范數(shù)在數(shù)值計算中的應(yīng)用

1、淮北師范大學(xué)2013屆學(xué)士學(xué)位論文范數(shù)在數(shù)值計算中的應(yīng)用學(xué)院、專業(yè)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方向數(shù)值分析學(xué)生姓名李雙陽學(xué) 號 學(xué)091101072指導(dǎo)教師姓名陳曇指導(dǎo)教師職稱2013年 月 日證明：假設(shè)4(X) w；(CXD-F)是凸函數(shù)，那么(X)也是凸函數(shù)。VX, X2 eSRnx,z, 2e0,l,樂 2Xi+ (1-2) X2)IWA (4Xi+( 1-4) X2)B-W) II W2C (/LX+(1-/1) X2)D-W2f|I 4W AX也+(1-4) W1AX2B-W1E II CXjD+d-zl) w2cx2d-w2f|ZW1(AX1B-)+(l-Z) Wi(AX2BE)

2、 k 2/LW2(CX10E)+(l-/l) W2(CX；DT)|,，Wi(AXBE)W2(CX1-F)+(1-2)W1(AX2B-E)W2(CX；D 孑)=斯區(qū))+ (1-2) K問題得證。定理 2.24 w是 y-Lipschitz。證明：X,YeSRnxn,|v(x)-v(y)| =(A/可)(x) BecQ. (X) - vecQ (K) +(C”) 0 D(vecQ2(X)-vecQ2(Y)+ Wr)| vec(X - K)|其中 M = (A，(g)5)(Wf 區(qū)),N = (Cr 0D)(Wj 0IP2),因此，令忸腦/ + 乂1必 =九就可以得到結(jié)論。定理 2.2.5, V。是

3、K-Lipschitz。證明：PX,YeSRi,I|v(x)-V6(y)|=|2(vec(X-X*) - 2(vec(Y-X*)|= 2|v(X-Y)| n或區(qū))乂 u0,8)滿足(LJ吧4=8，W)Z4 =8。3)那么(4-4+J 看=。 n那么對任意的外4向:=7(4)-4田0(7()強收斂到唯一解“ e Fix(T 3(筋)=inf0(Fx(T)。定理3.12設(shè)KuH是一閉凸子集。假設(shè)(1)中：H fRuoo是可微凸函數(shù)，V+: H T /是X-Lipschitzain。(2)。： H fRds是可微凸函數(shù)，V)： H fH在7(H)上K-Lipschitzain 和 小強單調(diào)。-6-這

4、里T：=外(/ 中)，其中。.0,2/力。如果:= arg inf +(x) w 0 ,對任意的/ oe H ,應(yīng)用符合最速下降法迭代公式 xeK中+i :=7(以)-九尸。(7(4)得到序列(4)強收斂到點x* arg inf 0(x)(唯一 xwK中的)，其中4出滿足定理1中的條件。根據(jù)定理221225和定理3.1.2,有如下的用復(fù)合最速下降法求解問題2的收 斂性定理：定理令犬=卜6”尸65/?.), (x)=次發(fā)黑)2,/X)=X-X* 2,那么K是 一閉凸集，“(X),/X)均為凸函數(shù)V(X) , /X)分別是 7-Lipschitz和K-Lipschitz ,且V6(X)是強單調(diào)的。

5、應(yīng)用符合最速下降法 3X向二(1-24)7(現(xiàn)國)+ 24+邛水的到的序列3%強收斂到呼 ,其中AX 是問題 2 的解，T(vecXn) = PK(vecXn -V(XJ) , Vet;e(0,2/Z, &是 到凸集K的投影，4用滿足定理1的條件。證明：這里只需證明迭代公式,X+產(chǎn) T(yecX.)_2心(T(vecXn)-vecX) = (l-2AnJ T(vecXn) + 2兒用vecX*根據(jù)定理3.1.3,下面給出求解問題2的算法。(1)輸入A,優(yōu)選取任意初始矩陣,X =。(2)輸入Ve(X) = 23ec(X X*),二畫峭為現(xiàn)應(yīng) + 內(nèi)切。).。?。)其中。9(x) = W (AXB

6、-E), 02( X) = w?( CXD-F)(3) |V(X)-V /(y)| ecQ (X”)+ (C7叱t ) ORecQ (X)V8(X)= 2(vec(X-X)-7-(5)計算 uecX e=(1-24小)T(uecX)+ 2%+y cX*,其中T(vecXn)=%ecX W(X“)。(6)如果/ecX+,那么停止，否那么，使:= + 1,回到(4)。的最正確逼近解，其中例題 用算法1求在加權(quán)范數(shù)下（AXB二E,CXD=F）4 33 -24 3A =3 -14 33 -11313133 -1-4 33 -1-1 33 -1-1 3-3 222-3 22 -1-3 22 -19-32

7、4-72-2-3 95 -3-6 28= 8 4-1 8-3 2-1 -2-3 -3 955-36 6 28 8 41 3 -2-3 -3 21 1 23-2 34 3-1C= 3 -1 34 3-13 -1 3-4 33 -1-1 33 -1-1 322-3 22 -1-3 22 -1-3-3 9-3 52 -64 -8-8 -12 -3-2 1-8-5 -3683 -2-3-243-5484-5451-54-31376137-533743-5484-5451-54-31376137-533747-5484-5421-54-3127-3127-5227376137-53-5484-54513

8、76137-53-5484-542127-3127-520.10000.20000.10000.30000.10000.10000.10000.20000.4000,X =/70.30000.1000解：按照上述的算法,應(yīng)用MATLAB7.0計算,取石-5，得到如下對稱解-0.1432-0.1016-0.1349-0.1216-0.6408-0.03180.2347-0.10161.1085-0.06960.0287-0.0684-0.0377-0.1349-0.06961.11693-0.0405-0.29870.05310.1656Y 人6165min-0.1216-0.6408-0.03

9、180.23470.02870.1111-0.0684-0.0377-0.0405-0.29870.05310.1656W.(AX6165B-E)|W2(CX6165D-F)|0.68160.2301-0.00980.10500.2301-0.2333-0.24130.1742-0.0098-0.24131.03870.05090.10500.17420.05091.0227 71.7705, min X6165-X*|9130-9-四.向量范數(shù)、矩陣范數(shù)下線性方程組解的 誤差估計的推廣設(shè)1)矩陣A = (%) G cnxn的攝動矩陣為8 = (%) G Cnx，向量B = (b也，,a)/。

10、門的攝動向量為5*二俗也，b八 C ；2)mil是與某向量范數(shù)|x|L相容的算子范數(shù)；A 可逆，B (0,0,0), ；- vl,如果 X, X* 分別滿足 AX=B (A+5) X* = 3 + 3* = B*,川”X|LBi-|A-il BIIXX*|Q|A|U|AT|U - B*|L II1州 1J|A|LI|/T6|l .”|L mil 1-|A-|L II il4證明端蕓引+II A IL IB IL i-IIIL II 11.因為A, E+ Al6均可逆所以X-X*=AB-(A + B= A-B-A-Bi + A-B-(A + 3尸 R*= *(5-5*) + ( _(4 + b門

11、*故x*iR * (5 B*)1 + N A-(A + 門 8* 4IM叫+卜7一(4 +時也 而 TA* IL-io-所以囁泮川號P+黑鎰黠4 2 證明 XL 4- II A |IIA III A-6 |IL B1-|A-|L|B|L因為 X X* = (B 夕)+ (A-I (A + S尸)B而 A-(A+5)tB = B + =A-5(石+A一劣)-A一1所以 X X* = A-1 (B - B ) + A-(E- A-b)- A-B + A-(E-4一沙尸|x-x*| |a-1 (B -+ |a-(E + A-lsyl A-l + |,一/( + 4 一尸 A-1 A-l E B* +

12、k-1(E + A-,r，|+ A-%( + A%尸aa IIWa II aaa又/T以=X, A= |Xa 1 a1 1111X|叫L所以x* (II 11(E+4 一尸0；齊次條件：對任何C,有II kX = I k I II X| ；三角不等式：對任何X,YCx都有，II X+X II三II三+ I Y II ；對任何X,YwCx都有|xy|歸因”斗,那么稱這個實函數(shù)I T|是方陣X的范數(shù)。定理2.1.4.對任意AeCyXeC,假設(shè)向量范數(shù)卜|L與矩陣范數(shù)網(wǎng)滿足不等式 axi |X|a- A-to 9岡*x|X|L=|X|L(l- A” 0從而知( +A-)X = (0,0)7,只有零解

13、,故E+A”可逆。再證厄+ A)因為(E + A-3)(E + 4一%)一1 = = ( + *5尸 + A-(E + 4一%尸二E=(E +4一為尸=E 4一2(石+ 4一)一1所以亞+ A-%)-卜愀十 %-領(lǐng)加A)中用4冏%(+A)Ea1- A少(2)因為A + 5=A(E+A-)而A, E+4一均可逆所以A + b可逆(3)因為A_(A + 3)T = 47_(4(+4一)尸=石一(石+4一尸4-而(E + A-3y=A-3(E + A-l3y A又(E + A-f1 A-3-|A(A + 5)| 冏(+ A)一所以A一 4一功 g1- A-SA一 4一功 彼建)2,/X)= X-X*那么 V(X)= ( (AtW,t)(x)B) vecQ1(X)+ ( (CTWPD) vecQ2(X)/X)=2(vec (X-X*)這里 Q|(X)=W(AXB-E) , Q2(X)=W2(CXD-F)定理2.2.2.6(X)= X-X* 2是凸函數(shù)。證明假設(shè)dx)=x-x*是凸函數(shù)，那么/