彈性塑力學03

1、第三章 平面問題的直角坐標解答要點 用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學問題。*3-1 多項式解答*3-2 位移分量的求出*3-3 簡支梁受均布載荷*3-4 楔形體受重力和液體壓力3-5 級數(shù)式解答3-6 簡支梁受任意橫向載荷主 要 內 容3-1 多項式解答適用性：由一些直線邊界構成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應力函數(shù)(x,y) ，能解決什么樣的力學問題。逆解法其中： a、b、c 為待定系數(shù)。檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程：顯然(x,y) 滿足雙調和方程，因而可作為應力函數(shù)。（1）1. 一次多項式（2）（3）對應的應力分量：若體力：X = Y =0，則有：結論1：（1）（2）一

2、次多項式對應于無體力和無應力狀態(tài)；在該函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。2. 二次多項式（1）其中： a、b、c 為待定系數(shù)。(假定：X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0)檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù) )（3）由式（2-26）計算應力分量：xy2c2c2a2a結論2：二次多項式對應于均勻應力分布。xyxy試求圖示板的應力函數(shù)。例：xy3. 三次多項式（1）其中: a、b、c 、d 為待定系數(shù)。檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù) )(假定：X =Y = 0)（3）由式（2-26）計算應力分量：結

3、論3：三次多項式對應于線性應力分布。討論：可算得：xy1ll圖示梁對應的邊界條件：MM可見： 對應于矩形截面梁的純彎曲問題應力分布。常數(shù) d 與彎矩 M 的關系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結果與材力中結果相同，說明材力中純彎曲梁的應力結果是正確的。xy1llMM說明：(1)組成梁端力偶 M 的面力須線性分布，且中心處為零，結果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。(3)當 l 遠大于 h 時，誤差較?。环粗`差較大。4. 四次多項式（1）檢驗(x,y) 是否滿足雙調和方程（2）代入：得可見，對于函數(shù)

4、：其待定系數(shù)，須滿足下述關系才能作為應函數(shù)：（3）應力分量： 應力分量為 x、y 的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a + e =0）總結：（多項式應力函數(shù) 的性質） （1） 多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足 。多項式次數(shù) n 4 時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足 。多項式次數(shù) n 越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2） 一次多項式，對應于無體力和無應力狀態(tài)；任意應力函數(shù)(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。二次多項式，對應均勻應力狀態(tài)，即全部應力為常量；三次多項式，對應于線性分布應力。（3） （4） 用多項式構造應力函數(shù)(x,y) 的方法 逆解法（只能解決

5、簡單直線應力邊界問題）。按應力求解平面問題，其基本未知量為： ，本節(jié)說明如何由 求出形變分量、位移分量？問題：3-2 位移分量的求出以純彎曲梁為例，說明如何由 求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1. 形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應力分量為：平面應力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為 x 的函數(shù)）（僅為 y 的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f

6、)（1）(f)討論：式中：u0、v0、 由位移邊界條件確定。當 x = x0 =常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM u 關于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉角。說明： 同一截面上的各鉛垂線段轉角相同。橫截面保持平面 材力中“截面保持平面”的假設成立。（2）將下式中的第二式對 x 求二階導數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即 材料力學中撓曲線微分方程2. 位移邊界條件的利用（1）兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程： 與材力中結果相同（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點

7、不動）（軸線在端部不轉動）代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學中結果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應力分量代入物理方程（b）再將應變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（2）若為平面應變問題，則將材料常數(shù)E、作相應替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點不動）(中點處豎向線段轉角為零)得到：求得：此結果與前面情形相同。（為什么？）（1）(2-27)（2）然后將 代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓 滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應力求解平面問題的基本步驟：按

8、應力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；（2）然后利用應力分量計算式（2-26），求出 （具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)(x,y) 對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問題。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量 的某種函數(shù)形式 ；（2）根據(jù) 與應力函數(shù)(x,y)的關系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。 半逆解法的數(shù)學基

9、礎：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應力分量（2）（3）代入物理方程，求得應變分量將應變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。3-3 簡支梁受均布載荷要點 用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1. 應力函數(shù)的確定(1)分析： 主要由彎矩引起； 主要由剪力引起；由 q 引起（擠壓應力）。又 q =常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，不隨 x 變化。推得：(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù) 的形式：積分得：(a)(b) 任意的待定函數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b) 任意的待定函

10、數(shù)(3)由 確定：代入相容方程：方程的特點：關于 x 的二次方程，且要求 l x l 內方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x 的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：對前兩個方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項對第三個方程得：積分得：(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(c)(d)(a)(b)將(c) (d) 代入 (b) ，有(e)此處略去了f2(y)中的一次項和常數(shù)項式中含有9個待定常數(shù)。xyllqlql1yzh/2h/2q(e)2. 應力分量的確定(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊界條件的應用(f)(g)(h)3. 對稱條件與邊界條件的應用（1）對稱條件的應用：由 q

11、對稱、幾何對稱： x 的偶函數(shù) x 的奇函數(shù)由此得：要使上式對任意的 y 成立，須有：xyllqlql1yzh/2h/2q（2）邊界條件的應用：(a) 上下邊界（主要邊界）：由此解得：代入應力公式xyllqlql1yzh/2h/2q( i )( j )( k )(b) 左右邊界（次要邊界）：（由于對稱，只考慮右邊界即可。） 難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力 N = 0；彎矩 M = 0；剪力 Q = ql；xyllqlql1yzh/2h/2q( i )( j )( k )可見，這一條件自動滿足。(p)截面上的應力分布：三次拋物線4. 與材料力學結果比較xyllqlql1yzh/

12、2h/2q材力中幾個參數(shù)：截面寬：b=1 ,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式 ( p ) ，有（3-6）xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比較，得：（1）第一項與材力結果相同，為主要項。第二項為修正項。當 h / l1，該項誤差很小，可略；當 h / l較大時，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。xyllqlql1yzh/2h/2q解題步驟小結：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點、受力特點、約束特點（面力分布規(guī)律、對稱性等），估計某個應力分量（ ）的變化

13、形式。由 與應力函數(shù) 的關系式（2-26），求得應力函數(shù) 的具體形式（具有待定函數(shù)）。（4）（5）將具有待定函數(shù)的應力函數(shù) 代入相容方程： 確定 中的待定函數(shù)形式。由 與應力函數(shù) 的關系式（2-26），求得應力分量 。由邊界條件確定 中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長板類彈性力學平面問題的基本步驟：應力函數(shù)法求解平面問題的基本步驟：（1）(2-27)（2）然后將 代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓 滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。求解方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（

14、2-27）的(x,y) 的形式；（2）然后利用應力分量計算式（2-26），求出 （具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)(x,y) 對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)(x,y) 可以求解什么問題。 半逆解法的數(shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量 的某種函數(shù)形式 ；（2）根據(jù) 與應力函數(shù)(x,y)的關系及 ，求出(x,y) 的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出 并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應力分量（2）（3）代入物理方程，求得應變分

15、量將應變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。附：應力函數(shù)確定的“材料力學方法”要點：利用材料力學中應力與梁內力的關系，假設某個應力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。應力函數(shù)常可表示為：設法由邊界面力先確定 其中之一，然后將其代入 確定另外一個函數(shù)。材力中，應力分量與梁內力的關系為：式中：M(x) 彎矩方程；Q(x) 剪力方程。當有橫向分布力q(x)作用時，縱向纖維間存在擠壓應力 ，同時，橫向分布力q(x)的擠壓作用時，對軸向應力 也產生影響。應力分量與梁內力的關系可表示為：考慮擠壓應力影響導致然

16、后由：確定應力函數(shù) 的具體形式。例：懸臂梁，厚度為單位1，=常數(shù)。求：應力函數(shù) 及梁內應力。xyObl解：(1) 應力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內力如圖：取 作為分析對象，可假設：（a） f(y)為待定函數(shù)由 與應力函數(shù) 的關系，有：（b）對 x 積分一次，有：對 y 再積分一次，有：其中：（c）xyOblxQM（c）由 確定待定函數(shù)：（d）要使上式對任意的x，y成立，有（e）（f）由式（ e）求得（g）由式（ f）得（h）（i）積分式（ h）和（i）得（j）（k）xyOblxQM( l )包含9個待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2) 應力分量的確定( m )(3) 利用邊界條件確定常數(shù)xyO

17、blxQM(3) 利用邊界條件確定常數(shù)( o )代入可確定常數(shù)為：代入式（m）得xyOblxQM注：也可利用 M（x）= 0，考慮進行分析。此時有：為待定函數(shù)，由相容方程確定。llqlql1yzh/2h/2q剪力：可假設剪應力：3-4 楔形體受重力和液體壓力要點半逆解法（因次或量綱分析法）xyO問題的提法：楔形體，下部可無限延伸。側面受水壓作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）；求：楔形體應力分布規(guī)律 。 1. 應力函數(shù)及應力分量(1) 分析：(a) 的量綱為： 的形式應為：的線性組合。 的量綱為：(b)由 推理得：應為 x、y 的三次函數(shù)。應力函數(shù)可假設為：xyO(2) 應力分量考慮

18、到：X = 0，Y = （常體力）(a)顯然，上述應力函數(shù)滿足相容方程。2. 邊界條件的利用(1) x=0 （應力邊界）：代入式（a），則應力分量為：xyON(b)(2) （應力邊界）： 其中：將(b)代入，有代入，可求得：xyO(b)代入式（b），有：(3-7) 李維（Levy）解答沿水平方向的應力分布與材力結果比較： 沿水平方向不變，在材力中無法求得。 沿水平方向線性分布，與材力中偏心受壓公式算得結果相同。 沿水平方向線性分布，材力中為拋物線分布。(3-7) 李維（Levy）解答xyO沿水平方向的應力分布結果的適用性：（1）當壩的橫截面變化時，不再為平面應變問題，其結果誤差較大。（2）假定

19、壩下端無限延伸，可自由變形。而實際壩高有限，底部與基礎相連，有地基約束，故底部處結果誤差較大。（3）實際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結果誤差較大。 三角形重力壩的精確分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。工程應用： 求使壩穩(wěn)定時的角度 ，稱為安息角。因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無限延伸。側面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；求：楔形體應力分布規(guī)律 。 分析思路：(a) 的量綱為： 的形式應為：的線性組合。 的量綱為：(b)由 推理得：應為 x、y 的三次函數(shù)。應力函數(shù)可假設為：平面問題的直角坐標解答一、多項式解答逆解法二、梁、長板類彈性體應力函數(shù)方法

20、應力分量與梁內力的關系可表示為：考慮擠壓應力影響導致然后由：確定應力函數(shù) 的具體形式。三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法（量綱分析法）：xyO楔形體，下部可無限延伸。側面受水壓作用：（水的溶重）；自重作用：（楔形體的溶重）；分析思路：(a) 的量綱為： 的形式應為：的線性組合。 的量綱為：(b)由 推理得：應為 x、y 的三次函數(shù)。應力函數(shù)可假設為：例：圖示矩形板，長為 l ，高為 h ，體力不計，試證以下函數(shù)是應力函數(shù)，并指出能解決什么問題。式中k、q為常數(shù)。xyOlh解：(1)應力分量：邊界條件：顯然，上下邊界無面力作用。上下邊界(2)xyOlh左邊界k右邊界kkl結論：可解決懸臂梁

21、左端受集中力問題。例：圖示矩形截面簡支梁，長為 l ，高為 h ，受有三角形分布載荷作用，體力不計。試求其應力分布。解：（1）應力函數(shù)形式的確定梁截面上彎矩和剪力為：由材料力學方法可確定應力分量的分離變量形式：取應力分量 分析，取應力分量 與應力函數(shù)的關系：對此式積分：對此式積分：為待定函數(shù)（2）由相容方程確定待定函數(shù)代入要使上述方程對任意的 x 成立，有(a)(b)(c)積分式（a），得將上式代入（b）積分，得積分式（c），得(d)(e)(f)將求得的代入應力函數(shù)，有（3）計算應力分量(g)(h)（3）利用邊界條件確定待定常數(shù)上邊界：(i)(j)(k)下邊界：(l)(m)(n)左邊界：左邊界

22、：(o)(p)(q)(r)(s)(t)聯(lián)立求解式（i）（t）,可得具體的應力分量。注：位移邊界條件轉化為應力邊界條件。（1）（2）試按材料力學中確定應力的方法，寫出圖示兩梁所有應力分量形式。（含有待定函數(shù)）課堂練習：3-5 級數(shù)式解答問題的提出多項式解答：只能求解載荷簡單，且連續(xù)分布的問題。不能求解載荷復雜，且間斷分布的問題。級數(shù)式解答：其基本思路是將應力函數(shù) 分解成關于 xy 的兩個單變量函數(shù)的乘積。 分離變量法。（屬逆解法）1. 級數(shù)形式的應力函數(shù)假設：(a)式中：為任意常數(shù)，其量綱為 ,為 y 的任意(待定)函數(shù)。將其代入 ：載荷復雜，且間斷分布的問題，可由級數(shù)式解答解決。有：(b)解上

23、述方程，得其中：A、B、C、D 都是任意常數(shù)，將其代入應力函數(shù) ，得(c)再取如下應力函數(shù)：式中：也為任意常數(shù) ,為 y 的任意（待定）函數(shù)。類似于上面的運算，可得應力函數(shù)的另一解：(d)顯然，將式(c) 與(d)相加，仍為可作為應力函數(shù)：(e)取 和 的一系列值，即?。簩⒂纱藰嫵傻?加起來，有(3-8)顯然，式(3-8) 滿足相容方程，可作為應力函數(shù)。且在其上再加若干個滿足相容方程的應力函數(shù)，仍可作為應力函數(shù)。2. 級數(shù)形式的應力分量將上述應力函數(shù) 代入應力分量表達式（2-26），有(3-9) 式（3-9）滿足相容方程、平衡方程，只要適當選?。?使其滿足邊界條件，即為某問題的解。3-6 簡支

24、梁受任意橫向載荷邊界條件1. 邊界條件的級數(shù)表示上下邊界：左右邊界：（a）（b）（c）（d）由邊界條件（c），得此時應力分量式（3-9）簡化為（3-10）將此應力分量式（3-10）代入邊界條件（b），有（e）（f）（b）（i）（j）（g）（a）（h）將此應力分量式（3-10）代入邊界條件（a），有將在區(qū)間（0，l）上展為和等式左邊相同的級數(shù)，即的級數(shù)，由Fourier級數(shù)的展開法則，有（3-11）比較式（3-11）與式（g）和（h）兩邊的系數(shù)，有（k）（l） 由式 (i)、(j)、(k)、(l) 可求得全部和系數(shù)： ，代入式（3-10）求得應力分量。說明：（1）邊界條件（d）在求解中沒有用到，

25、但可以證明是自動滿足的。（2）級數(shù)求解計算工作量很大，通常由有關計算軟件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。（3）結果在梁的端部誤差較大；另外，當梁的跨度與高度相當時結果誤差也較大。彈性力學平面問題的基本理論小結一、兩類平面問題及其特征名 稱平面應力問題平面應變問題未知量已知量未知量已知量位 移應 變應 力外 力幾何形狀體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不變化。體力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不變化。z 方向的尺寸遠小于板面內的尺寸（等厚度薄平板）z 方向的尺寸遠大于xoy平面內的尺寸（等截面長柱體）二、平面問題的基本方程（1）平衡微分方程（2-2）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）（2）幾何方程（2-9）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性）（3）物理方程(2-15)（平面應力）(2-16)（平面應變）（假定：小變形、連續(xù)性、均勻性、線彈性、各向同性）三、平面問題的基本求解方法及基本方程思路：（1）按位移求解以位移u、v為基本未知量，在所有基本方程中消去其余6個量，得到以位移表示的基本方程，從中求出 u、v，再由幾何方程、物理方程求出其余未知量。基本