖象上,且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.因此“姊妹點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=x2+2x(x0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)y=2ex(x0)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),當(dāng)x=1時(shí),02e1,作出滿足題意的圖象如圖所示,觀察圖象可得它們有2個(gè)交點(diǎn).故選C.13.(多選題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱,且當(dāng)4x時(shí),f(x)=sin x,則當(dāng)函數(shù)g(x)=f(x)-a在-2,有零點(diǎn)時(shí),關(guān)于其零點(diǎn)之和,下列闡述正確的是(B