材料力學(xué)教材(PDF)_cl06

1、第六章梁的復(fù)雜問題第一節(jié)其它平面彎曲構(gòu)件的內(nèi)力與變形第五章討論了簡(jiǎn)單靜定梁的彎曲內(nèi)力，實(shí)際結(jié)構(gòu)中的某些構(gòu)件雖然也是以彎 曲為主的靜定結(jié)構(gòu)，但它們的形式與前面所討論的靜定梁有所不同，例如多跨靜 定梁、平面剛架和平面曲桿等，本節(jié)主要介紹這類構(gòu)件內(nèi)力的分析方法及內(nèi)力圖 的作法。、多跨靜定梁如圖6-la、圖6-2a所示的是含有中間較的梁，由于其所有支座反力均可以由 靜力平衡方程求出，所以也屬于靜定梁，又稱為多跨靜定梁。下面通過例題說明 這類梁的剪力圖、彎矩圖的作法。例6-1作圖6-1a所示的多 跨靜定梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求約束反力a)由于中間錢不能傳遞彎矩， 所以截面B處的彎矩為零。為了 求

2、出約束反力,將梁在中間 錢B處拆開，截面B處只存在剪 b) 力Fqb,如圖6-1b所示。由AB 部分的平衡條件工 Mb = 0 ： FAy )+ ql2 = 0 TOC o 1-5 h z F 一坐)A = 2c)工 Fy = 0 ： Fqb + FAy = 0F =坐d)Q = 2求出Fqb后,根據(jù)作用力與 反作用力原理將Fqb加在BC部FAqaT分的B點(diǎn)，如圖6-lb所示。則C截面處的約束反力可以求出。(2)作剪力圖、彎矩圖作AB、BC兩部分的剪力圖、彎矩圖合并在一起，即為所求，如圖6-lc、d 所示。由上述解題過程不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于含中間較的多跨靜定梁，可以在中間較處將 原梁拆成主梁和若干次

3、梁，依次求解其支反力。在作剪力圖、彎矩圖時(shí)，不必理 會(huì)中間較。當(dāng)沒有集中力作用在中間較處時(shí)，該處的剪力連續(xù)、彎矩光滑過渡且 為零；若有集中力作用在中間較處，拆分主梁和次梁時(shí)，該集中力可視為左右任 一部分的載荷進(jìn)行求解。求解多跨靜定梁的變形宜采用疊加法，要考慮中間較左右兩部分的相互影響, 如例6-1中BC段的變形是在剪力 Fqb和均布載荷q共同作用下產(chǎn)生 的，AB段的變形可以看成是兩部 分變形的疊加：隨BC段的剛性轉(zhuǎn) 動(dòng)和集中力偶彳“產(chǎn)生的變形，如 圖6-la所示。注意，在中間較B 處，撓度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)。例6-2作圖6-2a所示多跨靜 定梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求支座反力對(duì)于CD段梁

4、，由工MC = 0得到FDy = qa再考慮梁的整體平衡，由工MB = 0得到2aFAy 一 Fa + Me + 2aq(2a) 一 3aFy = 0由工MA = 0得到FBy5qa(2)作剪力圖、彎矩圖，如圖6-2b、c所示。二、平面剛架在工程中，經(jīng)常遇到許多桿件組成的框架式結(jié)構(gòu)，如液壓機(jī)機(jī)身、鉆床床架、 軋鋼機(jī)機(jī)架等。這種結(jié)構(gòu)的每?jī)蓚€(gè)組成部分在其聯(lián)接點(diǎn)處的夾角不變，即兩部分 在聯(lián)接處不能有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種聯(lián)接處稱為剛節(jié)點(diǎn)。圖6-3a中的B點(diǎn)即為剛節(jié)點(diǎn)。 各部分由剛節(jié)點(diǎn)聯(lián)接成的框架結(jié)構(gòu)稱為剛架，若組成剛架的桿件的軸線在同一平 面內(nèi)時(shí)稱為平面剛架。內(nèi)力可通過靜力平衡方程確定的剛架稱為靜定剛架。剛

5、架任意橫截面上的內(nèi)力，一般有彎矩M、剪力化和軸力JN,剛架的內(nèi)力 圖就畫在剛架上。軸力和剪力的正負(fù)符號(hào)仍按以前的規(guī)定，剛架的彎矩一般不規(guī) 定正負(fù)，按照本書的統(tǒng)一約定，彎矩圖畫在桿件的受壓側(cè)。下面用例題說明靜定 平面剛架內(nèi)力圖的作法。例6-3作圖6-3a所示剛架的內(nèi)力圖，并求d點(diǎn)的轉(zhuǎn)角血、水平位移謝和鉛 垂位移旳。已知?jiǎng)偧艿目箯潉偠葹?,忽略軸力、剪力的影響。解：(1)采用控制點(diǎn)法作內(nèi)力圖AB段：集中力尸產(chǎn)生剪力和彎矩。且剪力為正。由于AB段無其它載荷，所 以剪力不變，大小為F。彎矩圖為斜直線，Md=O, MB=Fa。力尸使AB段上邊受 壓，所以彎矩圖畫在AB段的上方。BC段：集中力尸產(chǎn)生軸力和

6、彎矩，軸力為正，大小為F彎矩不變，大小為 Fa力尸使BC段右邊受壓，彎矩圖畫在BC段的右邊?？v上所述，作內(nèi)力圖如圖6-3b、c、d所示。注意在剛節(jié)點(diǎn)B處，彎矩具有連 續(xù)性，同畫在剛架的外側(cè)。(2)求Oa. xa和旳按圖6-3a所示坐標(biāo)系，用逐段剛化法求解。先將BC段剛化，則AB段相當(dāng) 于B點(diǎn)為固定端的懸臂梁，如圖6-4a所示。查表5-6得o = Fa_ FaA1 = 27，兒1 =-37a）圖6-4逐段剛化法求解剛架變形再將AB段剛化，取消BC段的剛 化，則集中力尸可由A點(diǎn)平移至B點(diǎn)， 得到軸向力尸和力偶矩Fa,如圖6-4b 所示。忽略軸力的影響，查表5-6得o = Fab x = Fab2B

7、2 EI B2 2EIBC段的變形引起AB段的剛性轉(zhuǎn)動(dòng) p p FabFab2心B2 =莎XA = XB2 = 2eT，=a = Fa a byA2 = _AB2 a=EI所以A =&A1 +&A2Fa(a + 2b) 2EIFab2XA = XA2 =AA22EIFa 2yA = yA1 + yA2(a + 3b)3EI三、平面曲桿某些構(gòu)件，如活塞環(huán)、吊鉤、鏈環(huán)等，一般都有縱向?qū)ΨQ面，其軸線為平面 曲線，稱為平面曲桿或平面曲梁。當(dāng)載荷作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，曲桿將發(fā)生平 面彎曲變形，這時(shí)橫截面上的內(nèi)力一般有彎矩M、剪力化和軸力JN。內(nèi)力圖畫 在曲桿軸線的法線方向。軸力和剪力的正負(fù)與以前的規(guī)定相

8、同，彎矩圖畫在曲桿 的受壓側(cè)，不標(biāo)正負(fù)。下面以圖6-5a所示的軸線為1/4圓周的曲桿為例，說明平 面曲桿的內(nèi)力計(jì)算和內(nèi)力圖的作法。例6-4 端固定的1/4圓曲桿在其軸線平面內(nèi)受集中力作用，如圖6-5a所 示，試求曲桿橫截面上的內(nèi)力，并作內(nèi)力圖。解：（1）求曲桿橫截面上的內(nèi)力對(duì)曲桿應(yīng)取極坐標(biāo)表示橫截面的位置。所以選曲桿軸線的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)。 以圓心角為的截面截取曲桿的右段研究，如圖6-5b所示。利用截取部分的平衡 條件求截面上的內(nèi)力(a)工 F” = 0 ： Fn + F sin = 0FN = _F sin 例題6-4圖(b)工 Ft = 0 ： Fq - F cos q = 0Fq = F

9、cos q工 MC = 0 ： M + FR sin q = 0 M = -FR sin q(c)式(a)、式(b)和式(c)即為1/4圓桿橫截面上的內(nèi)力方程，代入q值就可以 求出任一橫截面上的內(nèi)力。(2)利用上述三式可以作出軸力、剪力和彎矩圖，如圖6-6所示。第二節(jié) 平面曲桿中的應(yīng)力求出曲桿的內(nèi)力后，軸力Fn在橫截面上產(chǎn)生均勻分布的正應(yīng)力。剪力Fq在 橫截面上產(chǎn)生切應(yīng)力7,其值可按直梁的彎曲切應(yīng)力公式7 = FqS；/(Izb)求得，由 于該值遠(yuǎn)小于彎曲正應(yīng)力，可忽略不計(jì)。對(duì)于曲率半徑大于桿髙五倍的曲桿，可 以使用式(5-8)計(jì)算橫截面上的彎曲正應(yīng)力。但這種計(jì)算方法的誤差隨著曲率半 徑與桿髙

10、比值的減少而增大。因此，當(dāng)此比值減小時(shí)，就需求較精確的解。下面討論平面曲桿在純彎曲下的彎曲正應(yīng)力，與直梁的平面彎曲類似，結(jié)果 也可推廣到橫力彎曲情況。在這里，直梁純彎曲的兩個(gè)假設(shè)仍適用，即平面 假設(shè)一一與軸線垂直的截面在變形后仍保持為平面;縱向纖維之間無正應(yīng)力作 用。從純彎曲的曲桿中用夾角為的橫截面1一1和22之間截取一段，如圖6-7a 所示。梁彎曲時(shí)截面22相對(duì)于截面1 1轉(zhuǎn)動(dòng)至截面22位置，兩者之間的 夾角變?yōu)?_曲,故在離中性層00,為必處的曲面aR前伸長(zhǎng)是沁卩 設(shè)中性層 的曲率半徑為令M g =,則拉應(yīng)變?yōu)?Pi _yi)(pPi _yi因而拉應(yīng)力為er = Ee = Ea yi(b)

11、Pi _ yi由上式知，e在截面上是非線性分布的，在曲桿的內(nèi)側(cè)最大。因積分fdA = 0(c)A Pi _ yi設(shè)中性層到軸線的距離為軸線的曲率半徑為P，因?yàn)镻i=p_e, yi=y_e,故fdA =,A Pi _ yif J dAJa p_ ydAp_ y(d)則有由此得PdAA J- p y將式(e)、式(f)代入式(d)得AkA = e一 (1 + k)則PK是由曲率半徑和截面形狀決定的常數(shù)，稱為曲桿的截面系數(shù)。(e)(g)(h)其次，根據(jù)微面積dA上的內(nèi)力b dA對(duì)中性軸力矩的總和應(yīng)等于截面上的彎矩，有M = J ct-j dA = Em J dAJaJa Pj 一 -1考慮式(c)，

12、改寫式(i)有(i)-12Pj 一 -jdA =-yJdA+pjJA-1Pj -jdA = J -jdAJA(j)式(j)的右邊表示截面對(duì)中性軸的靜矩。曲桿的中性軸一般不通過截面的形心而偏向曲率中心一側(cè)，設(shè)截面面積為A, 根據(jù)中性軸的定義，靜矩為(k)(l)(6- 1)(6-2)得I -jdA = AeJa根據(jù)式(k)、式(j),式(i)變成M = Em I -j dA = EmAe將式代入式(b),得到用M表示的求c的公式c= M-j = M (- - e)一e(P j -j) 一e(p-)設(shè)從曲桿的軸線到兩表面的距離為加、h2,則最大拉、壓應(yīng)力為M (hj - e)M 為 + e),c =

13、Ae(p h)cmax Ae(p + h2)因?yàn)樯鲜街械溺劭捎檬?h)求出，所以決定了疋，就可求得最大拉、壓應(yīng)力。當(dāng)y/p小于1時(shí)，一1 =1可展成幕級(jí)數(shù)，故式(g)可表示如下p-y p(1 -y/p)k=丄y + (蘭)2 +(y)3 + (y)4 + (6-3)A Ja p p p p對(duì)于矩形0Xh)截面(6-4)1 z h 、21 z h、41 , h、6K =() +() +() + 3 2p5 2p7 2p例6-5直徑d=80mm圓桿制成的圓環(huán),環(huán)的內(nèi)半 徑D=120mm, F=20kN，如圖6-8所示，求A、方點(diǎn)的 正應(yīng)力O解：AB所在截面上的內(nèi)力有軸力和彎矩。由截面法得到= -2

14、0 x0.12 + 0.082Fn =-F = -20kN求曲桿的截面系數(shù)Ka d/240p (D + d)/2 - 100根據(jù)式(6-5)或查表6-1得 k = 0.043 5 計(jì)算圓環(huán)橫截面上中性軸與形心軸的距離e100 x 0.043 5mm = 4.17mm1.043 5根據(jù)式(6-2)計(jì)算A、B點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力BlM (d/2 + 幺) Ae(p + d /2)-2 x 106 x (40 + 4.17) x 4 nx 802 x 4.17 x (100 + 40)MPa = 30.1MPaM(d/2 - e) = 一 2 x x (40 一I7x 4 MPa = -57.0MPaAe

15、(p- d/2) nx 802 x 4.17 x (100 一 40)軸力產(chǎn)生均勻分布的正應(yīng)力MPa = -4MPa由此可求得A、B兩點(diǎn)的正應(yīng)力為aA = aA1 + a2 = (30.1 - 4)MPa = 26.1MPa= aB1 + a2 = (-57.0 一 4)MPa = -61.0MPa第三節(jié) 非對(duì)稱彎曲與斜彎曲前面所討論的梁，均處于平面彎曲狀態(tài)。即梁的橫截面有對(duì)稱軸，載荷作用 在包括對(duì)稱軸在內(nèi)的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁的撓曲線也在該平面內(nèi)。若載荷作用線雖 然通過梁的軸線，但不在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，如圖6-9所示，或者梁的截面沒 有對(duì)稱軸時(shí)，如圖6-10所示，這種情況的彎曲稱為非對(duì)稱彎曲。

16、圖6-9梁的非對(duì)稱彎曲對(duì)于純彎曲的任意截面梁，如果彎矩在截面的形心主慣性軸與軸線所成的平 面（稱為形心主慣性平面）內(nèi)時(shí)，可以證明梁所發(fā)生的變形仍然是平面彎曲遷因 此，當(dāng)彎矩不在形心主慣性平面內(nèi)時(shí)，可沿截面的兩個(gè)形心主軸將其分解，問題 就可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)垂直平面彎曲的疊加。對(duì)于橫向力彎曲情況，當(dāng)橫向力作用于 軸線時(shí)，產(chǎn)生的彎曲切應(yīng)力的合力不通過形心，因而將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。若桿件為 實(shí)體或閉口桿件時(shí)，由于其扭轉(zhuǎn)剛度較大，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形可忽略不計(jì)。 參閱劉鴻文主編材料力學(xué)第三版，第七章，KVS墩療出版社，1997.現(xiàn)在分析圖6-9所示的任意形狀截面的梁，在與形心主慣性軸y成a角的# 軸和軸線的平面內(nèi)作用

17、任意力的情況。用雙箭頭矢量表示彎矩的方向，則M為向 著z，軸負(fù)方向的矢量。若將M向形心主慣性軸(y, z)分解，則有Mz = M cosa , M y = M sin az y由于y、z軸為形心主慣性軸，因此由胚、胚分別引起的彎曲都是平面彎曲。截面 上點(diǎn)力(y z)的彎曲應(yīng)力b可由 胚、胚引起的應(yīng)力b 和b”的代數(shù)和求得。即有a = af + affMyzI+MyIcosa. #sinazI丿(6-6)令式(6-6)中的a=0,可得這種情況下的中性軸位置(6-7)令tan0 = y0 /z0 , (y0, z)為中性軸上一點(diǎn)的坐標(biāo)，則0為中性軸與z軸的夾 角，即有(6-8)tan 0 =兒=t

18、an az 0Iy可見對(duì)于厶工厶的截面，0K這表明變形后梁的撓曲線與載荷作用面不在一個(gè) 平面內(nèi)，這種變形稱為斜彎曲。對(duì)于厶=z的截面，如圓形、正方形和正多邊形截 面，有0 = a,表明梁的撓曲線與載荷作用面在同一平面內(nèi)，仍然是平面彎曲。確定出中性軸后，可找出截面上距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)，該點(diǎn)的應(yīng)力數(shù)值最大。 如果截面有外凸的棱角，如矩形、工字形等截面，則棱角處可能是應(yīng)力最大的危 險(xiǎn)點(diǎn)；如果截面沒有棱角，可在中性軸兩側(cè)作兩條與中性軸平行的直線，這兩條 直線與截面周邊的切點(diǎn)即為危險(xiǎn)點(diǎn)。需要指出，在計(jì)算非對(duì)稱彎曲的正應(yīng)力時(shí)， 不應(yīng)該套搬式(6-6)，而應(yīng)該直接根據(jù)形心主慣性軸y、z方向的力分別計(jì)算截面 任

19、一點(diǎn)產(chǎn)生的正應(yīng)力，觀察變形確定應(yīng)力的符號(hào)，然后疊加。非對(duì)稱截面梁的彎曲變形可用疊加法求得，即首先求得形心主慣性平面(X, y)、(x, z)內(nèi)的撓度分量色、爲(wèi)，則撓度可用下式求得(6-9)例6-6圖6-10a所示Z字形截面懸臂梁受鉛垂力尸(=2kN)作用，梁跨長(zhǎng) /=lm,截面尺寸如圖6-10b所示。求梁內(nèi)的最大應(yīng)力(形心主慣性矩見附錄A第 四節(jié)例 A-7：厶=6.28 x 106 mm Iy = 0.64 x 106 mm4, a0 = 27o29)。a)圖6-10例題6-6圖解：將力F沿形心主慣性軸八z分解，得到分力馬、庇，因?yàn)閍=27o29, 所以力F與形心主慣性軸y的夾角a =ao=2

20、729o分力F=Fcosa、Fz=Fsina在截 面上引起的應(yīng)力如圖6-10b所示，可以看出分力Fy在截面z軸上方引起拉應(yīng)力， 分力Fz在y軸右側(cè)引起拉應(yīng)力。所以固定端截面的/點(diǎn)作用著最大拉應(yīng)力,B點(diǎn) 作用著同樣數(shù)值的最大壓應(yīng)力。只需計(jì)算力點(diǎn)的應(yīng)力上式中yA、za是A點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值，即yA = (60cosa - 5 sin a) mm = 50.92mmza = (60 sin a0 + 5 cos a) mm = 32.12mm需要說明，本題實(shí)際上是開口薄壁桿，從下節(jié)可以知道，對(duì)于開口薄壁桿， 外力只有作用于彎曲中心，才產(chǎn)生平面彎曲，而本題所示Z形截面的形心與彎曲 中心恰好重合。第四節(jié)開口

21、薄壁桿的彎曲切應(yīng)力與彎曲中心從前面的討論可以知道，對(duì)于截面有對(duì)稱軸的桿件，當(dāng)橫向載荷作用在對(duì)稱 平面內(nèi)時(shí)，才會(huì)使桿件發(fā)生平面彎曲。對(duì)于橫截面無對(duì)稱軸的桿件，也同樣存在 在何處作用橫向力使桿件發(fā)生平面彎曲的問題。以圖6-11所示的槽鋼懸臂梁為例， 由試驗(yàn)證實(shí)，當(dāng)外力尸沿y方向通過形心C作用時(shí)，梁將同時(shí)產(chǎn)生彎曲與扭轉(zhuǎn)變 形。只有外力尸通過某一點(diǎn)d時(shí)，梁才只發(fā)生彎曲變形，d點(diǎn)稱為截面的彎曲 中心。由此可見，在橫向力作用下的梁僅發(fā)生平面彎曲的條件是外力平行于形心 主慣性軸，且通過彎曲中心。開口薄壁桿的抗扭剛度較小，其抗扭轉(zhuǎn)能力弱，較小的扭矩就會(huì)產(chǎn)生較大的 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，同時(shí)還將因約束扭轉(zhuǎn)引起附加正應(yīng)力和

22、切應(yīng)力遷實(shí)體桿件和閉合薄 壁桿件的抗扭剛度較大，且彎曲中心通常在截面形心附近，所以當(dāng)橫向力通過形 心時(shí)所產(chǎn)生的扭矩不大，扭轉(zhuǎn)變形可以忽略。因此本節(jié)主要討論開口薄壁桿的彎 曲切應(yīng)力和彎曲中心問題。首先討論開口薄壁桿彎曲切應(yīng)力的計(jì)算。圖6-12a是在橫向力F作用下的開 口薄壁桿。力F通過截面的彎曲中心d,桿件只發(fā)生彎曲而無扭轉(zhuǎn)，即截面上只 有彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力，而無扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，考慮截面 為薄壁的特點(diǎn)，彎曲切應(yīng)力與截面周邊相切且沿壁厚均勻分布。設(shè)y、z軸為截面 的形心主慣性軸，力F平行于y軸,z軸為中性軸。從桿中截出dx長(zhǎng)的一微塊abed, 如圖6-12a、b所示。側(cè)面ab和

23、ed上的面積為di,其上彎曲正應(yīng)力的軸向合力由下兩式分別計(jì)算Fni=J b = J 字JA1均 IzFN2 =Mz + dMzIz式中S；是側(cè)面ab對(duì)z軸的靜矩?？v向面b的合內(nèi)力是丁 tdx,把以上諸力代入 x方向的力平衡方程有Fn2 - Fnj - T t d x = 0 經(jīng)整理后得出T=些 S；=FqSdx Iz tIzt式中心是橫截面上的平行于y軸的剪力。t 是縱向面bdL的切應(yīng)力，由切應(yīng)力 互等定理知，它也就是橫截面上C點(diǎn)的切應(yīng)力T(6-10)FXt的指向如圖6-12b所示，據(jù)此可繪出橫截面上切應(yīng)力的分布。下面討論確定彎曲中心的基本方法。橫截面上微內(nèi)力tM的合力為心。為 確定 矗作用線

24、的位置，可選取截面內(nèi)任一點(diǎn)B為力矩中心(見圖6-12c)。根據(jù) 合力矩定理有(6-11)式中az是尸對(duì)B點(diǎn)的力臂。尸是微內(nèi)力tA4對(duì)B點(diǎn)的力臂，從上式中可解出a, 就確定了心的作用線位置。同理，利用合力矩定理，可得到Fqz作用線位置的方程FQzay = rTldA(6-12)式中ay是JQz對(duì)B點(diǎn)的力臂，T是JQz在橫截面上產(chǎn)生的切應(yīng)力。由上式解出ay 就確定Fqz作用線位置。因?yàn)榇！Qz都通過彎曲中心，兩者的交點(diǎn)就是彎曲中 心A。表6-2給出了工程中常用一些截面的彎曲中心位置。例6-7求圖6-13所示槽形截面的彎曲中心解：以截面的對(duì)稱軸為z軸，則y、z軸為形心主慣性軸。當(dāng)剪力心平行于 y軸

25、，且桿件無扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，彎曲切應(yīng)力按式(6-10)計(jì)算。上翼緣距邊緣三處的 切應(yīng)力t為T FqSl Fql &妙沁IztI.t $ 2 丿21 zt指向如圖6-13所示，S；為陰影部分面積對(duì)z軸的靜矩。用類似辦法可求得腹板 和下翼緣的切應(yīng)力。為了確定尸0的位置，選定上翼板中線與腹板中線交點(diǎn)B為矩心，據(jù)式（6-11）有h2 b 2t az =億當(dāng)剪力Fqz沿對(duì)稱軸z 軸上。所以陽與對(duì)稱軸z作用時(shí)，所產(chǎn)生的是平面彎曲，表明彎曲中心在對(duì)稱 的交點(diǎn)A即為彎曲中心。FQyaz=d A = h逬 t d.于是有例6-8試確定圖6-14所示薄壁開口圓環(huán)截面的彎曲中心。解：以截面的對(duì)稱軸為z軸，y、z為形心主慣

26、性軸。設(shè)剪力陽平行于y軸, 且通過彎曲中心A。為了計(jì)算0角處的切應(yīng)力，需求S；。和Iz( 0Sbd = I (R sin)Rtd = R21(1 - cos0)J 0故有FqSbd = FR 21 (1-cos0) = Fq (1-cos0)IzttnR 3tnRt選取截面形心C為矩心，根據(jù)合力矩定理有(2n(2n7 = Io噸=IoRFq (1 - cos0)nRtRtd0FqR I1 - cos 0)d0 = F (2R)n oQye=2R于是有因彎曲中心在對(duì)稱軸上，故彎曲中心距截面形心的距離為2Ro第五節(jié)連續(xù)梁具有三個(gè)以上支座的梁，稱為連續(xù)梁，顯然這是一種超靜定梁。圖6-15a所 示為一

27、跨連續(xù)梁，其中間支座的個(gè)數(shù)為n-1,即為它的超靜定次數(shù)。求解連續(xù)梁時(shí)，選中間支座處的彎矩作為未知力。設(shè)想將中間支座處的截面 切開裝入中間較，如圖6-15b所示，成為若干個(gè)單跨簡(jiǎn)支梁。這些單跨簡(jiǎn)支梁在 原有載荷和支座截面處的彎矩Ml, M2,Mi,M”-1作用下，利用支座左 右兩側(cè)截面轉(zhuǎn)角相等的變形條件，可以得到n-1個(gè)變形方程，正好解出n-1個(gè)未 知的支座彎矩。c)圖6-15連續(xù)梁取第7支座左右兩個(gè)簡(jiǎn)支梁來分析，如圖6-15。所示。第7支座的變形條件為 殲=刖式中0產(chǎn)為左跨梁在所有載荷作用下在7截面產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角（包括M-i, M）,d+血+(0)左6EI3EI q0右為右跨梁在所有載荷作用下在7

28、截面產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角,0 右二 _ Mjl7+、7 _ 3EI 將式和式（c）代入式（a）得M 7+1l7+16EI(c)M7-I7 + 2M,.(I,. +1,1) + M+1lM =-6EI(0,.)青-(0,.)產(chǎn)(6-13)式中的（0片為左跨梁由外載荷產(chǎn)生的7支座處的轉(zhuǎn)角，（仇）q為右跨梁由外載荷 產(chǎn)生的i支座處的轉(zhuǎn)角。式（6-13）包含有相鄰兩跨梁三個(gè)未知的支座彎矩，故稱為三彎矩方程。對(duì)每 個(gè)中間支座可列出一個(gè)三彎矩方程。圖6-15a所示的跨連續(xù)梁，共有n-1個(gè)中 間支座，可列出n-1個(gè)三彎矩方程，從而解出n-1個(gè)未知的支座截面彎矩。簡(jiǎn)支 梁在簡(jiǎn)單載荷作用下支座處的轉(zhuǎn)角可查表5-6。例6-

29、9圖6-16a所示連續(xù)梁，d端固定，D端外伸，受力如圖所示，已知刃, 試求解連續(xù)梁各支座處的彎矩。a)Bc2m|1mC)_ / 1 b 1m|1m|q=25kN/mF(=10kN)D解：由外伸段CD的平衡條件，可求得胚=10kNm。支座截面的未知彎矩 為胚和胚，故為二次靜不定梁?？砂炎蠖斯潭ǘ瞬迦氩糠衷O(shè)想為長(zhǎng)的簡(jiǎn) 支梁，如圖6-16b所示。由式（6-13）對(duì)支座d列三彎矩方程得0 + 2Md x (0 + 2) + MB x 2 = -6EI0 - (0d) f ql 324EI(25 x 23)kN. m224EI,代入上式得4Md + 2MB = -50kN m(a)對(duì)支座B列三彎矩方程M

30、A x 2 + 2MB x (2 + 2) - Mc x 2 = -6EI(OB): - (OB)式中MC = 10kN mql3 = (25 x 23)kN m224EI -24eIMel = (20 x 2)kN m2代入并化簡(jiǎn)得24EI -24EI2MA + 8MB = -40kN m聯(lián)立式(a)、式(b)求解得MA =-80kN m, MB =-kN m第六節(jié)組合梁由不同材料組合成一體的梁稱為組合梁，如木材、玻璃鋼板與金屬疊合的梁 以及鋼筋混凝土梁等。、組合梁的基本方程圖6-17所示的是由三種材料組成的對(duì)稱截面組合梁，該梁在彎曲時(shí)，平截面 假設(shè)仍成立，應(yīng)變的大小仍與距中性軸的距離成正

31、比。設(shè)中性層的曲率半徑為0,在距中性軸為y處 的某纖維的應(yīng)變?nèi)钥捎上率酱_定s = (a)P各部分的彎曲應(yīng)力用下式表示6 = Es = Ei -(b)P式中E是第i塊截面材料的彈性模量；6是第i塊 截面上產(chǎn)生的應(yīng)力。可見，對(duì)于每一塊截面，應(yīng)力是連續(xù)的，但由于材料的非均 勻性，不同材料截面交界處的應(yīng)力會(huì)發(fā)生突變。設(shè)梁無軸向載荷作用，梁截面上的彎矩為M,則有(c)式中4是第i塊截面的面積，積分是對(duì)各塊截面的全面積進(jìn)行的。 將式（b）代入式（c）、式（d）,有P S叮嚴(yán)=0P S山也=P 昭=“式中厶=f y2d,.是第i塊截面對(duì)中性軸的慣性矩。I*右令fJAiyAi = AZ，則式（e）成為 Et

32、f ydA, = E,A,2, = 0(g)i=1Ai=1用式（g）可確定組合截面中性軸的位置。圖 6-18所示截面A“設(shè)組合截面中性軸為z,任 選參考坐標(biāo)軸z平行于z軸，設(shè)參考軸到中性 軸z的距離為yo,截面上任一點(diǎn)對(duì)z、z，軸的坐 標(biāo)分別為y、y,則有y = y- yo（h）將式（h）代入式（g）中，有 e,a,z,i=1n r n (.=E, f ydA, =E, f (y-y)dA, i=1i=1= Et (f y，dA,-J ydA,)=Ei(f yd& -yoAi) = 0-i由此可得中性軸的位置為n e,Ai=1(6-14)若將丄=-與的關(guān)系代入式，得 Pdxdx 2(6-15)

33、工EIi =1上式為組合梁的撓曲線方程，EiIi為組合梁的等效抗彎剛度。i=1若將式中的1/0代入式(b),則得彎曲應(yīng)力為_ EtyM ai - EJ,i=1(6-16)綜上所述，解組合梁時(shí)，首先應(yīng)按式(6-14)決定組合梁的 中性軸位置，然后求各截面對(duì)中性軸的慣性矩I”最后可 使用式(6-16)求應(yīng)力。例6-10求圖6-19所示的三塊板重疊而成組合梁的應(yīng) 力。設(shè)上、下兩塊板具有同一厚度和彈性模量。解：梁上、下對(duì)稱，故中性層為整個(gè)截面的中間層， 各板對(duì)中性軸的慣性矩為bh272(3h12 + 6h1h2 + 4h；)若某一橫截面上的彎矩為M,則該橫截面上各板中的最大彎曲正應(yīng)力為E1h1M(6-

34、17)2(E111 + 2E 212)E 2(h1 + 2h2)M2(E111 + 2E212).二、鋼筋混凝土梁混凝土由于抗拉性能弱，所以常在梁的拉伸側(cè)埋入鋼筋，這種鋼筋混凝土梁 是最常見的一種組合梁。考慮如圖6-20a所示的這種組合梁，應(yīng)變以中性層為分 界成線性分布，如圖6-20b所示。由于混凝土抗拉性能弱，考慮全部拉應(yīng)力由鋼 筋負(fù)擔(dān)，應(yīng)力分布如圖6-20c所示。面及鋼筋的應(yīng)變比、&S和應(yīng)力免、OS可用下式表示hsc =，Ss=L(a)hOc =_Ec ，Os =遲L (b)梁的髙度、寬度、鋼筋、中性層 的位置如圖6-20a所示，設(shè)中性層以 曲率半徑為p的圓弧彎曲，混凝土頂式中c、Fs分別為混凝土和鋼筋的彈性模量。設(shè)作用在混凝土和鋼筋上的力分別為屁、Fs,則(-化 F)bdy = -Ec b2-h2Fs = Asas = AsEsd h(c)式中As為全部鋼筋的截面積之和。(d)設(shè)在梁的橫截面上只有彎矩M,