大學課件電磁學-磁場的高斯定理和安培環(huán)路定理

1、3.4磁場的高斯定理安培環(huán)路定理341磁場的高斯定理磁通量(magnetic flux)通過磁場中任面積的磁感應線數(shù)稱為通過該面的磁通量，用表示。磁通量的單位是韋伯(wb)均勻磁場，磁感應線垂直通過SSB % = BS均勻磁場，s法線方向與磁場方向成&角加=BS cos 0 = B S磁場不均勻，S為任意曲面dm = BdS cos 6 = B dS 稅=J B dSSS為任意閉合曲面剛=才 BdS cos 6 = (J B dSSS規(guī)定：dS正方向為曲面上由內(nèi)向外的法線方向。則磁感應線穿入，m為負；穿出，m為正。=B - S BS cos 0 mC 型、 U 型 永磁體的外部磁3.磁場中的高

2、斯定理 m =0 B - dS = 0S穿過任意閉合曲面的磁通量為零。這是無磁單極的必然結(jié)果。初= 0S1磁感應線是閉合的， 因此它在任意封閉 曲面的一側(cè)穿入，必 在另一側(cè)全部穿出。纟=扌E -dS =丄工qS0靜電場中高斯定理反映靜電場是有源場S穩(wěn)恒磁場的高斯定理反映穩(wěn)恒磁場是無源場342安培環(huán)路定理一、安培環(huán)路定理扌 E - dl = 0 l0 B - dl = ?i靜電場的環(huán)流為零 說明靜電場是保守場； 穩(wěn)恒磁場的環(huán)流如何呢？對任何矢量場基本性質(zhì)的研究，就是考察它的通量和環(huán)流。對穩(wěn)恒磁場環(huán)流的研究形成了安培環(huán)路定理。無限長直線電流，同心圓積分回路根據(jù)電流的走向, 按右手螺旋方向取一條同心

3、 積分環(huán)路安培環(huán)路(Ampe rian l oop )即0 B d =呻l若電流方向相反，但只要積 分環(huán)路符合右手螺旋法則, 都有 B dl = UQI而當電流走向與環(huán)路方向與右手螺旋方向相背時 B dl = _出1任意積分回路無限長直線電流，0 B d (p B cos ddlll-( 如1 cos Odlp 2”r(prd - (O d2兀r2兀、ElB - dl oIi如果環(huán)路內(nèi)還有其它無限長直線電流根據(jù)疊加原理，可知 p B dl o (I + 厶 _ I)回路不環(huán)繞電流B4 dl( 如4 cos Qdl4/ 2礎(chǔ)可見, 電流若不在安培環(huán)路內(nèi), 由它激發(fā)的磁場在這 個環(huán)路上的環(huán)流就是零

4、。El4.圓電流磁場軸線回路軸線上2理+）%B dl Bdx +00 00Bdx o=2:2(C)% 必=從12 Bdx Jo其實并不局限于無限長直線電流和圓電流, 嚴格 的理論分析證明, 對任意形式的穩(wěn)恒電流模型, 上述 結(jié)果也都正確。總結(jié)在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應強度B沿任意 閉合曲線的線積分（也稱B的環(huán)流），等于穿過該閉合曲 線的所有電流強度（即穿過以閉合曲線為邊界的任意 曲面的電流強度）的代數(shù)和的如倍。令B d = 工ii 安培環(huán)路定理Li與環(huán)路成右旋關(guān)系的電流取正，否則取負。靜電場 dl = 0電場有保守性，它是 保守場，或有勢場E dS =工務電場線起于正電荷止于負電荷靜電場

5、是有源場穩(wěn)恒磁場0斤方=“0工磁場沒有保守性，它是 非保守場，或無勢場押亦=0S磁感應線閉合無自由磁荷磁場是無源場討論包圍電流正負的判斷:+厶1 Direction ofintegration即：右手拇指伸直，彎曲四指與閉合路徑L的 方向一致時，拇指的指向即為電流的正方向。課堂練習: 判斷下列圖中結(jié)果B dl 他(/ I2)扌厶 B dl 戸o (2/ + /)-應/屯B d o0(2/) = 2“。/明確幾點： B dl=“0 工 Ii內(nèi)工I內(nèi)是閉合路徑L所包圍的電流的代數(shù)和。B是指環(huán)路上一點的磁感應強度，它是空間所有電 流共同產(chǎn)生的。環(huán)路定理適用于閉合穩(wěn)恒電流的磁場。而有限電流 (如一段不

6、閉合的載流導線)不適用環(huán)路定理。安培環(huán)路定理說明磁場性質(zhì) 磁場是非保守場, 是渦旋場。閉合回路包圍電流的判斷： 以閉合回路為邊界任意做一曲面, 電流穿過 曲面就算包圍。討論： 安培環(huán)路定理B d7 =如工 i(B - d / 二如(-1 + ii - ii -厶)二-如(11 + 12)思考：1) B是否與回路Z外的電流有關(guān)?2)若(Bdl = 0,是否回路Z上各處B = 0? 是否回路內(nèi)無電流穿過？3.4.3安培環(huán)路定理的應用利用安培環(huán)路定理求磁感應強度要求磁場具有 高度的對稱性。關(guān)健是: 根據(jù)磁場分布的對稱性, 選 取合適的閉合回路。選取回路原則：1) 回路要經(jīng)過所研究的場點。2) 回路的

7、長度便于計算;3)要求回路上各點B大小相等,B的方向與環(huán)路方 向一致，dl目的是將札B dl =仏工I寫成B = 工1El例1：無限長載流圓柱體的磁場。解： 1）對稱性分析 2）選取回路rR:彳 B - d / = “012 n rB = “01, B =02 n r- n r 20 r R: B -d l 二 “o 市22 n rB =馬厶 B = 01R2 n R2B 的方向與 I 成右螺旋-0 r R,B =獸例2求無限長載流圓柱面的磁場分布。B = 0B 32n r0 r R, jB d l = jU01例3：無限長導體板寬度 2a, 載有穩(wěn)恒電流, 單位寬 度上的電流強度沏。求：板中

8、垂線外一點的磁感應 強度。解：建坐標、取元電流dI = jdy“0 dI匸卩凹2兀r2托 J x x + y 2dB = dB cos0= dB r由對稱性Bx = J dBx = 0 x2兀x 2 + y 2 J x 2 + y 2積分得B =如tan-1 a討論三若板寬無限大，磁場分布如何？可在上述結(jié)果中令ay或令x fO1Mojxdy2( x 2 + y2)得 B = “oj當板寬無限大時, 可直接用安培環(huán)路定理討論。 根據(jù)場的對稱性, 取矩形回路穿過導體板B - dl = B - dl + B - dl abbc+ f B dl + f B dlcdda/ibd=B f dl + B

9、f dl = 2Babac=“o abj B =“0 j2/ 、廠 OOOOABcdxB 1 k推廣：有厚度的無限大平面電流在外部B = “0 jd / 2在內(nèi)部B = “ jxd j 課堂練習：同軸電纜的內(nèi)導體圓柱半徑為Ri，外導體 圓筒內(nèi)外半徑分別為Rt、心電纜載有電流I求：磁 場的分布。B=黑r以1R r R2B =2龍rB =從1 (R _ 號R2 r2 於(R - Rt2B =0電場、磁場中典型結(jié)論的比較長直線長 直 圓柱 面長直柱體電荷均勻分布電流均勻分布E =B -蚣I2寤0 r2nrE=0B=0E -2B =從1lne0 r2岔沖2E = rB =呻r2 龍R2兀R RE -2B -蚣I2ne0 r2岔例4：長直密繞螺線管，單位長度上電流匝數(shù)為n , 求：螺線管內(nèi)的磁感應強度分布。解:1）對稱性分析：螺線管內(nèi)磁力線平行于軸線，且 在同一條磁力線上各點的 B 大小相等, 外部磁感強 度趨于零，即B = 0 o2 ) 選回路 L 。磁場 B 的方向與 電流 I 成右螺旋。 一二M-B-+HIIMP B外=0例6： 均勻帶電的長直柱面，半徑為從單位面積上的電量為6以角速度逾中心軸線轉(zhuǎn)動，求：柱面內(nèi)外的磁場。解：旋轉(zhuǎn)的柱面形成圓電流， 它和一個長直螺線管等效。由長直螺線管