【研究生入學(xué)考試】第十六章 球函數(shù)模版課件

1、第十六章 球函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法作變換：x = cos q ， y(x) = Q (q)代入方程可得：那么有：勒讓德方程連帶勒讓德方程方程的解主要性質(zhì)別離變量法的應(yīng)用16.1 勒讓德方程的解標(biāo)準(zhǔn)形式：正那么奇點勒讓德方程：奇點：正那么奇點奇點：奇點：勒讓德方程有三個正那么奇點：z = 0 是常點，解在 單位圓內(nèi)解析，可展開為泰勒級數(shù)。以常點為展開中心的級數(shù)解 第六章已講，P69。兩個線性無關(guān)特解為：斯特林公式：P103對解的解析性的判斷： 例題解將 用 G 函數(shù)表示因為所以提 示兩個特解 w1(z) 和 w2(z) 在 處均對數(shù)發(fā)散。將 w1(z) 和 w2(z) 解析延拓到由 沿負(fù)實軸到 割開的

2、復(fù)數(shù)平面上，支點為 和 。在 z = 1 的鄰域內(nèi)求解， 是正那么奇點， 內(nèi)有兩個正那么解。以奇點為展開中心的級數(shù)解 故設(shè)：將代入方程 可得指標(biāo)方程和系數(shù)遞推關(guān)系得 例題解將 用 G 函數(shù)表示。由上題可知提 示所以取 C0=1 ，那么勒讓德方程在 z = 1 鄰域內(nèi)的第一解為：g 為歐拉數(shù)，Y(z) 是 G 函數(shù)的對數(shù)微商，規(guī)定 時，n 次第一類勒讓德函數(shù)第二解稱為n 次第二類勒讓德函數(shù)，定義為：由于 ，勒讓德方程在 z = 1 鄰域內(nèi)的第一解在圓域 內(nèi)解析，而第二解那么一定含有對數(shù)項，z = 1 是它的一個支點。勒讓德方程：以常點 z = 0 為展開中心的級數(shù)解 在 處均對數(shù)發(fā)散。以奇點 z

3、 = 1 為展開中心的級數(shù)解 u 于 f 無關(guān)，16.2 勒讓德多項式采用球坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為球心，邊界條件的對稱軸為極軸，球形區(qū)域內(nèi) 拉普拉斯方程邊值問題為：等價的定解問題為：S：球面上的變點令 ，代入方程兩邊同乘以 得勒讓德方程作變換：x = cos q ， y(x) = Q (q) ， l=n (n+1) 本征值問題化為：通解：在 x = 1 處，Pn(x) 解析，故有界，而 Qn(x) 發(fā)散， y(1) 有界， C2 = 0對于C1 = 1， x = -1 時，y(-1)發(fā)散對于一般的 n 值，Pn(x) 在 x = -1 處發(fā)散，必須截斷 Pn(x) ，使本征值問題：有非零解。從 P

4、n(x) 的具體形式看，只能 n 為自然數(shù)。 本征值：ll = l(l+1) 本征函數(shù)：l 次勒讓德多項式低次的勒讓德多項式： 16.3 勒讓德多項式的微分表示羅巨格公式證明由羅巨格公式可知勒讓德多項式的奇偶性：證明羅巨格公式：將 展開并微商：由羅巨格公式可知勒讓德多項式在 x = 0 處的表達： 例題解計算積分 ，k、 l 為自然數(shù)。重復(fù)分部積分 l次，當(dāng) k l ，f(x) 為 k 次多項式，試證明 k l 時， 即 f(x) 與 Pl(x) 在 -1, 1 上正交。 例題證明16.4 勒讓德多項式的正交完備性不同次數(shù)的勒讓德多項式在區(qū)間 -1, 1 上正交。對于 l = k 時，對于 的

5、情形，不妨設(shè) k l勒讓德多項式的正交性 定理證明繼續(xù)分部積分，k + 1 次后當(dāng) k = l 時，f(x) 為 k ( k l )次多項式，與 Pl(x) 在 -1, 1 上正交。即勒讓德多項式的正交性 在區(qū)間 -1, 1 上的任意分段連續(xù)函數(shù) f(x) 可以展開為：其中，勒讓德多項式的完備性 定理將函數(shù) 按勒讓德多項式展開。令 ， 例題解已經(jīng)討論過由勒讓德多項式的正交性可知：此處 k = 3 ，即除了c1、c3 外，其余又知：在區(qū)間 0, p 上的任意分段連續(xù)函數(shù) f(q) 可以展開為：其中，勒讓德多項式的完備性* 定理一般地，特殊函數(shù)不是初等函數(shù)。16.5 勒讓德多項式的生成函數(shù)稱該初等

6、函數(shù)為這個特殊函數(shù)的生成函數(shù)母函數(shù)。勒讓德多項式是首先在勢論中引進的。勒讓德多項式的生成函數(shù)？ 是否會存在某個初等函數(shù)，它在某一點的鄰域內(nèi)的級數(shù)展開的系數(shù)是一族特殊函數(shù)呢？定義 設(shè)在極軸方向上q = 0距原點 r 處放有一個單位電荷，此點電荷在空間某點r , q , f 的電勢顯然與 f 無關(guān)為：這樣規(guī)定之后，在 t = 0 的鄰域內(nèi) 解析，因而可以在 t = 0 的鄰域內(nèi)作泰勒展開：其中 x = cosq ，并規(guī)定多值函數(shù) 的單值分支為：稱函數(shù) 為勒讓德多項式的生成函數(shù)。也可知：由生成函數(shù)可推出 ：由生成函數(shù)：16.6 勒讓德多項式的遞推關(guān)系兩端對 t 微商：比較 tl 的系數(shù)：三個鄰次勒讓

7、德多項式的關(guān)系整理后得：對生成函數(shù)：兩端求 x 的導(dǎo)數(shù)：比較 tl +1的系數(shù)：勒讓德多項式與三個鄰次導(dǎo)數(shù)的關(guān)系消去 得：將 (1) 式對 x 求導(dǎo)與 (2) 式聯(lián)立：消去 得：勒讓德多項式及其導(dǎo)數(shù)與鄰次導(dǎo)數(shù)的關(guān)系勒讓德多項式與鄰次導(dǎo)數(shù)的關(guān)系計算積分由勒讓德多項式的遞推關(guān)系可知： 例題解將函數(shù) 按勒讓德多項式展開。令 ，由勒讓德多項式的正交性可知： 例題解那么將 n 換為 n - 1 可知：因此ua 為均勻電場電勢，ue 為感生電荷電勢，假設(shè)坐標(biāo)原點處的電勢為u0 ，那么采用球坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點為球心，極軸方向為電場方向，由均勻電場和球體的對稱性可知，感生電荷繞極軸不變，因而球外任意一點的電勢與

8、 f 無關(guān)：球外任意一點的電勢 = 原均勻電場電勢 + 感生電荷電勢16.7 勒讓德多項式應(yīng)用舉例均勻電場中的導(dǎo)體球設(shè)在電場強度為 E0 的均勻電場中放進一個半徑為 a 的球，求球外任意一點的電勢。由靜電學(xué)知識可知，導(dǎo)體球成為等勢體，球面上分布有感生面電荷。 例題解 球外無電荷 球外的電勢滿足拉普拉斯方程令 ue = R(r) Q(q)別離變量得：感生電荷只分布于球面ue 的定解問題為：該本征值問題在本章第二節(jié)中討論過P227，可知作變換 關(guān)于 R(r) 的微分方程可化為：一般解：ue 反映出均勻電場中的接地球面上的感生電荷，相當(dāng)于位于坐標(biāo)原點的點電荷和電偶極子的疊加：采用球坐標(biāo)系，環(huán)心為坐標(biāo)

9、原點，極軸方向垂直于圓環(huán)面，空間任意一點的電勢與 f 無關(guān) ，靜電勢 u 的定解問題為：其中 ，是電荷密度分布函數(shù)。均勻帶電細(xì)圓環(huán)的靜電勢設(shè)有一半徑為 a總電荷量為 Q 的帶電細(xì)圓環(huán)，求其空間任意一點的靜電勢。 例題解 環(huán)外無電荷 環(huán)外各點的電勢均滿足拉普拉斯方程方程退化衛(wèi)相應(yīng)的齊次方程：當(dāng) r a 時，一般解：將球面 r = a 看作界面，界面上存在電荷分布邊界條件：在界面處作 r 的積分：下面定系數(shù)對 d 函數(shù)作勒讓德多項式展開：所以 u(r, q) 的導(dǎo)數(shù)在球面 r = a 上不連續(xù)。比較 的系數(shù)得：又知 d 函數(shù)是間斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以 u(r, q) 在球面 r = a 上連續(xù)：偶次勒

10、讓德多項式反映了靜電勢對于圓環(huán)面的反射不變性。采用球坐標(biāo)系，球心為坐標(biāo)原點，由邊界溫度可知，空間任意一點的溫度與 q、 f 無關(guān) ，溫度 u 的定解問題為：代入邊界條件得：解常微分方程 得：有一內(nèi)半徑為 a 外半徑為 2a 的均勻球殼，內(nèi)外表溫度保持零度，外外表溫度保持 u0 ，求球殼的穩(wěn)定溫度分布。 例題解 球殼內(nèi)無熱源和熱損失 球殼各點的溫度均滿足拉普拉斯方程采用球坐標(biāo)系，由邊界條件可知， u 與 f 無關(guān) ，u 的定解問題化為：求定解問題： 例題解代入邊界條件 ， 得：令 u = R(r) Q(q)別離變量得：作變換 關(guān)于 R(r) 的微分方程可化為：該本征值問題在本章第二節(jié)中討論過P2

11、27，可知一般解：作變換 ，即利用勒讓德多項式的正交性定系數(shù) Al代入邊界條件：當(dāng) l = 0 時，當(dāng) l = 2n + 1 時，當(dāng) l = 2n 時，n0之前的例題16.8 連帶勒讓德函數(shù)連帶勒讓德方程的本征值問題：首先解連帶勒讓德方程方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：代入方程可知指標(biāo)方程：得到超球微分方程指標(biāo)方程：可知用數(shù)學(xué)歸納法可以證明： 超球微分方程可以通過勒讓德方程微商 m 次得到 ?；魻柹x 連帶勒讓德方程的通解為本章第二節(jié)中已討論過：連帶勒讓德方程的本征值問題要求因此關(guān)聯(lián)勒讓德函數(shù)m 階 l 次勒讓德函數(shù)相同階不同次的連帶勒讓德函數(shù)在區(qū)間 -1, 1 上正交：模方：連帶勒讓德函數(shù)的正交性定理采用球坐標(biāo)系，由邊界條件可知， u 與 q 、f 有關(guān) ，u 的定解問題為：一均勻球體，球面溫度為 ，求球內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布。 例題解比照兩邊 cosmf