2001-8北京航空航天大學(xué)高等代數(shù)

1、咼等代數(shù)試題（共2頁(yè)）考生注意:全部答案必須寫在答題冊(cè)上，寫在試題上的答案無效0（共十題，每題10分）設(shè)戸（工）是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，又知P（0）及P（l）都是奇數(shù),i 明PQ）= 0沒有整數(shù)根。求一個(gè)次數(shù)最低的多項(xiàng)式,使其被才+1除余丁+1,被工彳+. .+ 1 除余 X2 1 o用線性代數(shù)方法證明:若一個(gè)n次多項(xiàng)式尸Q）在” + 1個(gè)互: 相等的數(shù)工1，工2,，工卄1處取值為0,則PQ）三0。4.已知a0,證明”階行列式a10 00-1a1 00D =0-1a - 0 0 0000 a1000 -1a5-設(shè)向量組,a,線性無關(guān),試討論向量組ai + a2，a2+a ,4 + 5的線性相關(guān)性。

2、試證:任意滿秩方陣A可以表成一個(gè)正交陣Q與一個(gè)正定 P的乘積。設(shè)方陣A的特征值全為0,證明一定存在一個(gè)自然數(shù)菇使 =0。&設(shè)A及均為正定陣。證明AB的特征值均大于0。試證”維（”2）實(shí)線性空間V的一個(gè)線性變換必有1維 或2維的不變子空間。設(shè)f是”維歐氏空間E上的一個(gè)線性函數(shù)，試證有唯一的向 量0WE,使對(duì)任意aE,有y（a） = （a,0）,其中（，）表示內(nèi)積。北京航空航天大學(xué)二0 0二年碩士生試題 題草號(hào)：493高等代數(shù)（共3頁(yè)）考生注意：所有答題務(wù)必書寫在考場(chǎng)提供的答題紙上，寫在本試 題單上的答題一律無效（本題單不參加閱卷）。填空題（本題滿分10分，每小題2分） 0 J1）設(shè)矩陣：Amxm

3、 ,氏和，= b則b q =H bj-的線性空閭的基底為3）坡三維線性空間V上的線性變換荃底”,：下的走陣為 G % %、4 二,口巧 Qrr Qy |an a33 J則A在勺，雄嗎下的矩陣為fo 0（k不為零）此矩陣芝蘭標(biāo)準(zhǔn)形2）實(shí)數(shù)域R上全體形如 許的二階矩陣對(duì)矩陣詢加法和數(shù)乘運(yùn)算所敲5）設(shè)V為n維歐氏空間，嶺=囲（工,刃=0衛(wèi)；冷訂,則人的繪數(shù)為二、選擇題（本題満分10分，每小題2分）1）且可逆，則第斗93-1頁(yè)4) |才卜團(tuán)rB)才卜|4|C)#卜國(guó)Amn,秩(A)=”-3,尙耳心為非齊次線性代數(shù)方程組心比的三個(gè)線性無關(guān)的解，則為AX=O的基礎(chǔ)解系+ 1.(f(：i)Ji(x)= 1(

4、f(x)：gx)h(x)=l匹、(本題滿分10分)求下茴藥行列弍討這卜：一”乞r,兀；xx. -mx.-込:；忖：工：心兀-加B 493-2五、（本題滿分io分）設(shè)非齊次方程組AX = b的特解弘，它對(duì)應(yīng)的齊次線性代數(shù)方程組AX=O的基 礎(chǔ)解系為ax,alt.,an_r,且秩（A） -r ,證明：久皿譏+他皿譏+ a2 ”“可”-產(chǎn)耳o + a”,為盈線性無關(guān)的解向 量，若帀=肛+切（+“ + Vr7n-r且上0 +俎+ Vr =】，則耳為 盈=0的全部解向量六、（本題滿分10分）4 -12、已知a是矩陣4= 5 a 3的特征向量，確定參數(shù)a,b以及_1 b 2特征向量a所對(duì)應(yīng)的特征值。七、（

5、本題滿分10分）設(shè)缶,逐,Qi為n維歐氏空間V的線性無關(guān)的向量，件,02均和 ava2 a”正交，證明0”02線性相關(guān)。八、（本題滿分10分）V = XX = （%）”“，工“ =0円 eR,i;J = 1,2n,求 V 的基底和維數(shù)，九、（本題滿分10分）A為/階正定矩陣，E為單位矩陣，證明|4 + 2E|2j十、（本題滿分10分）設(shè)A為n階方陣，且秩（A） =r, A-=A,證明A的對(duì)角線元素之和為r第493-3頁(yè)北京航空航天大學(xué)2003年碩士試題 題單號(hào)：493高等代數(shù)(共3頁(yè))，考生注意：所有答題務(wù)必書寫在考場(chǎng)提供的答題紙上，寫 在本試題單上的答題一律無效(本題單不參與閱卷)。一、(本

6、題10分)設(shè)行列式町L”中對(duì)任意i.j有勺=-，且n為奇數(shù)，證明匕,丄”=0,二、(本題10分)設(shè)A , B均為n階方陣，證明AB-BA=I .ifc處I.為n階草泄迂,三、(本題10分)設(shè)h(x) .f(x) ,g(x)均為域F上的一元多項(xiàng)式，若h(x)|f(x):而h()不螯除g(x),證明 h(x)不整除 f(x)+g(x) 匹、(本題10分)若向量a,.a2.a線性無關(guān)，證明a, +a;. a2+a3. a. +at也線性無關(guān)五、（本題10分）設(shè)Wi ,W2是線性空間V的子空間，若W（UW2也是V的子空間，證明 必有 W!CW2 或 W2UW1 .六、（本題10分）設(shè)7是線性空間V上的

7、線性變換，證明b可逆的充分必要條件為7是單 的（即O是1-1的）。七、（本題15分）is A, B, C, D為nxn階矩陣，且制=0, AC=CA.證明八、（本題15分）設(shè) A= -I求正交陣T使T仃7為對(duì)角陣.九、（本題15分）設(shè)A為n階正定矩陣的充分必要條件是存在一福異矩陣C,使得A= C C。十、（本題15分）設(shè)A , B都是n階實(shí)矩陣，秩Ap秩B二、（本題15分）設(shè)A是有夏維唆性空間V的線性變換，W是V的子空間.AW衰示三V 中向量的象里成的子空間，證明：維（AW） +維（Anff ）=維W北京航空航天大學(xué)二00四年碩士試題題單號(hào)：493-高等代數(shù)（共3頁(yè)）考生注意：所有答題務(wù)必書寫

8、在考場(chǎng)提供的答題紙上，寫在本試 題單上的答題一律無效（本題單不參與閱卷）（本題10分）計(jì)算下面行列式的值a】+ 幾a?* a”a2+Z aat -勺a”+幾（本題10分）設(shè)介）=吟+仏嚴(yán)+ a。是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果存在干個(gè)素?cái)?shù)P，使得1）p不能整除2）p|a”-” an-i ao3）h不能整除宓則此多項(xiàng)式在有理數(shù)域上是不可約的，監(jiān),.0”的秩分別為$”$2，心，其中 ，人第4931頁(yè)（本題10分）設(shè)向量組,禺7，=a（ i = l,2,.?n證明：5 s2+s3 s2sx+s3 s30 i = l,2,.n第4933頁(yè)北京航空航天大學(xué)2005年碩士研究生入學(xué)考試試題 科目代碼：493 高等

9、代數(shù)（共3頁(yè)）考生注意：所有答題務(wù)必書寫在考場(chǎng)提供的答題紙上，寫在本試 題單上的答題一律無效（本題單不參加閱卷）。選擇題（本題滿分40分，每個(gè)小題4分）1）設(shè)A為N階矩陣，且國(guó)=0,則A中A）必有一列元素全為零B）必有兩列元素成比例C）必有一列元素可以由其余列線性表示D）任一列向量是其余列向量的線性表示2）設(shè)久爲(wèi)是非齊次線性方程組AX= 6的兩個(gè)不同的解，兩嗎是AX=Q的基礎(chǔ)解系，$為任意常數(shù)，則AX=b的通解為A）片務(wù)+&（+a2）+S-0J/2B）片再+為（a】-”2）+ +爲(wèi)）/2C）丘冋+MA+02）+ -02）/20）耐舛+焉3-02）+ 0+角）/23）設(shè)A, B都是n階非零矩陣，

10、且AB=0 ,則A和B的秩A）必有一個(gè)等于0B）都小于”C）個(gè)小于”，一個(gè)大于nD）都等于“4）設(shè)兩個(gè)矩陣為心B則有：A）當(dāng)mn時(shí)，必有|姐*0B）當(dāng)mn時(shí)，必有|48| = 0C）當(dāng)mn時(shí)，必有|ABj*0D）當(dāng)mn時(shí)，必有5）設(shè)A, B為同階可逆方陣，則A） AB=BA B）存在可逆矩陣C, CtAC = BC）存在可逆矩陣P使得PSP = BD）存在可逆矩陣P，Q使得PAQ=B6）設(shè)a”均為N維向量，那么下面結(jié)論正確的是A）若Alx1 + kjOj +k”a”=O,則a”a”,a”線性相關(guān)B）若對(duì)枉意一組不全為零的數(shù)耐,$，“玄”有耐內(nèi)+為色+斤”工0,則a-a?a”線性無關(guān)C）若函衛(wèi)2

11、,.衛(wèi),線性相關(guān)，則有對(duì)任意一組不全為零的數(shù) 砧，”“,k “有如+也+“從川“ =0D）若0） + Oaj + a”=0,則a”線性無關(guān)7）設(shè)乂為A的特征值，/（對(duì)為N次多項(xiàng)式，則代旳的特征值為一A） /（A） B） k C） A, D） M|8）A為對(duì)稱矩陣，且正交，則豪=A） E B） A C） 2A D） 3A9）設(shè)A為實(shí)的反對(duì)稱矩陣，且丫=際，則（X，丫）=A） 0 B） 1 C） 34）國(guó)10）數(shù)域P上的有限維線性空間人2同構(gòu)的充要條件A）人，人維數(shù)相等B）%=C） X，耳有相同的基D） /p卩2的和為V（本題滿分15分）2-2 0設(shè)4= -21-2,求一個(gè)正交矩陣Q，使得QrQ為

12、對(duì)角矩陣0-2 0三.（本題滿分10分）計(jì)算下列行列式:123算a121aa1.n-2aaa.2aaa.1（本題滿分15分）a為何值時(shí)，下列方程組有解，并求出解。aXj +Xj +x3 =a-3 Xj +口2 +七=-2Xj + x2 + ax3 = -2（本題滿分10分）判斷下列二次型是否是正定的/=#+ L x円MliKJin（本題滿分10分）假設(shè)K.=u*為線性子空間，為直和的充要條件嶺nx = o,i=u3j.（本題滿分10分）設(shè)向童組a“a”.a,與仇點(diǎn)是兩組維向量，證明：若這兩個(gè)向量組都線性無關(guān)，則厶佃宀町&厲屁幾）維數(shù)籌于齊次 方程組：+滅2口2 +X/X, +兒01 +”02

13、+ H0，= 的解空間的維數(shù)。（本題滿分10分）設(shè),町為歐氏空間v的兩個(gè)對(duì)稱變換，證明T+T也是 V中的對(duì)稱變換.（本題滿分10分）設(shè)A是復(fù)數(shù)域上一個(gè)”階方陣，證明A相似于一個(gè)上三角 陣.十.（本題滿分10分）設(shè)A, B為矩陣，且A有個(gè)互異的特征值，則A的特 征向量恒為B的特征向量的充要條件證明是AB=BA十一.（本題滿分10分）設(shè)T為線性空間V的一個(gè)線性變換，并且T2=T,證明:1）T（0）= a-Ta|aeK2）T（0）,77對(duì)V的線性變換S不變的充要條件是T與S是可交換。北京航空航天大學(xué)2006年 碩士研究生入學(xué)考試試題 科目代碣；493 高等代數(shù) f共2頁(yè)）考生注意所有答題務(wù)必書寫在考場(chǎng)提供的答題紙上，寫在本試 題單上的答題一律無效本題單不參與閱卷一、 （本題巧分）設(shè)e fix. F為數(shù)域，令LG亀 + + /X| g, eTx,i = l則（卮/+幻=1.此處（/，劉指的最大公因式.三、（本題均分1-23已寫矩陣/= 369 ,求一個(gè)三階矩跌叭 使得磯於）=2,且 X % xx an(12 3(2) A2008 ,其中 A =0 1 2 、 o 1?肽=0的解.（f指矩陣&的秩.）五、（本題15分）R =薦是分塊矩陣,其中/是階可逆方陣.證明R的秩等于n當(dāng)且僅當(dāng)D = CAXB.六、七、（本題15分）已知方陣4= -3 5-3 3-1