金融數(shù)學(xué)第三章ppt課件

1、第三章均值方差證券投資組合選擇模型馬科維茨Markowitz投資選擇：風(fēng)險(xiǎn)低收益高之間的“平衡基于期望收益率上的投資決策，最多只能獲得最高的平均收益率 風(fēng)險(xiǎn)收益的“數(shù)量化前沿組合、無差別曲線數(shù)學(xué)性質(zhì).第一節(jié) 風(fēng)險(xiǎn)和收益的數(shù)學(xué)度量 用隨機(jī)變量表示未來的收益率用期望代表：平均收益率方差代表風(fēng)險(xiǎn)得到平均收益率的不確定性 從分布函數(shù)條件太強(qiáng)計(jì)算收益和風(fēng)險(xiǎn)從“歷史樣本估計(jì)收益和風(fēng)險(xiǎn).證券之間關(guān)聯(lián)性相關(guān)系數(shù) 某一證券價(jià)錢的變動(dòng)能夠伴隨著另一證券價(jià)錢的變動(dòng)。關(guān)聯(lián)性普遍存在。需求度量關(guān)聯(lián)性的方向和程度隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)從結(jié)合分布可計(jì)算。用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算3.10(3.11).三種相關(guān)程度：1、完全線性相關(guān)

2、：完全決議另一個(gè)AB1或AB-1rAabrB , 2Ab22B 2、不完全線性相關(guān)：“部分決議另一個(gè)rAabrB 2Ab22B2 3、不相關(guān)：一證券的變化對另一證券的變化“沒有奉獻(xiàn)AB0或covrA，rB0 .組合的期望和方差計(jì)算方法以兩組合為例，多組合類推“兩證券組合的收益率數(shù)學(xué)表示法證券A和B，以總資金的WA的比例投資于A，以WB于B。WAWB1，那么擁有證券組合PWA，WBWA，WB為組合P中A的權(quán)數(shù)和B的權(quán)數(shù)假設(shè)AB的收益率為rA和rB，那么P的收益率為rPWArAWBrB權(quán)數(shù)可以為負(fù)。WA0，表示該組合投資者賣空證券A . 兩證券組合的期望收益率與方差計(jì)算方法必需知道相關(guān)系數(shù)或協(xié)方差

3、ErPWAErAWBErB2PW2A2AW2B2B 2WAWBABAB選擇不同的組合權(quán)數(shù)，得到不同的組合，從而得到不同的期望收益率和方差。WA和WB有無限種取法，投資者有無限多種證券組合可供選擇。每個(gè)投資者根據(jù)本人對收益和方差風(fēng)險(xiǎn)的偏好，選擇符合本人要求的證券組合.兩種證券的結(jié)合線 分多種情況：雙曲線、直線、折線構(gòu)建0風(fēng)險(xiǎn)組合、存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況.第二節(jié)馬克維茨模型的運(yùn)作過程模型的假設(shè)條件假設(shè)1：收益率的概率分布是知的；假設(shè)2：風(fēng)險(xiǎn)用收益率的方差或規(guī)范方差表示；假設(shè)3：影響決策的要素為期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)；假設(shè)4：投資者遵守占優(yōu)原那么，即， 同一風(fēng)險(xiǎn)程度下，選擇收益率較高的證券； 同一收益率程度下

4、，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。.投資組合幾何表示和可行域選定了證券的投資比例，就確定了組合?？梢杂?jì)算該組合的期望收益率EP和規(guī)范差P以EP為縱坐標(biāo)、P為橫坐標(biāo)，在EP-P坐標(biāo)系中可以確定一個(gè)點(diǎn)。每個(gè)組合對應(yīng)EP-P中的一個(gè)點(diǎn)反過來，EP-P中的某個(gè)點(diǎn)有能夠反映某個(gè)組合選擇“全部有能夠選擇的投資比例，那么，全部組合在EP-P中的“點(diǎn)組成EP-P中的區(qū)域可行域feasible set可行域中的點(diǎn)所對應(yīng)的組合才是“有能夠?qū)崿F(xiàn)的組合?？尚杏蛑獾狞c(diǎn)是不能夠?qū)崿F(xiàn)的證券組合?？尚杏驎r(shí)機(jī)集.可行域必需滿足的外形 左上邊緣部分向外凸或直線“凸集可以證明，邊境是雙曲線。.有效邊境和有效組合 判別組合好壞的公認(rèn)規(guī)范投資者

5、共同偏好 第一：以期望衡量收益率，方差衡量風(fēng)險(xiǎn)， 僅關(guān)懷期望和方差第二：期望收益率越高越好，方差越小越好可行域內(nèi)部和右下邊緣上的恣意組合，均可以在左上邊境上找到一個(gè)比它好的組合。淘汰最正確組合“必需來自左上邊境有效邊境有效組合有效邊境對應(yīng)的組合.對風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)钠煤蜔o差別曲線 添加同樣的風(fēng)險(xiǎn)，不同的投資者所要求得到的期望收益率補(bǔ)償?shù)母叩湍軌虿灰粯?。補(bǔ)償數(shù)額越高，對風(fēng)險(xiǎn)越厭惡對某個(gè)特定投資者，根據(jù)對風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，可以得到一系列稱心程度一樣無差別的組合無差別曲線的特征動(dòng)搖方向一定是從左下方向右上方，單調(diào)性曲線將變得越來越陡，凸函數(shù)無差別曲線的外形彎曲程度因人而異，反映投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好態(tài)度 無差別曲線族

6、中的曲線互不相交，等高線不相交 .根據(jù)無差別曲線可以比較恣意兩個(gè)組合的好壞無差別曲線位置越靠左上，稱心程度越高 CABD.切點(diǎn)是最正確證券組合點(diǎn) .第三節(jié) 組合有效前沿的數(shù)學(xué)推導(dǎo) 定義：一個(gè)證券組合被稱為是前沿證券組合，假設(shè)它在一切“等均值收益率的證券組合中，方差最小每個(gè)前沿證券組合一定對應(yīng)一個(gè)收益率“前沿證券組合q對應(yīng)收益率q的前沿組合前沿證券組合的數(shù)學(xué)表示假定在無摩擦市場上存在N(1)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許無限制賣空。假設(shè)收益率的方差有限，并且均值不相等，而且，任何一個(gè)資產(chǎn)的收益率不能由其它資產(chǎn)收益率的線性組合表出收益率線性無關(guān)。它們收益率的方差協(xié)方差矩陣V是正定矩陣 .前沿組合的數(shù)學(xué)表述和求解

7、前沿組合權(quán)重向量Wp是以下二次規(guī)劃問題的解 是前沿證券對應(yīng)的收益率用拉格朗日乘子法求解.證券組合前沿 任何前沿證券組合可以表示成上述方式。任何能寫成上述方式的組合是一個(gè)前沿證券組合 對應(yīng)不同的收益率，優(yōu)化問題可以得到不同的解，進(jìn)而得到不同的前沿證券組合?！叭”橐磺心軌虻氖找媛?，其“軌跡就是一條曲線。由全體“前沿證券組合構(gòu)成的“集合證券組合前沿portfolio frontier。是今后定義有效邊境有效前沿 的根底.證券組合前沿的性質(zhì) g和h是兩個(gè)特殊“解向量性質(zhì)3-1 ：g對應(yīng)的收益率是0，g+h對應(yīng)1。性質(zhì)3-2：任何前沿證券組合可以由g和gh經(jīng)過再組合得到?？梢员硎境伞熬€性組合 。性質(zhì)3-

8、2：前沿證券組合可以由恣意兩個(gè)不一樣的前沿證券組合進(jìn)展再組合而得。.證券組合有效前沿的幾何構(gòu)造 收益率規(guī)范差方差均值空間時(shí)機(jī)集可行域是雙曲線 所圍的區(qū)域前沿組合的協(xié)方差3.22方差這是一條雙曲線。漸進(jìn)線中心點(diǎn)為0，AC .雙曲線圖形A/CE (r )0MVP時(shí)機(jī)集雙曲線.在收益率的方差均值空間中，時(shí)機(jī)集是頂點(diǎn)為C-1/2，A/C的拋物線 圖形 .最小方差證券組合mvp mvpminimum variance portfolio一切可行證券組合中mvp的方差最小mvp是雙曲線拋物線的頂點(diǎn)mvp的坐標(biāo)C1/2，A/Cmvp的投資權(quán)重性質(zhì)3-3：對一切的證券組合p不僅限于前沿證券組合 .有效證券組合

9、或有效邊境efficient portfolios 雙曲線從mvp開場：向右上方的一支，是有效的向右下方的一支，是無效的“有效組合“前沿組合“期望A/C凸組合定義：非負(fù)，和為1。性質(zhì)3-4：有效證券組合集是凸集.第四節(jié)零協(xié)方差前沿證券組合 zc(p)與p是有特殊關(guān)系的前沿證券組合，非前沿組合也有0協(xié)方差zc(p)的概念前沿證券p的零協(xié)方差前沿證券組合 zc(p)，之間的協(xié)方差為0性質(zhì)3-5：對于的恣意一個(gè)有效前沿證券組合ppmvp，存在獨(dú)一的零協(xié)方差前沿證券組合zcp。前沿證券組合zcp和p的位置是“對稱的 從證明中可以看出，不同時(shí)是有效組合.zc(p)的幾何含義 雙曲線：切線在縱軸上的截距拋

10、物線：p和mvp的連線的截距zc(p )mvppE (r )A/C0.非前沿組合的零協(xié)方差組合 對非前沿證券組合q，與q協(xié)方差為零的全部組合中，組合Q的方差最小。仍記，Qzcq數(shù)學(xué)表達(dá)為規(guī)劃問題.用拉格朗日求解zc(q)Qzc(q) 是q與mvp的再組合，Wq是負(fù)數(shù)。期望收益率為 .zc(q)的幾何含義證券組合q的0協(xié)方差前沿組合zc(q)的收益率的期望值是證券組合q和mvp的連線在縱軸上的截矩。圖3.11a.pZc(q)zc(p)垂直傳導(dǎo)性 定理3.1：恣意非前沿證券組合q及前沿證券組合p E (r )0q.Zc(p)程度傳導(dǎo)性 定理3.2：恣意非前沿證券組合q及前沿組合pE (r )0pq

11、Zc(q).q零協(xié)方差組合生成的前沿曲線FqFq是規(guī)劃問題隨E的變動(dòng)，得到曲線FqFq上的點(diǎn)是zcq和zcp的再組合Fq與有效前沿F0 在zcp點(diǎn)相切取不同的q，得到不同的Fq ，F(xiàn)0是Fq的包絡(luò)線 .第五節(jié)用前沿組合對恣意組合定價(jià) 利用零協(xié)方差證券組合對資產(chǎn)定價(jià)恣意證券組合i與前沿組合期望方面的關(guān)系 恣意證券組合i，任選一個(gè)前沿組合pmvp除外， PI是p和i的結(jié)合線依然是雙曲線可以證明，PI與證券組合前沿由一切資產(chǎn)生成相切于p點(diǎn)，“最外層。兩條曲線在p點(diǎn)的斜率相等，得到定價(jià)公式。.定價(jià)公式推導(dǎo)的圖形闡明E (r )pmvpzc(p)q A/Ci 0.另一種推導(dǎo)方法利用I和p的協(xié)方差的表達(dá)式

12、，將p的詳細(xì)投資比例代入可得定理3.3：恣意一個(gè)證券組合q的收益率期望值都可以表示成恣意一個(gè)前沿證券組合p除mvp外與其對應(yīng)的前沿證券組合zcp的收益率均值的線性組合zc(p)和p的位置是對稱的，zczcppzc(p)和p互換，定價(jià)公式另一種方式3.28 .定價(jià)公式的事后方式事前方式式中有期望E，不含隨機(jī)變量事后方式?jīng)]有期望E，含隨機(jī)變量或誤差將定價(jià)公式中的E去掉，得定理3.4：對于兩個(gè)協(xié)方差為零的前沿證券組合p和zcp，總可以將恣意證券組合q表示為這兩個(gè)前沿證券組合的線性組合，即假設(shè)q是前沿組合，那么沒有誤差項(xiàng)。前巖組合可以被線性表示性質(zhì)3.2a.第六節(jié) 存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下的證券組合前沿和

13、定價(jià) 假設(shè)投資對象中含有無風(fēng)險(xiǎn)證券，有效前沿組合有效邊境的“容貌有特殊性有效前沿組合以及其有關(guān)幾何構(gòu)造性質(zhì)有所加強(qiáng)，其結(jié)論更細(xì)化曲線變成直線.無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下組合前沿問題的數(shù)學(xué)提法和求解 Wp是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的權(quán)重N維向量無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf .無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下證券組合前沿是直線型 截距，斜率都可以計(jì)算“斜率一正一負(fù)兩條直線 .無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下組合前沿的組合含義和幾何構(gòu)造 無風(fēng)險(xiǎn)收益率的大小將會(huì)影響證券前沿詳細(xì)是直線的“ 容貌，分三種情況rf A/C、 rf A/C、 rf A/CA/C表示，“不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下，mvp的期望值存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之后，證券組合前沿由雙曲線向左進(jìn)展了擴(kuò)張。是由兩條射線所“

14、圍成的區(qū)域.對于rfA/C正斜率直線與雙曲線相切，切點(diǎn)是e點(diǎn)直線e左側(cè)上的點(diǎn)是e和rf的凸組合直線e右側(cè)側(cè)上的點(diǎn)是賣空r rf ，買入e負(fù)斜率直線不與雙曲線相交賣空e，買入rf r.rfA/C的幾何圖形mvpezc(p)E (r )0A/C.rfA/C正斜率直線不雙曲線相切賣空e，買入r負(fù)斜率直線與雙曲線相切，e點(diǎn)e左側(cè)的點(diǎn)是e和r的凸組合e右側(cè)的點(diǎn)是賣空r，買入e.rfA/C正、負(fù)斜率直線是雙曲線的漸近線直線上任何一點(diǎn)的投資權(quán)重之和0將資產(chǎn)全部投資于r持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例之和0.存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下定價(jià)問題 定理3.3：恣意證券組合q，收益率均值均可以被表示成恣意一個(gè)前沿證券組合p除mv

15、p外與其對應(yīng)的zc(p)的收益率均值的線性組合。類似結(jié)果。切點(diǎn)e的權(quán)重計(jì)算3.2：只思索rfA/C。.從幾何圖形角度計(jì)算e的權(quán)重 切點(diǎn)e的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重We是規(guī)劃問題之解幾何含義是最大斜率。結(jié)果與前面一樣E (r )0peA/C.資產(chǎn)定價(jià)公式 存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，類似于定理3.3的定價(jià)公式對第i個(gè)資產(chǎn)進(jìn)展定價(jià)。3.34中的e，換成其它前沿曲線此時(shí)是直線上的組合p，該公式也成立p是前沿組合直線上一點(diǎn)，q是恣意組合該定價(jià)關(guān)系式不思索rf與A/C之間的大小關(guān)系 .夏普率Sharpe Ratio對于恣意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合p稱為夏普率，或規(guī)范差風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢從圖3-14中知，前沿證券組合曲線直線上的組合的夏普率都相等，

16、同時(shí)也具有最大的夏普率上面的切點(diǎn)e是一個(gè)特殊的證券組合。它是夏普率最大的純風(fēng)險(xiǎn)證券組合，它就是CAPM中的“市場組合market portfolio所謂純風(fēng)險(xiǎn)證券組合是指 ，證券組合中不含有無風(fēng)險(xiǎn)證券，全部由風(fēng)險(xiǎn)證券組成 .*第七節(jié)普通證券投資組合選擇模型 前面的推導(dǎo)是在均值方差成效下所作出的引入成效函數(shù)后，才干真正詳細(xì)確定最優(yōu)證券組合，這就是普通的含義普通證券選擇模型內(nèi)容比較多，復(fù)雜只引見初級的內(nèi)容大部分只給出結(jié)果不進(jìn)展證明 .普通證券選擇模型的數(shù)學(xué)表達(dá) 沿用“常規(guī)的記號。共有N種資產(chǎn)，Wi第i個(gè)證券的投資權(quán)重。W表示N維權(quán)重向量。最優(yōu)證券選擇問題就是優(yōu)化問題定理3.5：給定一組資產(chǎn)，對于嚴(yán)

17、厲凹的成效函數(shù)u()來說，假設(shè)最優(yōu)證券選擇問題存在解，那么，最優(yōu)證券組合收益的概率分布是獨(dú)一的。此外，假設(shè)不存在“多余資產(chǎn)指風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益線性無關(guān)，那么，最優(yōu)證券組合即W也是獨(dú)一的。.普通意義下的有效證券組合 稱組合k為有效證券組合efficient portfolio，假設(shè)存在嚴(yán)厲凹的增函數(shù) u()成效函數(shù)，使得組合k的收益率下標(biāo)e表示“有效滿足，一階條件細(xì)節(jié)性內(nèi)容參閱 Ross(1978)，Chen and Ingersoll(1983)，Dybvig and Ross(1982)，Nielssen(1986).證券的b值用有效組合對恣意證券定價(jià) 對應(yīng)前面定價(jià)公式中的值，這里有b值定理3.6

18、：假設(shè)存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么，對恣意的證券i，下式成立用b替代,從方式上講，兩個(gè)定價(jià)公式一樣的.b值的風(fēng)險(xiǎn)含義及其相關(guān)性質(zhì) 從值的含義可以“延伸了解b值的含義兩個(gè)證券i和j比較b值，假設(shè)bkibkj，那么證券i的預(yù)期將收益大于j的設(shè)有效組合期望大于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，或者說證券i比j風(fēng)險(xiǎn)更大。證券i的b值是對證券i的風(fēng)險(xiǎn)一種度量，是證券i相對于證券組合k的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)證券組合b值等于該組合中單個(gè)證券b值的加權(quán)平均，稱為“證券組合性質(zhì)portfolio property在這種度量下，b值大的證券有更大風(fēng)險(xiǎn)。這種“順序關(guān)系具有完全性，也即是用這種度量可以對恣意兩證券進(jìn)展風(fēng)險(xiǎn)大小比較.有關(guān)b值的三個(gè)定理定理3.

19、7：設(shè)k和k1是恣意兩個(gè)有效組合，那么具有堅(jiān)持順序性， 1bkibkj 當(dāng)且僅當(dāng) bk1ibk1j 2bkibkj 當(dāng)且僅當(dāng) bk1ibk1j定理3.8 設(shè)證券k和L是兩個(gè)有效證券組合，那么，1bkk1， bkL0，即，有效證券組合的b值是正數(shù)2“鏈導(dǎo)法那么，對恣意證券組合p， bkp bkL bLp 定理3.9：對于證券組合p， ，當(dāng)且僅當(dāng)對一切的有效證券組合k，bkp0 .利用有效證券組合進(jìn)展事前定價(jià) 定理3.10：設(shè)k是有效證券組合，對于恣意的證券組合p，那么，定理的要點(diǎn)是闡明誤差部分滿足兩個(gè)性質(zhì)定理3.11：用多個(gè)可行證券組合進(jìn)展定價(jià)的公式.不存在無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下定價(jià)公式變形 設(shè)k是有效證券組合， 是相對于k的b值等于0bk00