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文檔簡介

1、3.2 ARMA過程1一、定義：若離散隨機過程x(n)服從差分方程式中e(n)是一離散白噪聲，則稱x(n)為ARMA過程。而上式所示差分方程稱為ARMA模型（自回歸滑動平均模型）。系數(shù)ai和bi分別稱為自回歸參數(shù)(AR)和滑動平均參數(shù)(MA)，而p和q分別叫做AR階數(shù)和MA階數(shù)。 具有AR階數(shù)p和MA階數(shù)q的ARMA過程用符號ARMA（p,q）簡記之。2二、ARMA過程的兩個特例ARMA過程還可以寫成：A(z)x(n)=B(z)e(n),式中 A(z)=1+a1z-1+apz-p (AR多項式) B(z)=1+b1z-1+bqz-q (MA多項式)且： Zi是后向移位算子3(1)若B(z)=1

2、，則ARMA(p,q)過程可化為：x(n)+a1x(n-1)+apx(n-p)=e(n)這一過程為階數(shù)為p的自回歸過程，簡記為AR(p)過程。(2)若A(z)=1,則ARMA(p,q)過程可化為：x(n)=e(n)+b1e(n-1)+bq(n-q)這一過程為階數(shù)為q的滑動平均過程，簡記為AR(q)過程。ARMA模型的傳函為： A(z)x(n)=B(z)e(n)4三、ARMA過程的性質(zhì)（1）因果性：定理3.2.1（充要條件）：令x(n)是一個A(z)和B(z)無公共零點的ARMA(p,q)過程則x(n)是因果的，當(dāng)且僅當(dāng)|z|1,有A(z)0。（2）可逆性：定義：若存在一個常數(shù)序列i,使得：其中定理3.2.2（充要條件）：當(dāng)且僅當(dāng)所有|z|1的復(fù)數(shù)z,恒有B(z)0,則x(n)是可逆的。5定理3.2.3：若對于所有|z|=1,有A(z)0,則ARMA過程具有唯一的平穩(wěn)解：其中hi為Laurent級數(shù)：定理3.2.3（Wold分解定理）任何一個具有有限方差的ARMA或MA過程都可以表示成唯一的，階數(shù)有可能無窮大的AR過

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