全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題答案

1、2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，那么的大小關(guān)系是 （ C ）A. B. C. D.2方程的整數(shù)解的組數(shù)為 （ B ）A3. B4. C5. D6.3已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點，CE1，連接AE，與CD交于點F，連接BF并延長與線段DE交于點G，則BG的長為 （ D ）A B C D4已知實數(shù)滿足，則的最小值為 （ B ）A. B0. C1. D.5若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)的所有可能的值之和為 （ B ）A0. B. C. D.6由1，2，3，4這四個數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求

2、滿足.這樣的四位數(shù)共有 （ C ）A36個. B40個. C44個. D48個.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知互不相等的實數(shù)滿足，則2使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個數(shù)為 1 3在ABC中，已知ABAC，A40，P為AB上一點，ACP20，則4已知實數(shù)滿足，則第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因為為整數(shù)，所以. 根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以，因為均為整數(shù)且，所以只可能是解得所以，直角三角形

3、的斜邊長，三角形的外接圓的面積為. 二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點D.證明：.證明：連接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 又由切割線定理可得，D、B、C、O四點共圓，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD，. 三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點，與軸交于點C，PA是ABC的外接圓的切線.設(shè)M，若AM/BC，求拋物線的解析式.解 易求得點P，點C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點D的坐標為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又AB的中點E

4、的坐標為，所以AE.因為PA為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 又因為AM/BC，所以，即. 把代入解得（另一解舍去）.因此，拋物線的解析式為. 第二試 （B）一（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為60，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因為為整數(shù)，所以. 根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以， 因為均為整數(shù)且，所以只可能是或解得或 當時，三角形的外接圓的面積為；當時，三

5、角形的外接圓的面積為. 二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點D，ADC的外接圓與BC的另一個交點為E.證明：BAEACB. 證明：連接OA，OB，OC，BD.OAAP，ADOP，由射影定理可得，.又由切割線定理可得，D、B、C、O四點共圓，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， ，. 又BDABDP90ODC90ADC，BDAADC， BADACD，AB是ADC的外接圓的切線，BAEACB.三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點，與軸交于點C，PA是ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移個單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點Q，且QBOOBC.求拋物線的解析式.解 拋物線的方程即，所以點P，點C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點P和點D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點D的坐標為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又AB的中點E的坐標為，所以AE. 因為PA為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 將拋物線向左平移個單位