第五章頻率響應法學習課件

1、第五章 頻率響應法 頻率響應法是以傳遞函數(shù)為基礎的一種控制系統(tǒng)分析方法，與根軌跡法一樣，是一種工程方法。它不僅能根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性直觀地分析系統(tǒng)的閉環(huán)響應，而且還能判別某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而為改善系統(tǒng)性能提供有用信息。 從工程角度看，與根軌跡法一樣是種圖解法，研究的主要手段是極坐標圖（Nyquist圖）和Bode圖。 頻率響應法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。第一節(jié) 頻率特性 頻率特性又稱頻率響應，是系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應特性。 設輸入為一頻率為 的正弦信號，穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出具有和輸入同頻率的正弦函數(shù)，但

2、其幅值和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化。 設線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知輸入 ，則系統(tǒng)輸出為頻率特性的基本概念 對于穩(wěn)定系統(tǒng)， 的極點都位于 左半平面，為簡單起見，令 的極點均為相異的實數(shù)極點，則 當 時，系統(tǒng)響應的暫態(tài)分量 趨于零，其穩(wěn)態(tài)分量為 頻率特性的基本概念其中：其中： ，則頻率特性的基本概念 結論：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號，其輸出與輸入的幅值比為 ，輸出與輸入的相位差為 RC電路的傳遞函數(shù)為若輸入電壓 ，則頻率特性的基本概念式中， ， ， 。 頻率特性的物理意義：當一頻率為 的正弦信號加到電路的輸入端后，穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入之比；或

3、者說，電路的輸出與輸入的幅值之比和相位之差。頻率特性的基本概念 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 由傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)的頻率響應令 ，即 ，則系統(tǒng)的頻率特性為 若在 平面虛軸上任取一點 ，將該點與所有零、極點連成向量，并以極坐標的形式表示為頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 系統(tǒng)幅值隨頻率變化的特性稱幅頻特性，相角隨頻率變化的特性稱為相頻特性。 由實驗方法確定系統(tǒng)的頻率特性第二節(jié) 極坐標圖 由于頻率特性 是一個復數(shù)，可表示為或 這樣，頻率特性 可用幅值為 ，相角為 的向量來表示。當輸入信號頻率 時，向量 的幅值和相位也隨之變化，其端點在復平面上移動而形成的軌跡，稱為極坐標圖或奈氏圖。典型環(huán)節(jié)的 Nyqu

4、ist 曲線 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的頻率特性為 積分和微分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的頻率特性為 顯然，積分環(huán)節(jié)的奈氏圖為負虛軸。典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 顯然，微分環(huán)節(jié)的奈氏圖為正虛軸。 結論：積分環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，當信號經(jīng)過一個積分環(huán)節(jié)后，其相位滯后90。 結論：微分環(huán)節(jié)是一個相位超前環(huán)節(jié)，當信號經(jīng)過一個微分環(huán)節(jié)后，相位將超前90。典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 一階環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為 結論：一階慣性環(huán)節(jié)是一個相位滯后環(huán)節(jié)，其最大滯后角為90，此時頻率無窮大。典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 結論：一階微分環(huán)節(jié)是一個相位超前環(huán)節(jié)

5、，其最大超前角為90，此時頻率無窮大。典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 二階環(huán)節(jié) 二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 當 時， ，相角為 。當 時，奈氏曲線上距原點最遠的點所對應的頻率就是振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率 ，幅值為諧振峰值 。當 時，無諧振， 向量的幅值隨增加而單調(diào)減小。 當 時，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性與一階慣性環(huán)節(jié)相類同，其奈氏圖近似為一個半圓。典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為典型環(huán)節(jié)的 Nyquist 曲線 時滯環(huán)節(jié) 時滯環(huán)節(jié)的頻率特性為 由于時滯環(huán)節(jié)的幅值恒為1，相位與成比例變化，其奈氏圖是一單位園。在低頻段，當 較小時，即 時，時滯環(huán)節(jié)

6、可近似用慣性環(huán)節(jié)表示。開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為當 時， ， ，即為實軸上的一點（ ，0）；當 時， ， ；當 時，奈氏曲線的具體形狀由開環(huán)傳遞函數(shù)所含的具體環(huán)節(jié)和參數(shù)確定。開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 1型系統(tǒng) 1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 由上式不難看出，當 時， ；當 時， 。開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 2型系統(tǒng) 2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 由上式不難看出，當 時， ；當 時， 。開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 結論：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖的低頻部分由因式 確定。對于0型系統(tǒng)， ，對于1型和1型以上的 型系統(tǒng)， 。 因 ，當 時，開環(huán)系統(tǒng)高頻部分 ，曲線以

7、順時針方向按 的角度趨向于坐標原點。開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 例1 已知型系統(tǒng)、1型系統(tǒng)和2型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為 試繪制它們對應的奈氏圖。 解 0型系統(tǒng)的頻率特性為開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 1型系統(tǒng)的頻率特性為 當 時， ，即 ；當 時， 。開環(huán)系統(tǒng)的 Nyquist 圖 2型系統(tǒng)的頻率特性為 當 時， ，即 ；當 時， 。第三節(jié) 對數(shù)坐標圖 對數(shù)坐標圖由對數(shù)幅頻特性圖和相頻圖兩部分組成。對數(shù)幅頻特性圖的縱坐標為 ，常用符號 表示，單位是分貝（dB）。相頻圖的縱坐標為 ，單位是弧度或（）。兩張圖的縱坐標都按線性分度，橫坐標是角頻率 ，常用 分度，從而形成了半對數(shù)坐標系。 以

8、分度的橫坐標上，1到10的距離等于10到100的距離，這個距離表示十倍頻程，用符號dec表示。對數(shù)幅頻特性的“斜率”一般用dB/dec表示。對數(shù)坐標圖又稱伯德圖（Bode圖）。 典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié) 的對數(shù)幅頻特性是一高度為 dB的水平線，其相角為 。當 時， 位于橫軸上方；當時， 位于橫軸上，稱0dB線；當 時，位于橫軸下方。典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 一階環(huán)節(jié) 一階慣性環(huán)節(jié) 的對數(shù)幅頻和相頻特性為（其中 ） 當 時， ，表示 的低頻漸近線是一條高度為0dB的水平線。 典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 當 時， ，表示 的高頻漸近線是一條斜率為20dB/dec的直線。 兩條漸近

9、線的交點頻率 ，稱為轉折頻率。此處用兩條漸近線近似表示對數(shù)幅頻特性所產(chǎn)生的幅值誤差最大，約為3dB。典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 結論：一階慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波器的特性。有高通濾波器的特性，其對數(shù)幅頻和相頻特性為 一階微分環(huán)節(jié) 具典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 積分和微分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié) 的對數(shù)幅頻和相頻特性為典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 微分環(huán)節(jié) 的對數(shù)幅頻和相頻特性為典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 如果傳遞函數(shù)中含有 個積分環(huán)節(jié)，即 ，則其對數(shù)幅頻和相頻特性為典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 二階環(huán)節(jié) 如果二階環(huán)節(jié)系統(tǒng)中的阻尼比 ，則二階系統(tǒng)的頻率特性可由兩個一階慣性環(huán)節(jié)相乘得到；如果 ，則開環(huán)傳遞函數(shù)中含有一對共軛極

10、點，存在下列形式的二階環(huán)節(jié)：（其中： ）典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 則其對數(shù)幅頻和相頻特性為 當 時， ，表示 的低頻漸近線是一條0dB的水平線。 典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 當 時， ，表示 的高頻漸近線是一斜率為40dB/dec的直線，兩漸近線交點 為二階振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率。 當 時，二階振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性才存在諧振頻率和諧振峰值。 定義：諧振頻率 和諧振峰值 為典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖典型環(huán)節(jié)的 Bode 圖 時滯環(huán)節(jié) 由于環(huán)節(jié) 與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，所以它們的對數(shù)幅頻和相頻特性只差一個符號。 時滯環(huán)節(jié)幅頻和相頻特性為 可見，其對數(shù)幅頻

11、特性是條0dB的水平線，相角 與頻率 呈線性關系。開環(huán)系統(tǒng)的 Bode 圖 如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由若干典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，則其對數(shù)幅頻和相頻特性分別為 可見，只要作出 所含各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線，然后進行代數(shù)疊加，即可得開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。開環(huán)系統(tǒng)的 Bode 圖 對系統(tǒng)近似分析時，只需畫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，大大簡化了圖形繪制。 用伯德圖表示頻率特性的主要特點： 將幅頻特性的乘除運算轉變?yōu)榧訙p運算； 一般，繪制開環(huán)系統(tǒng)伯德圖的步驟為： 將所含各環(huán)節(jié)按轉折頻率由小到大依次排列，若存在比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)，則將其排在最左邊。 寫出開環(huán)頻率特性表達式，并表示成典型環(huán)節(jié)相乘的形式。開環(huán)系統(tǒng)的

12、 Bode 圖 繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。首先確定低頻段上積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的漸近線，其低頻段漸近線斜率為 ， 為積分環(huán)節(jié)數(shù)。在 處，有 。然后沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉折頻率就改變一次分段直線的斜率。如果遇到 環(huán)節(jié)的轉折頻率 ，當 時，分段直線斜率的變化量為 ；如遇到 環(huán)節(jié)的轉折頻率 ，當 時，分段直線斜率的變化量為 ；其它環(huán)節(jié)類似處理。分段直線最后一段是開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的高頻漸近線，其斜率為 。開環(huán)系統(tǒng)的 Bode 圖 作出相頻特性曲線。根據(jù)開環(huán)相頻特性表達式，在低頻、中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干個頻率進行計算，然后連成曲線。 如果需要，可根據(jù)各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線在其半倍頻、一倍頻

13、和二倍頻處對相應的分段直線進行修正，得到實際的對數(shù)幅頻特性曲線。 為便于分析，應使對數(shù)幅頻特性曲線在穿越0dB線、相頻特性曲線穿越 線時盡可能準確。 開環(huán)系統(tǒng)的 Bode 圖 例2 已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。 解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為可見，系統(tǒng)由比例、積分、微分和慣性環(huán)節(jié)組成。開環(huán)系統(tǒng)的 Bode 圖最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 設最小相位系統(tǒng)a和非最小相位系統(tǒng)b的傳遞函數(shù)分別為其中： 。它們的頻率特性分別為 由于 ，所以兩個系統(tǒng)的幅頻特性完全相同，它們的相頻特性分別為最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 當 時，系統(tǒng)a的相位變化量為 ，系統(tǒng)b的相位變化量為 。可見，最

14、小相位系統(tǒng)的相位變化量總小于非最小相位系統(tǒng)的相位變化量，即為“最小相位”名稱的由來。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng) 由圖可見，最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線的變化趨勢基本一致，兩者之間存在唯一的對應關系，如果確定了系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，則其相頻特性也就被唯一確定。反之亦然。 當 時，雖最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的斜率均為 ，但前者相位 ，而后者相位 ，這是判別系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)的有效方法。 因此，可根據(jù)最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線，估計系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關系 0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 0型系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性低頻段的特點為：低頻

15、段的漸近線斜率為0dB/dec，高度為 。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關系 1型系統(tǒng) 1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關系 1型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的特點為： 低頻段的漸近線斜率為 。 低頻段漸近線（或其延長線）在 處的縱坐標值為 ，由此可得穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) 。 系統(tǒng)的開環(huán)增益即穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) 在數(shù)值上等于低頻段漸近線（或其延長線）與0dB線交點的頻率值。系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關系 2型系統(tǒng) 2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性與閉環(huán)穩(wěn)態(tài)誤差的關系 2型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的特點為： 低頻段的漸近線斜率為 。 低頻段漸近線（或其延長線）在

16、 處的縱坐標值為 ，由此可得穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) 。 系統(tǒng)的開環(huán)增益即穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) 在數(shù)值上等于低頻段漸近線（或其延長線）與0dB線交點的頻率值的平方。第四節(jié) Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其特征方程式為令引言 根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù) 的全部零點都必須位于 平面的左半部分。式中， 、 、 是 的零點，也是閉環(huán)特征方程式的根； 、 、 是 的極點，也是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。 輻角原理 對于 平面上每一點，在 平面上必有唯一的一個映射點與之對應。同樣，對于 平面上任意一條不通過 的極點和零點的閉合曲線 ，在 平面上必有唯一的一條閉合曲線 與之相對應

17、。輻角原理 的相角為 余各向量的相角變化都為 。對應 平面上的映射曲線 以順時針方向圍繞坐標原點旋轉一周。 如果閉合曲線 以順時針方向圍繞 的某零點 旋轉一周，則向量 的相角變化了 ，其輻角原理 推論：若 平面上的閉合曲線 以順時針方向圍繞 的 個零點旋轉一周，則其在 平面的映射曲線 將以順時針方向圍繞坐標原點旋轉 周。 如果閉合曲線 以順時針方向圍繞 的某極點 旋轉一周，則向量 的相角變化了 ，對應 的相角變化了 ，表示 平面上的映射曲線 以逆時針方向圍繞坐標原點旋轉一周。 推論：若 平面上的閉合曲線 以順時針方向圍繞 的 個極點旋轉一周，則其在 平面的映射曲線 將以逆時針方向圍繞坐標原點旋

18、轉 周。輻角原理 輻角原理：對于解析函數(shù) ，如果 平面上的閉合曲線 不經(jīng)過 的任何零點和極點，以順時針方向包圍 的 個零點和 個極點，則其在平面上的映射曲線 將圍繞坐標原點旋轉 周，其中 。 當 ，表示曲線 不包圍坐標原點； 當 ，表示曲線 以順時針方向包圍坐標原點； 當 ，表示曲線 以逆時針方向包圍坐標原點。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) Nyquist軌線：軌線 由 軸表示的 部分和半徑為無窮大的半圓部分 組成。 由于 中的 ，當 沿奈氏軌線 運動時，有 這說明，當 沿著半徑為無窮大的半圓變化時，函數(shù) 始終是一常數(shù)。為此，映射曲線 是否包圍坐標原點，取決于奈氏軌線中 部分的映射。Nyquist

19、穩(wěn)定判據(jù) 如果在 軸上不存在 的極點和零點，則當s沿著 軸由 運動到 時，在 平面上的映射曲線 為 如果閉合曲線 以順時針方向包圍 的 個零點和 個極點，由輻角原理可知，它在 平面上的映射曲線 將以順時針方向圍繞著坐標原點旋轉 周，其中 。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) 因此，映射曲線 對其坐標原點的圍繞等價于開環(huán)頻率特性曲線 對 平面上點的圍繞。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) 如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍 點。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)： 如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有 個開環(huán)極點在的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線以逆時針方向圍繞 點旋轉 周。Nyquist

20、穩(wěn)定判據(jù)的應用步驟 作出開環(huán)系統(tǒng)的奈氏曲線 ； 計算奈氏曲線 對點 按順時針方向的圍繞圈數(shù) ； 確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。若不穩(wěn)定，則確定開環(huán)系統(tǒng)在 右半平面上的極點數(shù) ； 根據(jù) ，確定 是否為零。如果 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在 右半平面上的數(shù)目。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的應用 例3 已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 系統(tǒng)在 右半平面沒有開環(huán)極點， 。 奈氏曲線不包圍 點， ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明 開環(huán)極點位于虛軸的情況 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 部分Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進

21、一步說明 對于 的1型系統(tǒng)， 部分在 平面上的映射曲線是一個半徑為無窮大的半園。 對于 的2型系統(tǒng)， 部分在 平面上的映射曲線是一個半徑為無窮大的園。 從 到 ，應順時針連接。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明 例4 已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有2個閉環(huán)極點在 右半平面。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明 例5 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析時間常數(shù) 和 的相對大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并畫出它們所對應的奈氏圖。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明 利用奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定范圍 根據(jù)奈氏曲線是否通過 點的條件來選擇參數(shù)。 例6 已知一

22、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 值范圍。 解Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明 具有時滯環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析 設含時滯環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明當 時，相對于 ， 的幅值不變，相角則在每個 上順時針多轉了 。 以螺旋形趨于原點，與 平面負半軸相交無窮多點。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線與負實軸的第一個交點必須位于 的右邊。 因 ,當 時，Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的進一步說明 例7 已知試分析 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 時，系統(tǒng)穩(wěn)定； 時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； 時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)在對數(shù)坐標圖的應用 平面上單

23、位圓的圓周與對數(shù)坐標圖上的0dB線相對應，單位圓的外部對應于 ，單位圓的內(nèi)對應于 。 平面上的負實軸與對數(shù)坐標圖上的 線相對應。 如果 曲線以順時針方向包圍 點一周，則此曲線將自下而上穿越負實軸 線段一次。這種穿越使相角減小，稱為負穿越 。 伯德圖上相當于 時，相頻曲線 自下而上穿越 線一次。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)在對數(shù)坐標圖的應用 如果 曲線以逆時針方向包圍 點一周，則此曲線將自上而下穿越負實軸 線段一次。這種穿越使相角增大，稱為正穿越 。 伯德圖上相當于 時，相頻曲線 自上而下穿越 線一次。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)在對數(shù)坐標圖的應用對數(shù)頻率特性形式的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)： 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

24、的充要條件：當 變化時，在 頻率范圍內(nèi)，相頻特性 穿越線的次數(shù)（正、負穿越次數(shù)之差）為 。 判據(jù)中的頻率范圍是 從 ，而非 ； 若 為奇數(shù)，則開環(huán)系統(tǒng)未真正產(chǎn)生穿越，相頻特性的起點在負半軸。注意：第五節(jié) 相對穩(wěn)定性分析 相位裕量 剪切頻率 ：對應于 時的頻率，即奈氏曲線 與單位圓交點處的頻率 。 相位裕量 ：在剪切頻率 處，使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時所能接受的附加相位滯后角。 對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，若 ，則 曲線包圍 點，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；若 ，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。一般 越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好。用 Nyquist 圖表示相位裕量和增益裕量 增益裕量處，開環(huán)幅值 的倒數(shù)稱為增益裕量 。 在開環(huán)頻率特性的

25、相角 時的頻率 增益裕量表示系統(tǒng)在變到臨界穩(wěn)定時，系統(tǒng)的增益能增大多少。用 Nyquist 圖表示相位裕量和增益裕量 對于最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是： 曲線不包圍 點，即曲線與負實軸交點處的模小于1，即 。反之，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)， 。 稱為相位穿越頻率用 Bode 圖表示相位裕量和增益裕量 剪切頻率 ：開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線與 軸的交點。 相位穿越頻率 ：相頻曲線與 水平線的交點。用 Bode 圖表示相位裕量和增益裕量 在伯德圖上，增益裕量常用分貝數(shù)表示，即表示系統(tǒng)在到達臨界穩(wěn)定前，允許系統(tǒng)增益增大的倍數(shù)。 對于穩(wěn)定系統(tǒng)， ，增益裕量為正，對數(shù)幅頻特性曲線上對應 的點在 軸的下方；

26、對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕量和相位裕量均為負。 在工程上，通常要求相位裕量在 ，增益裕量大于6dB。用 Bode 圖表示相位裕量和增益裕量 例8 已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求： 時系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。 要求通過增益 的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量 ，相位裕量 。 解 用 Bode 圖表示相位裕量和增益裕量用 Bode 圖表示相位裕量和增益裕量 由題意得 ， ，在 處 中頻段的主要參數(shù)：剪切頻率 、相位裕量 和中頻寬度 。對數(shù)幅頻特性中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性反映了系統(tǒng)抗干擾能力對數(shù)幅頻特性中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系 中頻寬度在斜率為 且靠近 處，

27、標準二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 當 時， ， 位于 ，階躍響應是衰減較慢的振蕩過程。對數(shù)幅頻特性中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系 當 時， ， 位于 與 的交點處，階躍響應是衰減較快的振蕩過程。 當 時， ， 位于 ，階躍響應是接近無振蕩的非周期過程。 減小 增大對數(shù)幅頻特性中頻段與系統(tǒng)動態(tài)性能的關系 結論：為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且系統(tǒng)的階躍響應無超調(diào)或超調(diào)很小，剪切頻率 應位于斜率為 的線段上，同時要有一定的中頻寬度。中頻段越寬，則階躍響應越接近非周期過程。第六節(jié) 頻域性能指標與時域性能指標間的關系 對于標準二階系統(tǒng) 與 關系如何？開環(huán)頻率特性中相位裕量與時域性能指標的關系 相位裕量與超調(diào)量的關系 相位裕量與調(diào)整時間的關系 與 成反比關系 一定， 與 成反比關系；同樣， 與 也成反比關系。閉環(huán)頻率特性及其特征量 閉環(huán)幅頻特性的零頻值 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中， 不含積分和比例環(huán)節(jié)，且 。 當 時，閉環(huán)幅頻特性的零頻值為閉環(huán)頻率特性及其特征量 當 時，閉環(huán)幅頻特性的零頻值為 0型與1型及1型以上系統(tǒng) 的差異，反映了它們跟隨階躍輸入時穩(wěn)態(tài)誤差的不同，前者存在穩(wěn)態(tài)誤差，后者沒有穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生。 閉環(huán)對數(shù)幅頻特性閉環(huán)頻率特性及其特征量 閉環(huán)頻率特性的諧振峰值 與諧振頻率 截止頻率 和頻帶寬度 當幅頻值下降到低于零頻率值以下3dB時，所對應的頻率 稱為截止頻率。閉環(huán)頻率特性及其特征