趣解“雞兔同籠”

1、趣解“雞兔同籠”雞兔同籠問(wèn)題，是小學(xué)階段一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)模型。除了常規(guī)解法之外，我通過(guò)百度搜索歸納，提供另外幾種非常規(guī)的解法，希望達(dá)到拋磚引玉的效果。題目：“雞兔同籠，上有40個(gè)頭，下有100只足。雞兔各有多少只？” 一、強(qiáng)悍的“數(shù)腳法”這是一幫訓(xùn)練有素的雞和兔，它們能夠服從我們的一切命令然后，我們來(lái)下達(dá)命令請(qǐng)所有小動(dòng)物們抬起一只腳因?yàn)橛?0個(gè)頭，總共有40個(gè)小動(dòng)物，所以這樣一來(lái)地面上就減少了40只腳，還剩下60只腳然后，下達(dá)第二個(gè)命令請(qǐng)所有小動(dòng)物們?cè)偬鹨恢荒_好了現(xiàn)在再減去40只腳還剩20只現(xiàn)在雞們已經(jīng)坐在了地上【孩子們數(shù)腳的時(shí)候千萬(wàn)不要把PP也數(shù)進(jìn)去喲】，兔們都是兩腳著地因此還剩下的20

2、只腳就都是兔子腳202=15，因此有10只兔子35-10=30，因此有30只雞總結(jié)一下公式設(shè)有A個(gè)頭，B只腳兔子數(shù)=（B-2A）2雞數(shù)=A-兔子數(shù)二、列表法我們一個(gè)一個(gè)地試，把結(jié)果列成表格，最后得出只雞、只兔。頭/個(gè)雞/只兔/只腿/條401391582381563371544361523010100但一個(gè)一個(gè)地試，這樣太麻煩了，5個(gè)5個(gè)地試也行。頭/個(gè)雞/只兔/只腿/條4053515010301401525130202012025151103010100三、極端假設(shè)法（假設(shè)全是頭或全是足）解法1：假設(shè)40個(gè)頭都是雞，那么應(yīng)有足240=80（只），比實(shí)際少100-80=20（只）。這是把兔看作雞

3、的緣故。而把一只兔看成一只雞，足數(shù)就會(huì)少4-2=2（只）。因此兔有202=10（只），雞有40-10=30（只）。解法2：假設(shè)40個(gè)頭都是兔，那么應(yīng)有足440=160（只），比實(shí)際多160-100=60（只）。這是把雞看作兔的緣故。而把一只雞看成一只兔，足數(shù)就會(huì)多4-2=2（只）。因此雞有602=30（只），兔有40-30=10（只）。 “數(shù)學(xué)是思維的體操”，如果學(xué)生僅僅滿足于掌握了解這兩種解法，很容易思維僵化，非常不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。請(qǐng)大家看下面幾種解法。解法3：假設(shè)100只足都是雞足，那么應(yīng)有頭1002=50（個(gè)），比實(shí)際多50-40=10（個(gè)）。把兔足看作雞足，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會(huì)

4、擴(kuò)大42倍，即兔的只數(shù)增加（42-1）倍。因此兔有10（42-1）=10（只），雞有40-10=30（只）。解法4：假設(shè)100只足都是兔足，那么應(yīng)有頭1004=25（個(gè)），比實(shí)際少40-25=15（個(gè)）。把雞足看作兔足，雞的只數(shù)（頭數(shù)）就會(huì)縮小42倍，即雞的只數(shù)減少1-1（24）=1/2。因此雞有151/2=30（只），兔有40-30=10（只）。 四、任意假設(shè)法解法：假設(shè)40個(gè)頭中，雞有12個(gè)（0至40中的任意整數(shù)），則兔有40-12=28（個(gè)），那么它們一共有足212+428=136（只），比實(shí)際多136-100=36（只）。這說(shuō)明有一部分雞看作兔了，而把一只雞看成一只兔，足數(shù)就會(huì)多4-2

5、=2（只），因此把雞看成兔的只數(shù)是362=18（只）。那么雞實(shí)際有12+18=30（只），兔實(shí)際有28-18=10（只）。解法：假設(shè)100只足中，有雞足80只（0至100中的任意整數(shù)，最好是2的倍數(shù)），則兔足有100-80=20（只），那么它們一共有頭802+204=45（個(gè)），比實(shí)際多45-40=5（個(gè)）。這說(shuō)明把一部分兔足看作雞足了，而把兔足看成雞足，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會(huì)增加（42-1）倍。因此把兔看作雞的只數(shù)是5（42-1）=5（只），那么兔實(shí)際有204+5=10（只），雞實(shí)際有40-10=30（只）。通過(guò)比較第一類和第二類解法，我們不難看出：任意假設(shè)是極端假設(shè)的一種形式。五、除減法用腳

6、的總數(shù)除以2，也就是1002=50（只）。這里我們可以設(shè)想為，每只雞都是一只腳站著；而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著。這樣在50這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從50減去總頭數(shù)40，剩下的就是兔子頭數(shù)10只。有10只兔子當(dāng)然雞就有30只。這種解法其實(shí)就是孫子算經(jīng)中記載的：做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單！這也是文章前面這個(gè)數(shù)學(xué)段子中趣解的由來(lái)，我也課堂當(dāng)中也經(jīng)常喜歡給學(xué)生講解這種解法。六、盈虧法把總足數(shù)100看作標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。假設(shè)雞有25只，兔則有40-25=15（只），那么它們有足225+415=110（只），比標(biāo)準(zhǔn)數(shù)盈余110-100=10（只

7、）；再假設(shè)雞有32只，兔則有40-32=8（只），那么它們有足232+48=96（只），比標(biāo)準(zhǔn)數(shù)不足100-96=4（只）。根據(jù)盈不足術(shù)公式，可以求出雞的只數(shù)。即雞有（254+3210）（4+10）=30（只），兔則有40-30=10（只）。七、比例分配40個(gè)頭一共100只足，平均每個(gè)頭有足10040=2.5（只）。而一只雞比平均數(shù)少（2.5-2）只足，一只兔比平均數(shù)多（4-2.5）只足。根據(jù)平均問(wèn)題的“移多補(bǔ)少”思想：超出總數(shù)等于不足總數(shù)，故知：（2.5-2）雞的只數(shù)=（4-2.5）兔的只數(shù)。因此，雞的只數(shù)兔的只數(shù)=（4-2.5）：（2.5-2）=1.5：0.5=3：1按比例分配可以求出雞兔各有多少只。即雞有403/（3+1）=30（只），而兔則有401/（3+1）=10（只）。八、列方程設(shè)雞有x只，那么兔有（40-x）只。根據(jù)題意列方