2022屆浙江省杭州市浙大附中高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1函數(shù)在的圖象大致為( )ABCD2如果實數(shù)滿足條件，那么的最大值為（ ）ABCD3 “”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4一物體作變速直線運動，其曲線如圖所示，則該物體在間的運動路程為（ ）

2、mA1BCD25若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（ ）ABCD6i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是( )A15B3C3D157下列說法正確的是（ ）A“若，則”的否命題是“若，則”B在中，“”是“”成立的必要不充分條件C“若，則”是真命題D存在，使得成立8直線與拋物線C：交于A，B兩點，直線，且l與C相切，切點為P，記的面積為S，則的最小值為ABCD9已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則下述四個結(jié)論：點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）ABCD10設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（ ）ABCD11設(shè)是雙曲線的

3、左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標(biāo)原點），且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD12已知向量，若，則（ ）ABC-8D8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知是偶函數(shù)，則的最小值為_.14若滿足約束條件，則的最小值是_，最大值是_.15在三棱錐中，已知，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_.16過動點作圓：的切線，其中為切點，若（為坐標(biāo)原點），則的最小值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：當(dāng)時，18（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求在

4、的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.19（12分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（）求證：；（）若點在線段上，且平面，求二面角的余弦值.20（12分）已知函數(shù)，.（）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并證明；（）函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，證明：21（12分）已知數(shù)列an的各項均為正，Sn為數(shù)列an的前n項和，an2+2an4Sn+1（1）求an的通項公式；（2）設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和22（10分）已知集合，.（1）若，則；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

5、的。1C【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，排除B選項；當(dāng)時，所以排除A選項；當(dāng)時，排除D選項；綜上可知，C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】解：當(dāng)直線過點時，最大，故選B3B【解析】或，從而明確充分性與必要性.【詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出“”是“”的必要不充分條件故選【點睛】本題考查充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.4C【解析】由圖像用分段函數(shù)表示，該物體在間的運動路程可用定積分表示，計算即

6、得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運動的路程公式，可得所以物體在間的運動路程是故選：C【點睛】本題考查了定積分的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.5B【解析】根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標(biāo)函數(shù)化為，則將平移，平移后結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過原點時截距最小，；當(dāng)經(jīng)過時，截距最大值，所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】，選B7C【解析】A：否命題既否條件又

7、否結(jié)論，故A錯.B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故 A錯.B：在中，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯.C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯.故選：C【點睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.8D【解析】設(shè)出坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用弦長公式求得，再由點到直線的距離公式求得到的距離，得到的面積為，作差后利用導(dǎo)數(shù)求最值【詳解】設(shè)，聯(lián)立，得則，則由，得 設(shè)，則 ，則點到直線的距離從而令 當(dāng)時，；當(dāng)時，故，即的最小值為本題正確選項：【點睛】本題考查

8、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題解決圓錐曲線中的面積類最值問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的方式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.9B【解析】首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗證可得；【詳解】解：由題意可得，又和的圖象都關(guān)于對稱，解得，即，又，正確，錯誤.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因為在上是奇函數(shù).所以，解得，所以當(dāng)時，且時，單調(diào)遞增，所

9、以在上單調(diào)遞增，因為，故有，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的靈活運用能力，是一道中檔題.11D【解析】利用向量運算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.12B【解析】先求出向量,的坐標(biāo)，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，則，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算和模長的運算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13

10、2【解析】由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為：2【點睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題140 6 【解析】作不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果【詳解】作出可行域，如圖中的陰影部分：求的最值，即求直線在軸上的截距最小和最大時，當(dāng)直線過點時，軸上截距最大，即z取最小值，當(dāng)直線過點時，軸上截距最小，即z取最大值，.故答案為：0；6.【點睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法，屬于中檔題15【解析】取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得， 由等腰直

11、角三角形的性質(zhì)，得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得平面，由勾股定理求得，可得為三棱錐外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公式可求得此外接球的表面積.【詳解】在等邊三角形中，取的中點，設(shè)等邊三角形的中心為，連接.由，得，由已知可得是以為斜邊的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長度求得外接球的球心的位置，球的半徑，屬于中檔題.16【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a2)2+(b2)212

12、=a2+b24a4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b24a4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b7=0.a，b滿足的關(guān)系為：4a+4b7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值在直線4a+4b7=0上取一點到原點距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b7=0，由點到直線的距離公式得：MN的最小值為： .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1) (2)見證明【解析】(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項和然后確定通項公式即可；(2)由題意結(jié)合通項公式的特征放縮之后裂項求和即可證得題中的不等

13、式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，當(dāng)時，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時，所以【點睛】給出 與 的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.18（1）（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，代入，求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當(dāng)時，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，當(dāng)時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)無極值；當(dāng)時，令，解得，令，解得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，；當(dāng)時，

14、令，解得，令，解得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19（）見解析（）【解析】（）推導(dǎo)出BCCE,從而EC平面ABCD,進(jìn)而ECBD，再由BDAE，得BD平面AEC,從而BDAC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（）設(shè)AC與BD的交點為G,推導(dǎo)出EC/ FG,取BC的中點為O,連結(jié)OD,則ODBC,以O(shè)為坐標(biāo)原點，以過點O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【

15、詳解】（）證明：，即，因為平面平面，所以平面，所以，因為，所以平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，故；解法一：（）設(shè)與的交點為，因為平面，平面平面于，所以，因為是中點，所以是的中點，因為，取的中點為，連接，則，因為平面平面，所以面，以為坐標(biāo)原點，以過點且與平行的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，取，同理可得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，因為，所以二面角的余弦值為.解法二：（）設(shè)與的交點為，因為平面，平面平面于，所以，因為是中點，所以是的中點，因為，所以平面，所以，取中點，連接、，因為，所以，故平面，所以，即是二面

16、角的平面角，不妨設(shè)，因為，在中，所以，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.20（）函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.見解析（）見解析【解析】（）根據(jù)題意，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而研究零點個數(shù)問題；（）求導(dǎo)，由于在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點，即可證明出.【詳解】解：（），當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上無零點；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上唯一零點；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；在區(qū)間上唯一零點；綜上可知，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.（），由（）知在無極值

17、點；在有極小值點，即為；在有極大值點，即為，由，即，2，以及的單調(diào)性，由函數(shù)在單調(diào)遞增，得，由在單調(diào)遞減，得，即，故.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)問題和證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.21（1）an2n+1；（2）2【解析】（1）根據(jù)題意求出首項，再由（an+12+2an+1）（an2+2an）4an+1，求得該數(shù)列為等差數(shù)列即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.【詳解】（1）an2+2an4Sn+1，a12+2a14S1+1，即，解得：a11或a11（舍），又an+12+2an+14Sn+1+1，（an+12+2an+1）（an2+2an）4an+1，整理得：（an+1an）（an+1+an）2（an+1+an），又?jǐn)?shù)列an的各項均為正，an+1an2，數(shù)列an是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列an的通項公式an1+2（n1）2n+1；（2）由（1）可知bn，記數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tn15（2n+1），Tn15+（2n1）（2n+1），錯位相減得：Tn1+2（）