北京市朝陽(yáng)區(qū)屆高三第二次統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題含答案

1、北京市朝陽(yáng)區(qū)2015-2016學(xué)年度高三年級(jí)第二學(xué)期統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)試卷（理工類） 20165（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1已知集合，則A B C D2復(fù)數(shù) SKIPIF 1 0 （為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限開(kāi)始輸出的值結(jié)束是否3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 A6 B10 C14 D154已知非零向量，“”是“”的A充分而不必要條件 B必要而不充分

2、條件C充要條件 D既不充分也不必要條件5同時(shí)具有性質(zhì):“最小正周期是； 圖象關(guān)于直線對(duì)稱； 在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)”的一個(gè)函數(shù)可以是A B C D6已知函數(shù)且的最大值為,則的取值范圍是 A B C D7某學(xué)校高三年級(jí)有兩個(gè)文科班，四個(gè)理科班，現(xiàn)每個(gè)班指定1人，對(duì)各班的衛(wèi)生進(jìn)行檢 查若每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數(shù)是 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D8已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是 A SKIPIF 1 0 B

3、 SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在答題卡上 9雙曲線的漸近線方程是 ；若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則 10如圖，為外一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，割線 與相交于兩點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)若，則的長(zhǎng)為_(kāi)；的值是 11已知等邊的邊長(zhǎng)為3，是邊上一點(diǎn)，若，則的值是_ 12已知關(guān)于的不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 13為了響應(yīng)政府推進(jìn)“菜籃子”工程建設(shè)的號(hào)召，某經(jīng)銷商投資60萬(wàn)元建了一個(gè)蔬菜生產(chǎn)基地.第一年支出各種費(fèi)用8萬(wàn)元，以

4、后每年支出的費(fèi)用比上一年多2萬(wàn)元.每年銷售蔬菜的收入為26萬(wàn)元.設(shè)表示前年的純利潤(rùn)（=前年的總收入前年的總費(fèi)用支出投資額），則 （用表示）；從第 年開(kāi)始盈利.14在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)，曲線上的動(dòng)點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)，構(gòu)成等腰直角三角形,且，則線段長(zhǎng)的最大值是 三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程15（本小題滿分13分）在中，角，的對(duì)邊分別是，已知， ()求的值； () 若角為銳角，求的值及的面積16（本小題滿分13分） 交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱，是綜合反映某區(qū)域道路網(wǎng)在某特定時(shí)段內(nèi)暢通或擁堵實(shí)際情況的概念性指數(shù)值交通指數(shù)范圍為，五個(gè)級(jí)別規(guī)定如下：交通

5、指數(shù)級(jí)別暢通基本暢通輕度擁堵中度擁堵嚴(yán)重?fù)矶履橙祟l率組距交通指數(shù)值0.250.100.050.1502468100.2013579在工作日上班出行每次經(jīng)過(guò)的路段都在同一個(gè)區(qū)域內(nèi)，他隨機(jī)記錄了上班的40個(gè)工作日早高峰時(shí)段(早晨7點(diǎn)至9點(diǎn))的交通指數(shù)(平均值)，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如直方圖所示（）據(jù)此估計(jì)此人260個(gè)工作日中早高峰 時(shí)段（早晨7點(diǎn)至9點(diǎn)）中度擁堵的 天數(shù)；（）若此人早晨上班路上所用時(shí)間近似為： 暢通時(shí)30分鐘，基本暢通時(shí)35分鐘， 輕度擁堵時(shí)40分鐘，中度擁堵時(shí)50 分鐘，嚴(yán)重?fù)矶聲r(shí)70分鐘，以直方圖 中各種路況的頻率作為每天遇到此種 路況的概率，求此人上班路上所用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望17（本小題

6、滿分14分） 如圖1，在等腰梯形中， 為中點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)將沿折起到的位置，使得平面平面（如圖2）（）求證：；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ECDBA圖1BFOCDA1E圖218 （本小題滿分13分）已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，若曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，試求的取值范圍19（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為（）求橢圓的離心率；（）若直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；（）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共

7、線 20（本小題滿分13分） 已知集合，且若存在非空集合，使得，且，并，都有，則稱集合具有性質(zhì)，（）稱為集合的子集（）當(dāng)時(shí)，試說(shuō)明集合具有性質(zhì)，并寫出相應(yīng)的子集；（）若集合具有性質(zhì)，集合是集合的一個(gè)子集，設(shè)，求證：，都有；（）求證：對(duì)任意正整數(shù)，集合具有性質(zhì)北京市朝陽(yáng)區(qū)2015-2016學(xué)年度第二學(xué)期高三年級(jí)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)答案（理工類） 20165一、選擇題：（滿分40分） 題號(hào)12345678答案ABBCDAD C二、填空題：（滿分30分）題號(hào)91011121314答案，16,（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（滿分80分）15（本小題滿分13分）解：() 因?yàn)?，?，

8、所以因?yàn)椋?由正弦定理，得6分() 由得 由余弦定理，得 解得或（舍負(fù)） 所以 13分解: （）由已知可得：上班的40個(gè)工作日中早高峰時(shí)段中度擁堵的頻率為0.25， 據(jù)此估計(jì)此人260個(gè)工作日早高峰時(shí)段（早晨7點(diǎn)至9點(diǎn)）中度擁堵的天數(shù)為 2600.25=65天. 5分（）由題意可知的可能取值為 且； ；所以 13分ECDBA圖117（本小題滿分14分）解：（）如圖1，在等腰梯形中，由，為中點(diǎn)，所以為等邊三角形如圖2,CBFODA1E因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，所以平面，所?分（）連結(jié)，由已知得，又為的中點(diǎn)， 圖2 所以A1xzXyzXzzXFOBCDEP由（）知平面，所以，

9、所以兩兩垂直以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)?，易知所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由 得 即 取，得設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為 9分（）假設(shè)在側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面 設(shè)，因?yàn)椋砸鬃C四邊形為菱形，且，又由（）可知，所以平面所以為平面的一個(gè)法向量由，得所以側(cè)棱上存在點(diǎn)，使得平面，且 14分18（本小題滿分13分）解：（）當(dāng)時(shí), ， 則，而 所以曲線在點(diǎn)(1,)處的切線方程為，即 4分（）依題意當(dāng)時(shí)，曲線上的點(diǎn)都在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立 設(shè)，所以（1）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，所以 依題意應(yīng)有解得所以（2）若 ，即時(shí)，當(dāng)，

10、為單調(diào)增函 數(shù)， 當(dāng)，為單調(diào)減函數(shù) 由于，所以不合題意 （3）當(dāng)，即時(shí)，注意到，顯然不合題意 綜上所述， 13分19（本小題滿分14分）解：（）依題意可知， 所以橢圓離心率為 3分（）因?yàn)橹本€與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，所以令，由得，則 令，由得，則 所以的面積 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 所以即，則 所以 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最小值為 9分（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線時(shí)，易得，此時(shí)， 因?yàn)椋匀c(diǎn)共線 同理，當(dāng)直線時(shí)，三點(diǎn)共線當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱， 所以整理得解得 所以點(diǎn) 又因?yàn)椋?且 所以所以點(diǎn)三點(diǎn)共線 綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線 14分20（本小題滿分13分）證明：（）當(dāng)時(shí)，令，,則, 且對(duì)，都有，所以具有性質(zhì)相應(yīng)的子集為， 3分（）若,由已知,又,所以所以 若,可設(shè)，,且， 此時(shí) 所以，且所以若, ,，則,所以又因?yàn)?，所以所以所以綜上，對(duì)于，都有 8分（）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）由（）