龍de船人++桿件的扭轉(zhuǎn)理論天

1、第三章桿件的扭轉(zhuǎn)理論13-1 直桿的扭轉(zhuǎn)基本概念（1）何謂直桿扭轉(zhuǎn)直桿在兩端受到作用于桿斷面的大小相等方向相反的力矩（扭矩）作用，則發(fā)生扭轉(zhuǎn)。（2）一般直桿扭轉(zhuǎn)變形的特點(diǎn)截面發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形截面有可能發(fā)生翹曲（3）直桿扭轉(zhuǎn)劃分2圓斷面桿的扭轉(zhuǎn)、非圓斷面桿的扭轉(zhuǎn) 薄壁桿件扭轉(zhuǎn) 開口、閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)（2）按桿件斷面形狀劃分為： （1）按翹曲變形是否受約束劃分： 自由扭轉(zhuǎn)與非自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）：非自由扭轉(zhuǎn)（約束扭轉(zhuǎn)）：如果一等斷面桿僅在兩端受到扭矩作用，并不受其他任何約束，桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)可以自由變形。翹曲一致。如果桿在受到扭矩作用后，由于支座或其他約束存在使它在扭轉(zhuǎn)時(shí)不能自由變形 。翹曲不一致3d

2、x式中 為扭矩， 為斷面半徑， 為斷面的“極慣性矩” 斷面最大剪應(yīng)力為：（3-1）設(shè) 為桿的扭角，則單位長(zhǎng)度的扭角 即扭矩為：（3-2）圓斷面桿的自由扭轉(zhuǎn)研究桿件的扭轉(zhuǎn)問題就是在給定的扭矩下求出桿件的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與變形（扭角）。滿足剛周邊假定條件。如下圖：最簡(jiǎn)單的等斷面圓桿 Mt Mtxl4如圖：內(nèi)徑為和外徑為 d=2r 和 D=2R的空心圓斷面 如圖可見斷面剪力分布極慣性矩為：式中 為薄壁管壁厚中心線的直徑； 為壁厚內(nèi)徑及外徑處的剪應(yīng)力分別為：對(duì)于薄壁桿件， r 與R相差不大，可近似認(rèn)為 與 差不多相等由此：式中 為薄壁管壁中心線所包圍的面積剪流為：Rr（3-3）（3-4）5非圓斷面的自由扭轉(zhuǎn)如

3、果桿件斷面不是圓形，則扭轉(zhuǎn)變形特征 有所不同，其主要差別在扭轉(zhuǎn)時(shí)段面不在保持 平面而發(fā)生“翹曲”(warping)翹曲問題與圓截面自由扭轉(zhuǎn)的最大區(qū)別： 在自由扭轉(zhuǎn)條件下，因桿扭轉(zhuǎn)不受阻礙，所以各段面 的翹曲都相同，因此桿件上平行于桿軸的直線在變形后長(zhǎng)度不變且仍為直線。但翹曲是自由的應(yīng)力分布不同6如圖：狹長(zhǎng)矩形斷面（矩形段面長(zhǎng)邊或高度h與短邊或高度t之比為大于5）的扭率： 稱為斷面的“扭轉(zhuǎn)慣性矩”變形斷面在長(zhǎng)邊周界中點(diǎn)的剪應(yīng)力最大，為： 狹長(zhǎng)矩形斷面的變形及應(yīng)力分布尺度比：應(yīng)力分布及最大剪應(yīng)力73-2 薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)(a) (e)(d)(c)(b)薄壁桿件的定義薄壁桿件的劃分：開口薄壁桿件閉

4、口薄壁桿件本章學(xué)習(xí)的目的：求解位移及應(yīng)力8開口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 一等斷面的開口薄壁桿件，在兩端的扭矩作用下就發(fā)生自由扭轉(zhuǎn)。在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，桿件斷面不能保持平面而發(fā)生翹曲。如圖（a）：工字形梁扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形情況。 可見梁的上下翼板相互轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度（即扭角），梁的斷面不再為平面，上下翼板向沿相反的方向發(fā)生翹曲。9 薄壁桿件在扭轉(zhuǎn)時(shí)斷面雖然發(fā)生翹曲，但在小變形情況下可以假定桿件扭轉(zhuǎn)后在其原來平面中的投影形狀與原斷面形狀相同，即 “剛周邊假定”。 (b)變形的基本假定條件剛周邊假定：假定條件對(duì)分析產(chǎn)生的影響： 在計(jì)算桿件斷面在其平面內(nèi)的扭轉(zhuǎn)位移時(shí)可把斷面當(dāng)作一剛體一樣發(fā)生平面運(yùn)動(dòng)，斷面在扭轉(zhuǎn)時(shí)各組成部

5、分的扭角相同。10，整個(gè)工字形斷面的扭矩滿足力的平衡條件截面的力平衡條件截面的變形條件工字形斷面在扭轉(zhuǎn)后的變形情況:11截面的力平衡條件式中：，；變形條件每個(gè)狹長(zhǎng)矩形承擔(dān)的扭矩提示: 截面中的扭矩分布特點(diǎn)：按抗扭抗剛度比進(jìn)行分配， 剛度較大的矩形，承受較大的扭矩。12截面的總扭轉(zhuǎn)慣性矩13推廣到一般（n個(gè)狹長(zhǎng)矩形）：考慮到實(shí)際中薄壁型鋼斷面的各組成部分在連接處通過圓角連成一體，因此剛度略為增加，所以慣性矩一般公式為：hi與ti分別為第個(gè)狹長(zhǎng)矩形斷面的長(zhǎng)邊與短邊的長(zhǎng)度，系數(shù) 與型鋼斷面形狀有關(guān) (3-9)14截面上的應(yīng)力分布：截面上最大應(yīng)力出現(xiàn)在厚度最大的矩形的長(zhǎng)邊中點(diǎn)處。右圖為工字形斷面在自由

6、扭轉(zhuǎn)時(shí)的 剪應(yīng)力分布情況其分布規(guī)律為：沿壁厚為線性分布，在壁厚中心線處為零。15 任意曲線形狀的開口薄壁斷面亦可以看作 是狹長(zhǎng)矩形斷面組合的結(jié)果（圖a），故其扭轉(zhuǎn)慣性矩亦可用公式（3-9）推廣得到：式中s為沿薄壁斷面中心線的坐標(biāo);s1為薄壁斷面的長(zhǎng)度。 開口薄壁斷面的扭轉(zhuǎn)慣性矩與壁厚的三次方成正比例,因此壁厚的大小對(duì)扭轉(zhuǎn)慣性矩的影響甚為顯著，即開口薄壁桿件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄壁增加，抗扭能力大大增加。：ts116桿件在扭轉(zhuǎn)時(shí)斷面中的剪應(yīng)力將沿著斷面形成剪應(yīng)力流。用 表示。因?yàn)楸诤窈苄?，故可認(rèn)為剪應(yīng)力沿壁厚不變， 閉口薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn) 其主要特征是：17如圖：一等斷面的閉口薄壁桿

7、件，兩端受到扭矩 M t作用而發(fā)生扭轉(zhuǎn)。X軸為型心軸。MtMt薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)，斷面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力與壁厚的乘積始終不變。 由平衡條件：dxxdsyzxo現(xiàn)桿件中取出 的一微塊（如圖），在微塊的斷面上有剪流 及剪力流等于常數(shù)18o桿件斷面中剪力流對(duì)斷面上任一點(diǎn)的力矩應(yīng)等于扭矩，現(xiàn)在把剪流對(duì)斷面與x軸的交點(diǎn)（左圖中O點(diǎn)）取矩，則有： 式中r為剪流f到O 點(diǎn)的垂直距離；rds為斷面上 ds長(zhǎng)度與O點(diǎn)之間所形成的三角形面積的兩倍； rds沿?cái)嗝嬷荛L(zhǎng)的積分則為斷面中心線所圍成的面積的兩倍，我們用2A表示之，即這就是閉口薄壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪流計(jì)算公式，稱為 布雷特（Bredt）公式。于是得 或rfd

8、sA(3-12)(3-13)19 以下用材料力學(xué)中的“單位力法”推導(dǎo)聯(lián)系扭角與剪應(yīng)力的“ 環(huán)流方程” 將兩端受扭矩作用的閉口薄壁桿件叫做第一狀態(tài)，如圖 （a） ；同樣這根桿兩端受單位扭矩作用時(shí)叫做第二狀態(tài)，如圖（b）。 dsdx 為了計(jì)算應(yīng)變能，在桿中考慮 的微塊，MtMt11lds(a)(b)于是第二狀態(tài)外力（單位扭矩）對(duì)第一狀態(tài)變形（扭角）的功則有應(yīng)變能為 :dx=第二狀態(tài)的內(nèi)力對(duì)第一狀態(tài)應(yīng)變的功即應(yīng)變能。20為第二狀態(tài)中的剪應(yīng)力 ; 為第一狀態(tài)桿中的剪切角所以：于是得：或此式為環(huán)流方程式。將（3-13）式代入后，即得閉口薄壁自由扭轉(zhuǎn)的扭率為：(3-14)21閉口薄壁自由扭轉(zhuǎn)的扭率為：閉口

9、薄壁自由扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力：環(huán)流方程式閉口薄壁斷面的扭轉(zhuǎn)慣性矩(3-15)(3-16)22對(duì)于寬為a ，高為b，厚度為t 的盒形薄壁斷面,由（3-16）式得：a(3-17)bt對(duì)于直徑為D1，壁厚為t的圓管，由（3-16）得23左邊ABCF為第 區(qū)，剪流為右邊CDEF為第 區(qū)，剪流為將其分為兩區(qū)：方向如圖，于是兩個(gè)區(qū)公共壁（即CF ）中的剪流為（方向向上）任取圖中 O點(diǎn)，建立力矩等于扭矩 Mt的方程式：左圖為雙閉室斷面。設(shè)此雙閉室斷面的薄壁桿件在扭矩Mt作用下發(fā)生自由扭轉(zhuǎn)，此時(shí)，斷面中每一段的剪流 常數(shù)的結(jié)論仍然成立。下面計(jì)算這個(gè)剪力流大小。 式中 為剪流到點(diǎn)O的垂直距離；積分號(hào)下面字母為積分的路線

10、。上式可改寫為：AFBCEDO24可得：(3-18)AFBCDOE25補(bǔ)充方程式： 變形的基本條件 扭率相等此方程有兩個(gè)未知數(shù)和，所以不能求解，為此列補(bǔ)充方程式。AFBCDOE26令 ， 可得：聯(lián)立方程（3-18）和（3-19），即可求出 ， 和扭率。式中 為CDEF段的壁厚同理對(duì)第 區(qū)有：式中 為FABC段的壁厚； 為CF 段的壁厚。 (3-19)27現(xiàn)具體計(jì)算 一簡(jiǎn)單的例子。如圖所示的等厚度雙閉室斷面，這時(shí)公式（3-18）將為： 或（3-20）公式（3-19）將為：或（3-21）公式（3-21）給出 ，代入（3-20）中，即得： taa/2a因而，斷面中面壁上的剪流為 。此桿扭率為：28這

11、個(gè)扭轉(zhuǎn)慣性矩與寬為2a，高為a，厚度為t的單閉室斷面得扭轉(zhuǎn)慣性矩相同，這是因?yàn)樗摰碾p閉室斷面的中間壁上沒有剪應(yīng)力，因此中間壁在扭轉(zhuǎn)中不起作用，所以其扭轉(zhuǎn)慣性矩就和上述的單閉室斷面一樣。此雙壁室斷面的扭轉(zhuǎn)慣性矩為：29薄壁桿斷面有兩個(gè)及兩個(gè)以上以上的閉口形成，求出自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的剪力流、扭率、斷面扭轉(zhuǎn)慣性矩1、建立斷面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式；2、建立各室扭率相同的方程式.3、聯(lián)立求解剪流 和扭率 。4、在最后得出了扭率之后，將扭率寫成的式子，式中 就是所論斷面的扭轉(zhuǎn)慣性矩。30A=BH-bd 由于在同樣的外形及壁厚情況下閉口斷面比開口斷面有更大的抗扭剛度，所以如果桿件斷面既有閉口

12、又有開口部分，則在計(jì)算扭轉(zhuǎn)慣性矩時(shí)?？梢圆挥?jì)開口部分的面積。單壁的集裝箱斷面,如圖（a）就是這種例子。為使弦側(cè)在扭轉(zhuǎn)中發(fā)揮作用，目前有將集裝箱船做成雙壁的，如圖（b）。bdBtbtstitetdH如圖（b），斷面成了多閉式的，其抗扭剛度提高很多。計(jì)算時(shí)可將其中的縱絎等略去而近似當(dāng)作一閉室來處理。(a)(b) 抗扭彎矩為：式中(3-22)313.1 計(jì)算圖示薄壁斷面的扭轉(zhuǎn)慣性矩（單位：mm）a）b）32333.2 設(shè)有兩根同樣長(zhǎng)度的直桿，兩端手扭矩發(fā)生自由扭轉(zhuǎn)，一桿為閉口斷面，另一桿為開口斷面，如下圖。一直a=40cm，t=2cm，此兩桿在相同的扭矩作用下扭角相差多少倍？343.3 比較正方形管與圓管截面的桿件（如下圖），若二者的壁厚及斷面面積均相同，在受到同樣大小的扭矩作用時(shí)，哪一個(gè)桿件的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力大，大多少倍？35aa