初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試中進(jìn)行推理能力考查的一些思考(共8頁(yè))

1、初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試中進(jìn)行推理能力考查(koch)的一些思考210013 江蘇教育(jioy)學(xué)院 章 飛在現(xiàn)實(shí)生活和科學(xué)研究中，人們需要把握事物之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，為此，需要通過(guò)一些現(xiàn)象或者已知的判斷作出新的推斷，這個(gè)過(guò)程就是一個(gè)推理的過(guò)程。因而推理能力是公民素質(zhì)的一個(gè)重要方面，是義務(wù)教育階段的一個(gè)重要目標(biāo)。毋庸置疑，數(shù)學(xué)在發(fā)展學(xué)生推理能力方面，具有十分重要的作用。因此，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把推理能力作為一個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。當(dāng)然，同樣(tngyng)也成為學(xué)業(yè)考試的一個(gè)十分重要的課程目標(biāo)。那么，推理能力的內(nèi)容有哪些，又如何進(jìn)行推理能力的考查呢？從其內(nèi)容組成上看，推理能力包括演繹推理能力（邏輯

2、推理）和合情推理能力（如歸納、類(lèi)比、統(tǒng)計(jì)推斷等），它們都是數(shù)學(xué)發(fā)展中不可缺少的兩種既不同又互補(bǔ)的推理能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中它們往往協(xié)同作用，因而它們都是推理能力考查的主體內(nèi)容。具體的，其內(nèi)容包括，能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想；能對(duì)所做出的猜想進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖糇C，能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的嚴(yán)密的邏輯論證，并有條理地表達(dá)自己的證明，與他人交流；能對(duì)他人結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑等。推理能力的發(fā)展，既可以在空間與圖形的教學(xué)中，也可以借助數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率，甚至日常生活等領(lǐng)域，因此考查推理能力的現(xiàn)實(shí)載體也必將是多樣的。下面分別就合情推理、邏輯推理等談?wù)勍评砟芰疾榈囊恍┚唧w做法。當(dāng)然，這幾者的考查應(yīng)是一個(gè)整

3、體，只是為了描述的方便，將它們分開(kāi)討論，并在各個(gè)部分各有側(cè)重而已。1在歸納、類(lèi)比等活動(dòng)過(guò)程中考察學(xué)生的合情推理能力歸納與類(lèi)比等合情推理能力，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)和學(xué)生發(fā)展中具有不可替代的作用，因此，應(yīng)關(guān)注學(xué)生合情推理能力的考查。演繹是一個(gè)從一般到特殊的推理過(guò)程，而歸納是一個(gè)從特殊到一般的概括過(guò)程，類(lèi)比是從具體到具體的遷移過(guò)程。因此，在合情推理能力的考查時(shí)，可以設(shè)計(jì)一些歸納性、類(lèi)比性的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)觀察、試驗(yàn)等活動(dòng)過(guò)程，在活動(dòng)中通過(guò)對(duì)大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結(jié)論，或者通過(guò)一些簡(jiǎn)單對(duì)象的研究推移猜想出有關(guān)復(fù)雜對(duì)象的結(jié)論，獲得有關(guān)猜想。當(dāng)然，歸納和類(lèi)比活動(dòng)的目的是探索事物的內(nèi)在規(guī)律，因此，所選

4、背景一般應(yīng)具有普遍性；研究的對(duì)象十分廣泛，可以是一個(gè)幾何圖形、一個(gè)代數(shù)式，也可以是一個(gè)具體的數(shù)學(xué)方法、一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律等。具體考查時(shí)，可以設(shè)計(jì)成客觀題，如例1；但為了能夠洞察學(xué)生獲得結(jié)論的過(guò)程(guchng)以及歸納和類(lèi)比過(guò)程中的具體方法，一般多設(shè)計(jì)成主觀題。在主觀題設(shè)計(jì)時(shí)，可以設(shè)計(jì)一些問(wèn)題串，明確要求學(xué)生在幾個(gè)特殊情形或具體情形研究的基礎(chǔ)上歸納或類(lèi)比出一般結(jié)論，如例2；也可以直接要求學(xué)生研究一般的規(guī)律，但學(xué)生在一般規(guī)律的尋求(xnqi)中，可能需要借助于對(duì)一些特殊情形或一些簡(jiǎn)單的具體情形的思考，如例2中可以刪去第（2）問(wèn)，直接求第（3）問(wèn)AnBnCnDn的面積，顯然(xinrn)，后者要求學(xué)生具

5、備一種歸納的主動(dòng)意識(shí)，因而要求更高。例1 （04重慶北碚21）如圖1所示，用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察下圖：則第n個(gè)圖形中需用黑色瓷磚塊 .（用含n的代數(shù)式表示）圖1圖2例2 （04貴陽(yáng)26）如圖2，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2如此進(jìn)行下去得到四邊形AnBnCnDn .（1）證明：四邊形A1B1C1D1是矩形；（2）寫(xiě)出四邊形A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積；（3）寫(xiě)出四邊形AnBnCnDn的面積；（4）求四邊形

6、A5B5C5D5的周長(zhǎng).選擇用以進(jìn)行歸納或類(lèi)比的載體可以是多方面的，既可以是空間與圖形的，也可以是數(shù)與代數(shù)的或者統(tǒng)計(jì)與概率的。CABZA1S2S3S1圖3例3 我們?cè)趯W(xué)習(xí)勾股定理時(shí)構(gòu)造(guzo)了下面的模型：ABC是直角三角形，其中(qzhng)C是直角(zhjio)，分別以RtABC的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，面積分別用S1，S2，S3表示，那么我們有：S1S2S3。如果我們分別以RtABC的三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，請(qǐng)你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明。小明說(shuō)，如果分別以RtABC三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，

7、為了使S1，S2，S3之間仍然具有上述關(guān)系，所作三角形應(yīng)當(dāng)具有相似的關(guān)系，你認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎？你能構(gòu)造一個(gè)模型，即以RtABC三邊為邊向外作三個(gè)圖形，使得三個(gè)圖形的面積具有上述關(guān)系嗎？具體做一做。圖4評(píng)析：類(lèi)比能力的考查形式可以是多樣的。如本題第一問(wèn)從題目中的正方形類(lèi)比到正三角形，要求學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行類(lèi)比；而第三問(wèn)要求學(xué)生構(gòu)造模型，是另一種情況的類(lèi)比：對(duì)條件進(jìn)行類(lèi)比，這一步要求更高，學(xué)生需要對(duì)第二問(wèn)提供的信息“相似”有充分的理解，同時(shí)，學(xué)生構(gòu)造模型的不同也體現(xiàn)出學(xué)生的創(chuàng)造力和類(lèi)比能力的差異，比如有的學(xué)生可能類(lèi)比到三角形的特殊情況：等腰直角三角形，有的可能類(lèi)比到一般的正多邊形，也可能有學(xué)生類(lèi)比到半

8、圓（以三邊為直徑作圓），類(lèi)比半圓學(xué)生思維的發(fā)散水平就相對(duì)高一些。例4（04大連第25題）閱讀材料，解答問(wèn)題。材料：“小聰設(shè)計(jì)的一個(gè)電子游戲是：一電子跳蚤從這P1(3，9)開(kāi)始，按點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次增加1的規(guī)律，在拋物線上向右跳動(dòng)，得到點(diǎn)P2、P3、P4、P5(如圖4所示)。過(guò)P1、P2、P3分別作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x軸，垂足為H1、H2、H3，則即P1P2P3的面積為1?！眴?wèn)題：求四邊形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面積(要求：寫(xiě)出其中一個(gè)四邊形面積的求解過(guò)程，另一個(gè)直接寫(xiě)出答案)；圖5猜想四邊形Pn1PnPn+1Pn+2的面積，并說(shuō)明理由(利用圖5)若將拋物線改為(i wi

9、)拋物線，其它條件(tiojin)不變，猜想四邊形Pn1PnPn+1Pn+2的面積(min j)(直接寫(xiě)出答案)評(píng)析：本題選擇了一個(gè)函數(shù)問(wèn)題為背景，借助文字和圖像先給出一個(gè)解題模式，要求學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼蜻w移和歸納推理，同時(shí)在本題的解決過(guò)程中，需要學(xué)生進(jìn)行一定的閱讀理解和代數(shù)運(yùn)算，因而較好的考查了學(xué)生的閱讀理解能力、代數(shù)計(jì)算能力、遷移運(yùn)用能力和歸納推理能力。當(dāng)然，經(jīng)過(guò)計(jì)算，本題幾種特殊情況的計(jì)算結(jié)果都是1，因而歸納的難度不是很大。因此，歸納過(guò)程的明晰程度、所歸納結(jié)論的外在特征、學(xué)生對(duì)歸納背景的熟悉程度等因素直接影響著試題的難度和有效性，因此在設(shè)計(jì)考查學(xué)生歸納能力的有關(guān)試題時(shí)，應(yīng)注意分析上述三者

10、，并據(jù)此調(diào)控試題的難度，保證試題的有效性。此外，也可以嘗試借助計(jì)算器進(jìn)行一定的歸納活動(dòng)。例5、試通過(guò)計(jì)算器計(jì)算來(lái)探討與（n3）的大小關(guān)系.評(píng)點(diǎn)：與（n3）有怎樣的大小關(guān)系呢？學(xué)生事先并不知道這就要借助計(jì)算器計(jì)算出若干對(duì)特殊的值進(jìn)行比較，得出猜想，例如，通過(guò)計(jì)算，等等，我們可以歸納出。題目沒(méi)有給學(xué)生指明具體的探索方法，因而要求借助工具進(jìn)行大膽的嘗試、歸納猜測(cè)、更多的數(shù)據(jù)驗(yàn)證確認(rèn)等活動(dòng)，較好地考查了學(xué)生的歸納能力和意識(shí)。類(lèi)似的，有：例6：借助計(jì)算器探索的結(jié)果。2 使用多種形式多角度考查邏輯推理能力考查學(xué)生的邏輯推理能力，過(guò)去已經(jīng)作過(guò)比較多的嘗試。因此，在命題中可以有很多豐富的形式。考查的形式，既可

11、以是證明題，也可以是計(jì)算求解題；考查的知識(shí)背景，既可以以空間與圖形為背景，也可以以數(shù)與代數(shù)為考查的背景。圖6例7 （04貴陽(yáng)23）同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形嗎？如果是，請(qǐng)給出證明（要求畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證、證明）；如果不是，請(qǐng)給出反例（只需畫(huà)圖說(shuō)明）.例8（04南寧26（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種(y zhn)花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點(diǎn)P，使得APBDPC且SAPD=SBPC，并說(shuō)出你的理由(lyu)。評(píng)析：本題是一個(gè)求解題，但確定P點(diǎn)的過(guò)程(guchng)，實(shí)際上是一個(gè)根據(jù)邏輯分析的過(guò)程，因而本題同樣考察了學(xué)生的邏輯推理能力。例9（04寧安25）寧安市

12、與哈爾濱市兩地相距360千米,甲車(chē)在寧安市,乙車(chē)在哈爾濱市,兩車(chē)同時(shí)出發(fā),相向而行,在A地相遇,為節(jié)約費(fèi)用（兩車(chē)相遇并換貨后,均需按原路返回出發(fā)地）,兩車(chē)換貨后,甲車(chē)立即按原路返回寧安市,設(shè)每車(chē)在行駛過(guò)程中速度保持不變,兩車(chē)間的距離（千米）與時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示,根據(jù)提供的信息,回答下列問(wèn)題：求甲、乙兩車(chē)的速度。評(píng)析：本題一改傳統(tǒng)行程問(wèn)題中要求學(xué)生列方程解應(yīng)用題的一貫形式，需要學(xué)生通過(guò)觀察出函數(shù)圖像中兩條直線斜率不同的情況（或者）推斷出換貨后乙車(chē)停止運(yùn)動(dòng)這一結(jié)論，然后進(jìn)行計(jì)算，考察學(xué)生的推理能力。圖7對(duì)于證明，既可以呈現(xiàn)一個(gè)完整的命題要求學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的證明（如例7），也可以更具開(kāi)放性

13、，給學(xué)生更多的空間和自主性，如可以要求學(xué)生通過(guò)觀察自主尋找結(jié)論并進(jìn)行證明（如例10、例11），也可以要求學(xué)生自己構(gòu)造符合條件的命題并進(jìn)行判別或證明（如例12）。例10 如圖7，AB=AC，D、E分別是線段AC、AB上的點(diǎn)，且AD=AE，BD交CE于F，試在圖中找出3對(duì)全等三角形和3個(gè)等腰三角形，并對(duì)其中一個(gè)結(jié)論給出證明。例11（04四地聯(lián)考19）如圖8，平行四邊形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分別為E、F。（1）寫(xiě)出圖中每一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形；（2）選擇（1）中的任意一對(duì)進(jìn)行證明。例12（04南寧21）如圖9，下面四個(gè)條件中，請(qǐng)你以其中兩個(gè)為已知條件，第三個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題（

14、只需寫(xiě)出一種情況）。 AE=AD，AB=AC，OB=OC，B=C 已知： 求證(qizhng)： 證明(zhngmng)：此外，還可以呈現(xiàn)一定的活動(dòng)(hu dng)過(guò)程，要求對(duì)活動(dòng)過(guò)程中的現(xiàn)象進(jìn)行解釋，或者對(duì)所得到的結(jié)論進(jìn)行證明。圖8圖9圖10例13 如圖10，D、E、F分別是ABC三邊的中點(diǎn)，線段DE、EF、FD將ABC分成4個(gè)小三角形，小明說(shuō)利用這個(gè)圖形可以證明三角形的內(nèi)角和定理，你估計(jì)他是怎么想的，試寫(xiě)出相應(yīng)的證明過(guò)程。圖11例14 小明說(shuō)，如圖，沿著三條虛線對(duì)折可以將三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角集中到D處，從而可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和定理。你知道圖中的E、F點(diǎn)是如何確定的，你能利用該圖證明三角

15、形內(nèi)角和定理嗎？試寫(xiě)出相應(yīng)得已知、求證與證明過(guò)程。例15 借助沒(méi)有刻度的直尺，小明按照下圖的順序作出了角A的平分線AB，請(qǐng)寫(xiě)出其作圖順序，并說(shuō)明他這樣做的道理。 圖 12 圖13當(dāng)然(dngrn)，由于課程標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)降低了幾何證明的難度要求，因此在命制有關(guān)試題時(shí)，應(yīng)注意控制試題的難度。3 借助對(duì)已有現(xiàn)象或推理(tul)過(guò)程的質(zhì)疑，考查學(xué)生的推理意識(shí)和評(píng)判質(zhì)疑能力質(zhì)疑是學(xué)生理性思考的重要表現(xiàn)，因此在學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)中可以呈現(xiàn)一些現(xiàn)象或者一些問(wèn)題的解決方案，要求學(xué)生對(duì)現(xiàn)象或者方案作出自己的評(píng)判，以考查學(xué)生評(píng)判質(zhì)疑能力。下面(xi mian)是幾個(gè)案例。例16 有人這樣證明三角形的內(nèi)角和是1800：圖14如

16、圖，D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，它們將三角形ABC分成了3個(gè)小的三角形。因此有：三個(gè)小三角形內(nèi)角和的和比ABC的內(nèi)角和多3600。如果設(shè)三角形的內(nèi)角和是x0，則有：x0+x0+x0=x0+3600，易解得x=180.你認(rèn)為這個(gè)證法正確嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。例17 （1）用一條直線可以將一個(gè)正方形分成兩個(gè)全等的部分，如下圖。將正方形分成兩個(gè)全等的圖形的直線還有很多，試在圖上另作出兩條以上這樣的直線。（2）將圓分成兩個(gè)全等圖形的直線有多少條，試在圖上作出幾條這樣的直線。圖15（3）將長(zhǎng)方形分成兩個(gè)全等圖形的直線又有多少條呢？他們有什么共同的特征呢？ （4）小明發(fā)現(xiàn)，上面的三個(gè)圖形都是軸對(duì)稱圖形，而且將它們分成全等的兩部分的直線都有兩條以上。因此，他認(rèn)為，對(duì)于平面的任何軸對(duì)稱圖形，都存在兩條以上的直線，可以將這個(gè)軸對(duì)稱圖形分成全等的兩個(gè)部分。你認(rèn)為他的觀點(diǎn)正確嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。例18 王老師讓同學(xué)計(jì)算：“當(dāng)a0.35，b-0.28時(shí)，求代數(shù)式的值”時(shí)，小明指出，題目中所給的條件“a0.35，b-0.28”是多余的。他的說(shuō)法有道理嗎？當(dāng)然，正