邊界約束的處理課件

1、2-7邊界約束的處理一、邊界約束由于總體剛度矩陣是一個奇異矩陣，在求得總剛矩陣和總體載荷列陣之后，還不能立即求解整體節(jié)點平衡方程組。從數(shù)學上講，此時的總剛矩陣無逆矩陣，方程組沒有確定的解。從其物理意義來說，是由于整個結(jié)構(gòu)未引入邊界約束，為一自由結(jié)構(gòu)，對于一個定常力系的作用，沒有定常的位移。因此，為進一步解得結(jié)構(gòu)位移，必須引入足夠的幾何邊界約束，以消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。對于同一結(jié)構(gòu)，在受相同載荷的條件下，由于不同的邊界約束，求得的結(jié)構(gòu)位移、應力等會大不相同。因此，引入正確的邊界條件是獲得較高精度解的前提。根據(jù)結(jié)構(gòu)的實際情況，離散出現(xiàn)的邊界約束大致可分為如下三種：.基礎剛性支承大多數(shù)結(jié)構(gòu)要支承在基礎

2、上。當基礎的剛性很大時，根據(jù)不同的支承類型，可以認為結(jié)構(gòu)和基礎相連的節(jié)點的一個或幾個方向的自由度受到了限制，即位移分量為零。如一簡支梁，可以認為其支承點處的一個或二個方向的位移分量為零。2.對稱結(jié)構(gòu)的對稱部分支承當結(jié)構(gòu)和外載荷均對稱于某些軸線時，為減少工作量或提高計算精度，可只計算結(jié)構(gòu)的1/2或1/4。此時，為保持原有結(jié)構(gòu)特性，要在對稱剖分面的節(jié)點上施加垂直于剖分面的剛性約束，以限制該方向的位移。如軋機機架。3.允許產(chǎn)生給定位移的支承由于結(jié)構(gòu)本身或安裝的需要，在支承和結(jié)構(gòu)之間存在給定的間隙，在結(jié)構(gòu)受到實際約束之前，此節(jié)點處允許產(chǎn)生該距離的位移。如高爐下降管的多余支承。從數(shù)學意義上來講，上述三種

3、支承（幾何約束）可以歸納為零位移約束和給定位移約束二種，而前者則又是后者的一個特例。二、邊界約束的處理根據(jù)邊界約束的類型及后續(xù)處理方法和要求的不同，邊界約束處理大致采用如下方法：1.劃行劃列法這種方法適用于預定邊界位移為零的約束條件。具體做法：在用矩陣表示的線性方程組中，劃去相應于己知為零的節(jié)點位移分量的行和歹U,以消除剛度位移。如圖2-13所不的單兀組合體，其邊界條件為5=U2=U4=V4=V5=V6=0,足以消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。處理時，則是將以上各為零位移分量相應的行與列劃掉，這樣，原來12階的線性方程組及其12X12階的總體剛度矩陣，就變成了6階的線性方程組及其6X6階的總體剛度矩陣，即

4、K11對1FK21K22稱V20K31K32K33u33t_J0K31K32K33K331V400K52K-53K53K55U5000K6r63K63K65K661%0JJ!這樣約束處理是必要的。因為總體剛度矩陣在約束處理前是一個奇異矩陣，而經(jīng)過約束處理劃掉某幾行和幾列后變?yōu)榉瞧娈惥仃嚕醇s束處理后的總體剛度矩陣的行列式不等于零。另外，如果不進行約束處理，那么包括在總體節(jié)點載荷列矩陣中的約束反力必須事先求出，作為已知節(jié)點載荷。然而，對于形狀較復雜一點的單元組合體，在高次超靜定情況下，約束反力很難求出。經(jīng)過約束處理后，在劃去總體節(jié)點位移列矩陣與總體剛度矩陣中相應于已知節(jié)點位移分量為零行與列的同時

5、，總體節(jié)點載荷列矩陣中未知的約束反力的行也都被劃掉。這樣一來，無論次數(shù)多高的超靜定問題，約束反力都不必事先求出。這種約束處理也是可行的。因為線性方程組是由各節(jié)點平衡方程建立起來的，而方程組的未知量就是節(jié)點位移分量，那么受約束的節(jié)點有一個或兩個位移分量已知為零，就不必再去求它，因此該節(jié)點的一個或兩個平衡方程就可不要，即可以把它們所在的行劃去；同時，在其它方程中，與已知零位移分量和相應的載荷分量，即相應剛度矩陣元素和此位移的乘積也為零，所以該列也可劃去。由此可見，劃行劃列的約束處理方法是完全可行的，并不影響計算結(jié)果。劃行劃列約束處理使總體剛度矩陣發(fā)生了兩個變化：總體剛度矩陣的階數(shù)下降。若單元組合體

6、有n個節(jié)點和r個約束，則總體剛度矩陣在約束處理前為2nx2n階，約束處理后變?yōu)?2n-r)(2n-r)階?？傮w剛度矩陣的奇異性發(fā)生變化。約束處理前是奇異矩陣；約束處理后變?yōu)榉瞧娈愋跃仃嚒６鴮傮w剛度矩陣的對稱性，稀疏性和帶形分布等特性并無影響。由于約束處理時在劃去某行的同時劃去同序號的列，所以總體剛度矩陣仍保持其對稱性；另外一般單元組合體的r/2n比值是很小的，所以約束處理后總體剛度矩陣仍保持稀疏性和帶形分布的特點。經(jīng)過約束處理后，所建立起來的線性方程組的個數(shù)與要求解的未知節(jié)點位移分量的個數(shù)都是2n-r個。特點：這種處理方法，由于舍棄了相應于已知位移分量為零的行與列各元素，這樣就改變了各方程及

7、元素的編排序號；另外，若是求出各節(jié)點位移8之后，需計算約束反力，則需重新計算相應行中各剛度矩陣元素。以上二點是利用此法在編寫程序時要注意的。2.戈IJ0置1法適用：這種方法適用于邊界節(jié)點位移分量為已知(含為0)的各種約束。做法：將總剛矩陣K中相應于已知位移行主對角線元素置1,其他元素改為零；同時將載荷列陣R中相應元素用已知位移置換。這樣，由該方程求得的此位移值一定等于已知量。將的中已知位移相應的列的非主對角成元素也置0,以保持K的對稱性。當然，在已知位移分量不為零的情況下，這樣做就改變了方程左端的數(shù)值，為保證方程成立，須在方程右端減去已知位移對該方程的貢獻一一已知位移和相應總剛元素的乘積。若約

8、束為零位移約束時，此步則可省去。舉例：為具體說明，現(xiàn)舉一具有四個方程(二個節(jié)點)的簡例。其節(jié)點平衡方程為設結(jié)構(gòu)在1點受到約束u1= P1, v1 = P2，則上式中R1x、R1y為未知的約束反力。利用劃0置1K11-K11K12K121MlPxK11KuK12K12!v1LR1y1K2TK21K22K22|U2R2xR-K21K22K221MJ岸y.的約束處理方法，上式變?yōu)?10001lrU1100100K2201K22IJv1|U2R2xP2、-K21P1-K2121.00K22K221MJ鼻y-K21*-K閭特點：經(jīng)以上處理同樣可以消除剛性位移(約束足夠白前提下)，去掉未知約束反力。但這種

9、方法不改變方程階數(shù)，利于存貯。不過，若是要求出約束反力，仍要重新計算各個劃去的總剛元素。3.乘大數(shù)法適用：這種方法同樣適用于邊界節(jié)點位移分量為已知(含為0)的各種約束。做法：20將整體剛度矩陣中與給定節(jié)點位移相應的主對角線元素乘上一個大數(shù)，如10；再將方程右端載荷列陣中的相應元素用己知位移和該大數(shù)及主對角線元素的乘積來置換。其余各項均保持不變。舉例：如上例用此法進行約束處理后，節(jié)點平衡方程組變成一20KttX10K11K2K12srrU1P1K1TM1020、K11父1020K12K12ifv1民人平。20K21K21K22K22iIu2R2xK2TK21K22K221卜2,、%,特點：使用此

10、一方法，只要大數(shù)選得足夠大，就可保證求得的位移有足夠的精度。由于在處理過程中，不失去總剛矩陣的任一行(歹U)及各個元素，便于進行程序處理及約束反力計算。小結(jié)：經(jīng)過約束處理，最終建立了系數(shù)矩陣正定的2n-r階(劃行劃列法)或是2n階(劃零置1法和乘大數(shù)法)方程組。三、后續(xù)工作下一步即求解此方程組，最終獲得2n-r個未知的位移分量。線性方程的解法有直接法和和迭代法兩大類：直接法的優(yōu)點是計算量比較小，所需機時短，其中常用的為消元法和矩陣分解法；迭代法具有算法簡單，易編制程序，可節(jié)省內(nèi)存等優(yōu)點，適用于求解大題目，但計算時間較長，這種方法要求方程組的系數(shù)矩陣在主對角線上占優(yōu)勢。四、總結(jié)前面各節(jié)，我們對平

11、面問題的三節(jié)點三角單元有限單元的位移法，進行了比較詳細的討論與分析，下面就將其概括歸納幾點如下：(1)基本原理。是把連續(xù)彈性體離散為有限個節(jié)點連接起來的單元組合體，代替原來的彈性體，然后通過彈性力學基本方程與虛功原理建立并求解以節(jié)點位移8為未知量的、以總體剛度矩陣K為系數(shù)的線性方程組。(2)解答特點是近似數(shù)值解。誤差主要反映在連續(xù)彈性體的離散化(包括單元位移函數(shù)的選取)上，但當單元尺寸逐步取小時，有限單元法解答將收斂于正確解答。(3)解題步驟。根據(jù)有限單元法基本原理和實際操作，概括地分為兩大步驟：一是連續(xù)彈性體的離散化，其中包括單元劃分，節(jié)點單元的編號，節(jié)點坐標位置，載荷移置和約束處理(邊界條件)等，這些工作都需算題人員在上計算機算題之前完成，所以也可稱為上機前的準備工作；二是根據(jù)基本原理建立與