例1變速直線運動速度

1、例1. 變速直線運動的速度物體作勻速直線運動時, 有這一速度其實是物體走完某一段路程的平均速度，平均速度記作V.由于勻速運動物體的速度是不變的，因此41導數(shù)的概念一、導數(shù)概念的引入 由于變速直線運動物體的速度 V(t) 是變的，因此，用這個公式算出的平均速度V不能真實反映物體在時刻 t0 的瞬時速度 V(t0).如何求V(t0)? 設一物體作變速直線運動，在0, t這段時間內所走路程為 S = S(t). 下求V(t0)如圖SS(t0)S(t0+t)0 設物體在 t0 時，所走路程為 S(t0)，在 t0+t 時所走路程為 S(t0+t)，從而，物體在 t0, t0+t 這段時間內所走路程為S

2、 =S (t0+t) S (t0)物體在 t0, t0+t 這段時間內的平均速度為 t越小，近似值就越接近精確值V(t0). 當t無限變小時，近似值就會無限接近也就是精確值V(t0).例2. 曲線的切線斜率圓的切線可定義為“與曲線(圓)只有一個交點的直線”，但對一般曲線而言. 這一定義是不合適的.如y=x2, x 軸和 y 軸與曲線都只有一個交點，以哪條直線作為切線呢？如圖y=x20 xy又如，y = x3, 如圖又比如，y=sinx, 如圖0 xy=x3y0 xyy=sinx11切線的一般定義：如圖設有曲線C及C上一點M，在M點外任取C上一點N，作割線MN，當點N沿曲線C趨向點M時，如果割線

3、MN趨向于它的極限位置MT，則稱直線MT為曲線C在點M處的切線.TMxy0NCN 下面討論曲線C：y = f (x), 在點M(x0, y0)處的切線斜率問題. 設N的坐標為 (x0+x, y0+y), 割線MN的傾角為, 切線MT的傾角為. 如圖Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0P割線 MN 的斜率當x0 時, N 沿 C 趨于M, MN MT.從而. 因此, tgtg.Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0PTy=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0所以切線MT的斜率：P定義：設 y=f (x)在x0 的某鄰域U(x0)內有定義. 如果

4、當x0時，的極限存在, 則稱這個極限值為f (x)在x0處的導數(shù)，記作f (x0), 即二、導數(shù)的定義存在，則稱f (x)在x0可導(或稱f (x)在 x0 的導數(shù)存在). 否則，稱f (x)在x0不可導(或稱 f (x)在 x0的導數(shù)不存在). 特別注1. 若若記x=x0+x, 當x0時, x x0, 特別，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有注2.導數(shù)定義還有其他等價形式,注3.對于例1, 有對于例2, 曲線y = f (x)在點 M(x0, f (x0) 處切線斜率注4.由于稱為 f (x)在x0的右導數(shù).稱為 f (x)在x0的左導數(shù).有, f (x) 在x0可導 f (x

5、)在x0的左, 右導數(shù)存在且相等.注5.若 y = f (x)在(a, b)內每點可導，則稱 f (x)在(a, b)內可導.此時，x(a, b)都有唯一確定的值f (x)與之對應，所以導數(shù)是x的函數(shù).稱為y=f (x)的導函數(shù),按定義， f (x)就是x所對應的導數(shù)值，這個式子就是導函數(shù)的表達式.而f (x0)就是f (x)在x= x0處的函數(shù)值，即另外，求注6. 用定義求導數(shù)一般可分三步進行.設y = f (x)在點x處可導(1) 求y=f (x+x) f (x)(2) 求比值(3) 求極限三、求導舉例例3. 求 y = C (常數(shù))的導數(shù).解：(1) y = f (x+x) f (x)

6、= C C = 0(2)(3)故(C ) = 0, 即常數(shù)的導數(shù)為0.例4. 設 y = f (x) = xn. n為正整數(shù)，求f (x). 解：(1) y = f (x+x) f (x)= (x+x)n xn(2)(3)即 (xn)= nx n1比如，(x)=1, (x2)=2x,(x3)=3x2,一般，對冪函數(shù)y=x, 為實數(shù)有 (x) = x1比如例5. 求y = sinx的導數(shù).解：(1) y = sin (x+x) sinx(2)(3)即(sinx) = cosx類似 (cosx) = sinx例6. 求y = ax的導數(shù)，其中a0, a1.解：從而即 (ax) = axlna特別，

7、取a = e, 則 (ex)= ex例7. 求y=logax 的導數(shù)，其中a0, a1, x0, 并求y|x=1.解：即特別，取a = e, 則從而由例2知, 函數(shù)y=f (x)在x0處的導數(shù) f (x0)就是曲線y = f (x)在點M(x0, f (x0)處切線的斜率，即 k = f (x0).法線方程為一般, 若f (x0)存在, 則y=f (x)在點M(x0, f (x0)處切線方程為四、導數(shù)的幾何意義特別，(i)當f (x0)=0時，即k = 0. 從而切線平行于x軸. 因此，法線垂直于x軸.如圖切線方程：y = f (x0).法線方程：x = x0.y=f (x)0 xyMf (x

8、0)x0(2) 當f (x0)=(不存在). 即k = tg =. 故從而切線垂直于x軸，而法線平行于x軸.切線方程： x = x0. 法線方程： y = f (x0).如圖,單位圓在(1, 0)處切線方程: x = 1.法線方程: y = 0.0 xy11又如圖由于在原點(0,0)處,xy0(不存在)從而切線方程: x=0, 法線方程: y = 0.例8. 求過點(2, 0)且與曲線y=ex相切的直線方程.解：由于點(2, 0)不在曲線y=ex上，故不能直接用公式 y f (x0) = f (x0)(x x0).由于(ex)=ex,因切線過點(2, 0), 代入, 得得x0 = 3.所求切線

9、為y e3 = e3(x3)定理. 若y=f (x)在 x0可導，則y=f (x)在 x0必連續(xù).證： 因f (x)在 x0可導，即五、可導與連續(xù)的關系由極限與無窮小量的關系，有或故 定理的逆命題不成立，即, 若y=f (x)在x0連續(xù)，y=f (x)在x0不一定可導.例. 討論f (x)=| x |在 x=0 處的可導性和連續(xù)性.解：由于故| x |在x=0連續(xù).但|x|在x=0不可導. 因f (x)=|x|= x, x0 x, x0,實數(shù))的導數(shù)解： y = e lnx例11. 求y = sinnxsinnx的導數(shù)，n為常數(shù).解：定理3.若x=(y)在某區(qū)間Iy內嚴格單調, 可導,(y)

10、0, 則它的反函數(shù)y=f (x)在對應區(qū)間Ix內也可導, 且證：由于x=(y)在Iy內嚴格單調、連續(xù). 從而它的反函數(shù)y=f (x)存在, 并在Ix內有相同的單調性, 同時, y=f (x)在Ix內連續(xù).即下證三、反函數(shù)求導法則xIx, 給改變量x0, 相應的函數(shù)y=f (x)有改變量由于 x = (y)和 y = f (x)互為反函數(shù)，即，即x也就是函數(shù)x=(y)的改變量.因y=f (x)連續(xù)，故當x0時，y0，且(y) 0例11. 證明證：y=arc sinx是x=siny的反函數(shù). x=siny在內單調，可導，且(siny)=cosy 0,所以在對應區(qū)間(1,1)內，有例12. 證明證：

11、y=arc tgx是x=tg y在上的反函數(shù)x=tg y在內單調，可導，且例13. 設解：=當 x 0且| x | a時當x a 時=P106 P107四、導數(shù)公式表說明：公式12(1) 當 x 0時，(2) 當 x 0時，綜合(1)、(2)有公式17因為類似得公式18例14. 解:例15. 設sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x求 f (x) 的導數(shù), 并指出 f (x)的不可導點.解:當 x 0時, f (x) = (sinx) = cosx.當 0 x ln3時, f (x) = (ex1) = ex. 當 ln3 x時, f (x) = (2x2) = 4x. f

12、(x) = 考慮分段點 x = 0, ln3處的導數(shù).= 1 (當x 0時, f (x) = sinx)= 1 (當 0 x ln3時, f (x) = ex1)由于 f (0) = f +(0) = 1, 故 f (0) = 1.由于當 0 x ln3時, f (x) = ex1. 當 ln3 x時, f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2. 從而所以 f (x) = ln3 處不可導.綜合, f (x) =cosx,x01,x=0ex,0 x ln34x,ln3 0在 (, +)內可導.解:由于可導必連續(xù), 故要使 f (x) 可導, 必先使 f (x)連續(xù).

13、由于 f (0) = 3故 a = 2, b = 3時, f (x)在 (, +)可導.得 b = 3.f (x) = 以前所接觸到的函數(shù)通常是y=f (x)的形式, 即左邊是y ,而右邊是一個不含y的表達式.如我們稱為顯函數(shù)根據(jù)函數(shù)的概念，一個函數(shù)也可以不以顯函數(shù)的形式出現(xiàn).五、隱函數(shù)求導法則比如，給二元方程 y3+2x21=0任給一個x，都可根據(jù)上面的方程，解出唯一的一個y來即，任給一個x都有唯一的一個y與之對應，因此, y是x的函數(shù).稱y為由方程y3+2x21=0所確定的隱函數(shù).定義：設有二元方程F(x, y)=0，如果對任意的 xIx , 存在唯一的y滿足方程F(x, y)=0, 則稱方程F(x, y)=0在Ix上確定了一個隱函數(shù)y = y(x).有些隱函數(shù)很容易表成顯函數(shù)的形式.如，由y3+2x21=0，解得把一個隱函數(shù)化為顯函數(shù)的形式，稱為隱函數(shù)的顯化.有些隱函數(shù)不一定能顯化或者很難顯化.如 yx siny=0 (0 0, x 0兩邊對x求導, 注意到y(tǒng)是x的函數(shù), 從而lny是x的復合對數(shù).從而解(二)：由于對y=f (x)兩端取對數(shù)時要求y 0. 這限制了對數(shù)求導法的應用范圍. 應想辦