4.4-奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)匯總課件

1、4.4 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 前面介紹的幾種穩(wěn)定性判據(jù)，都是基于系統(tǒng)的狀態(tài)方程、微分方程、傳遞函數(shù)等參數(shù)模型。工程上采用系統(tǒng)的頻率特性等實驗數(shù)據(jù)來分析、設計系統(tǒng)。1932年，美國Bell實驗室的奈奎斯特提出了這樣一種方法。這種方法是以系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)是復變函數(shù)理論中的幅角原理，或稱為映射定理。 4.4.1 幅角原理 設為一單值復變函數(shù)，其零極點圖如圖4.5(a)所示。在S平面上取一封閉曲線，記為 ，要求 不通過F(s)的任一極點和零點。設 包圍了F(s)的Z個零點和P個極點。記 在F平面上的映射為 ，因為F(s)為一單值

2、復變函數(shù)，所以， 是惟一的，也是一個封閉曲線，如圖4.5(b)所示。 幅角原理：若 包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，當s順時針沿 取值時， 繞F平面的原點的圈數(shù)N為： N=Z-P (4.67) 其中 的參考方向為順時針方向,即當 順時針繞F平面的原點|N|圈時， N0;當 逆時針繞平面的原點|N|圈時，N1時， , ， ， ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當k1時， , ， ，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有兩個閉環(huán)極點在右半S平面。 當k=0時，奈氏曲線穿越點，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 上面討論的都是假設G(s)與H(s)沒有零、極點對消的情況。由于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是基于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)來分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的，所以，當G(

3、s)與H(s)存在零、極點對消時，如果直接應用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可能會得到錯誤的結(jié)果。下面用一個例子說明G(s)與H(s)有零、極點對消時的處理方法。 例4.28 控制系統(tǒng)如圖4.13所示，用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解 在該系統(tǒng)中，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: 由奈氏穩(wěn)定判據(jù)或者其它判據(jù)，很容易判別該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但實際上，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為: 可見，系統(tǒng)在右半S平面的閉環(huán)極點，一部分由開環(huán)傳遞函數(shù) 決定，另一部分是對消掉的不穩(wěn)定的開環(huán)極點s=1，所以，系統(tǒng)有1個不穩(wěn)定的閉環(huán)極點。 因此，當G(s)與H(s)存在零、極點對消時,先根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù),用奈氏穩(wěn)定判據(jù)得到在右半S平面的閉環(huán)極點

4、數(shù) ,然后再加上對消掉的不穩(wěn)定的開環(huán)極點數(shù) ，就得到系統(tǒng)在右半S平面的閉環(huán)極點的總數(shù) 。4.4.4 相對穩(wěn)定性分析 前面介紹的穩(wěn)定判據(jù)是分析系統(tǒng)是否穩(wěn)定，稱為絕對穩(wěn)定性分析。對于實際的控制系統(tǒng)，不僅要求穩(wěn)定，而且要求具有一定的穩(wěn)定裕度。確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，稱為相對穩(wěn)定性分析。在奈氏圖上，不僅可以分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，即判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且能分析系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。 如何度量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度？由奈氏判據(jù)可知，位于臨界點附近的開環(huán)幅相曲線即奈氏曲線，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響最大。奈氏曲線越是接近臨界點(-1,j0)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差。因此，可以將奈氏曲線與臨界點的距離，作為相對穩(wěn)定

5、性的度量。通常用相角裕度 和幅值裕度 或 兩個值，度量奈氏曲線與臨界點的距離。 下面首先定義相位穿越頻率和增益穿越頻率。 使開環(huán)頻率特性的相角為 的頻率，稱為相位穿越頻率 ，即 (4.74) 使開環(huán)頻率特性的幅值為1，或者為0db的頻率，稱為增益穿越頻率或者截止頻率 ，即 (4.75) 相角裕度 和幅值裕度 或 定義如下。 (4.77) (4.78) 或者 (4.79) 相角裕度 和幅值裕度 的幾何意義如圖4.14所示。 對于最小相位系統(tǒng)，相角裕度 和幅值裕度 的符號是一致的。當 ， ，系統(tǒng)穩(wěn)定；當 ， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。但對于非最小相位系統(tǒng)，相角裕度 和幅值裕度 的符號可能是不一致的。相角裕度和

6、幅值裕度的符號一般是沒有太大意義的,不能用來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性. 穩(wěn)定系統(tǒng) 和 表示了系統(tǒng)穩(wěn)定的程度，它們的值越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)， 和 表示了系統(tǒng)不穩(wěn)定的程度，它們的值越大，系統(tǒng)越不穩(wěn)定。 例4.29 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。 解 由于開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面的原點存在極點，所以選擇奈氏路徑如圖4.6（b）所示。系統(tǒng)的頻率特性為: 令 ，即: 得奈氏曲線與實軸交點處的頻率為: 奈氏曲線與實軸交點坐標為: 根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線如圖4.15所示。 奈氏路徑中小半圓的映射：從 的映射點開始，順時針轉(zhuǎn)過 ，到 的映射點的無窮大半徑

7、的圓弧。 因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面有1個極點，所以P=1。 當 時， , , 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當 時， ， ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有2個閉環(huán)極點在右半S平面。 當 時，奈氏曲線穿越點，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 下面分析系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。由 得: 前面已經(jīng)求出: 則: , 雖然在奈氏圖上表示控制系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度是很直觀的，但是因為奈氏曲線只是大概的輪廓，所以要在奈氏圖上直接量取相角裕度和幅值裕度顯然是不行的。由于奈氏圖和伯德圖有一個簡單的對應關(guān)系，所以，在伯德圖上相角裕度和幅值裕度如圖4.16所示。由于伯德圖是比較精確的，所以，可以在伯德圖上量取相角裕度和幅值裕度。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的中頻段的寬度和斜率與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有密切的關(guān)系。根據(jù)伯德定理，若系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的中頻段的斜率為-20db