2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)平面向量2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)案新人教A版

1、23.4平面向量共線的坐標(biāo)表示預(yù)習(xí)課本P98100，思考并完成以下問題如何利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示兩個(gè)向量共線？新知初探平面向量共線的坐標(biāo)表示前提條件結(jié)論a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、b(b0)共線x2y22273xy點(diǎn)睛(1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成11(x20，y20)，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，ab，此時(shí)x1y2x2y10也成立，即對(duì)任意向量a，b都有：x1y2x2y10ab.小試身手1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，若ab

2、，則必有x1y2x2y1.()(2)向量(2,3)與向量(4，6)反向()答案：(1)(2)2若向量a(1,2)，b(2,3)，則與ab共線的向量可以是()A(2,1)B(1,2)C(6,10)D(6,10)答案：C3已知a(1,2)，b(x,4)，若ab，則x等于()11AB.C2D2答案：D4已知向量a(2,3)，ba，向量b的起點(diǎn)為A(1,2)，終點(diǎn)B在x軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_答案：，0231)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0，解得.向量共線的判定典例(1)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，則的值等于()11A.B.C1D2(2)

3、已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判斷AB與CD是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解析(1)法一：a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，12法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a2b)(2a2b)可得a2b(2a2b)，從而12，22，方程組顯然無解，即a2b與2a2b不共線，這與(a2b)(2a2b)矛盾，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以，即.解得k，此時(shí)kabab(a3b)，故kab與a3b反向k時(shí)，kab與a3b平行且方向相反12112答案A(2)解AB(0,4)(2,1)(2,3)，CD(5，3)(1,3)(4，6)，(2)

4、(6)340，AB，CD共線又CD2AB，AB，CD方向相反綜上，AB與CD共線且方向相反向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2x2y10直接求解活學(xué)活用已知a(1,2)，b(3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們的方向相同還是相反？解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，若kab與a3b平行，則4(k3)10(2k2)0，11133313ACAB，即AB與AC共線三點(diǎn)共線問題典例(1)已知OA(3,4)，OB(7,12)，OC(9,16)，求證：A，B，C三點(diǎn)

5、共線；(2)設(shè)向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線？解(1)證明：ABOBOA(4,8)，ACOCOA(6,12)，32又AB與AC有公共點(diǎn)A，A，B，C三點(diǎn)共線(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則AB，AC共線，ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略(1)要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，一般是看AB與BC，或AB與AC，或AC與BC是否共線，若共線，則A，B，C三點(diǎn)共線；(2)使用A，B，C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時(shí)，利用ACBC，或ABBC，或

6、ABAC都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式活學(xué)活用設(shè)點(diǎn)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當(dāng)x為何值時(shí)，AB與CD共線且方向相同，此時(shí)，A，B，C，D能否在同一條直線上？解：AB(2x,2)(x,1)(x,1)，BC(1,2x)(2x,2)(12x,2x2)，CD(5,3x)(1,2x)(4，x)由AB與CD共線，所以x214，所以x2.又AB與CD方向相同，所以x2.此時(shí)，AB(2,1)，BC(3,2)，而2231，所以AB與BC不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上所以A，B，C，D不在同一條直線上向量共線在幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)一：兩直線平行判斷1.如圖所

7、示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，過點(diǎn)C作CEAB于E，用向量的方法證明：DEBC；證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|AD|1，則|DC|1，|AB|2.CEAB，而ADDC，四邊形AECD為正方形，可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)ED(1,1)(0,0)(1,1)，BC(0,1)(1,0)(1,1)，EDBC，EDBC，即DEBC.題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷2已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形證明：由已知得，AB(

8、4,3)(1,0)(3,3)，CD(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，AB與CD共線AD(1,2)，BC(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，AD與BC不共線四邊形ABCD是梯形BC(2,1)，AD(1,2)，|BC|5|AD|，即BCAD.故四邊形ABCD是等腰梯形題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)3.如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交點(diǎn)解得t.OP(3,3)P的坐標(biāo)解：法一：設(shè)OPtOBt(4,4)(4t,4t)，則APOPOA(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，ACOCOA(2,6)(4,0)(2,6)由AP，AC共線的條件知(4t

9、4)64t(2)0，34P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)法二：設(shè)P(x，y)，則OP(x，y)，OB(4,4)OP，OB共線，4x4y0.又CP(x2，y6)，CA(2，6)，且向量CP，CA共線，6(x2)2(6y)0.解組成的方程組，得x3，y3，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2，13241解析：選BA中向量e1為零向量，e1e2；C中e12e2，e1e2；D中e14e2，e

10、1e2，故選B.2已知點(diǎn)A(1,1)，B(4,2)和向量a(2，)，若aAB，則實(shí)數(shù)的值為()32AB.322C.233DaAB，2130，解得，故選C.解析：選C根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AB(3,1)，233已知A(2，1)，B(3,1)，則與AB平行且方向相反的向量a是()A(2,1)C(1,2)B(6，3)D(4，8)解析：選DAB(1,2)，向量(2,1)、(6，3)、(1,2)與(1,2)不平行；(4，8)與(1,2)平行且方向相反4已知向量a(x,2)，b(3，1)，若(ab)(a2b)，則實(shí)數(shù)x的值為()A3C4B2D6315設(shè)a，tan，bcos，且ab，則銳角為()解析：選

11、D因?yàn)?ab)(a2b)，ab(x3,1)，a2b(x6,4)，所以4(x3)(x6)0，解得x6.23A30C45B60D75tancos0，即sin，30.解析：選Aab，3123126已知向量a(3x1,4)與b(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為_解析：向量a(3x1,4)與b(1,2)共線，2(3x1)410，解得x1.9已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且AEAC，BF答案：17已知A(1,4)，B(x，2)，若C(3,3)在直線AB上，則x_.解析：AB(x1，6)，AC(4，1)，ABAC，(x1)240，x23.答案：238已知向量a(1,2)，b(2

12、,3)，若ab與ab共線，則與的關(guān)系是_解析：a(1,2)，b(2,3)，ab(1,2)(2,3)(1,5)，ab(1,2)(2,3)(2，23)，又(ab)(ab)，1(23)5(2)0，.答案：13AEAC，(x11，y1)(2,2)312點(diǎn)E的坐標(biāo)為，.782同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為，0，EF，.82又(1)40，EFAB.13BC，求證：EFAB.證明：設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，依題意有AC(2,2)，BC(2,3)，AB(4，1)113333333310已知向量a(2,1)，b(1,1)，c(5,2)，mbc(為常數(shù))(1)求ab；(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)的值解：

13、(1)因?yàn)閍(2,1)，b(1,1)，所以ab(2,1)(1,1)(3,2)(2)因?yàn)閎(1,1)，c(5,2)，所以mbc(1,1)(5,2)(5，2)又因?yàn)閍(2,1)，且a與m平行，所以2(2)5，解得1.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，則向量ab()A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線解析：選C因?yàn)閍b(0,1x2)，所以ab平行于y軸2若A(3，6)，B(5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y()A13C9B13D9解析：選DA，B，C三點(diǎn)共線，ABAC，而AB(8,8)，AC(3，y6)，8(y6)830，

14、即y9.3已知向量a(1,0)，b(0,1)，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向解析：選Da(1,0)，b(0,1)，若k1，則cab(1,1)，dab(1，1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k1，則cab(1,1)，dab(1,1)，即cd且c與d反向4已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(3,0)，(1，5)，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(1,5)或(5,5)B(1,5)或(3，5)C(5，5)或(3，5)D(1,5)或(5，5)或(3，5)解析：選D設(shè)A(1,0)，B(3,0)，C(1，5)，

15、第四個(gè)頂點(diǎn)為D，若這個(gè)平行四邊形為ABCD，則ABDC，D(3，5)；若這個(gè)平行四邊形為ACDB，則ACBD，D(5，5)；若這個(gè)平行四邊形為ACBD，則ACDB，D(1,5)3(1m)2m，即m.答案：m綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5，5)或(3，5)5已知AB(6,1)，BC(x，y)，CD(2，3)，BCDA，則x2y的值為_解析：ADABBCCD(6,1)(x，y)(2，3)(x4，y2)，DAAD(x4，y2)(x4，y2)BCDA，x(y2)(x4)y0，即x2y0.答案：06已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，3m)若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為_解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即AB與AC不共線ABOBOA(3,1)，ACOCOA(2m,1m)，12127已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系；(2)若AC2AB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，則AB與AC共線AB(3，1)(1,1)(2，2)，AC(a1，b1)，2(b1)(2)(a