數(shù)學(xué)建模-穩(wěn)定性問(wèn)題

1、穩(wěn)定性問(wèn)題 在研究許多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的開(kāi)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么方法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問(wèn)題。要解決這類問(wèn)題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下面，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題。 一般的微分方程或微分方程組可以寫(xiě)成：定義 稱微分方程或微分方程組 為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。（3.28） 假設(shè)方程或方程組f(x)=0有解Xo，X=Xo顯然滿足。稱點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組3.28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。 例 Logistic模型

2、共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：N=0和N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為No=0時(shí)的解而后者為No=K時(shí)的解。 當(dāng)NoK時(shí)，那么位于N=K的上方。從圖3中不難看出，假設(shè)No0，積分曲線在N軸上的投影曲線稱為軌線將趨于K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。 定義1 自治系統(tǒng) 的相空間是指以（x1,xn）為坐標(biāo) 的空間Rn。 特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面?？臻gRn的點(diǎn)集(x1,xn)|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,n稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。 定義2 設(shè)x0是的平衡點(diǎn)，稱： 1x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的0，存在一個(gè)0，只要|x(0)- x0|，就

3、有|x(t)- x0|對(duì)所有的t都成立。 （2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且 。 微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過(guò)解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。 3x0是不穩(wěn)定的，如果1不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0那么是不穩(wěn)定的。 解析方法定理1 設(shè)xo是微分方程 的平衡點(diǎn)：若 ,則xo是漸近穩(wěn)定的若 ,則xo是漸近不穩(wěn)定的證 由泰勒公式，當(dāng)x與xo充分接近時(shí)，有： 由于xo是平衡點(diǎn)，故f(xo)=0。若 ，則當(dāng)x0，從而x單增；當(dāng)xxo時(shí)，又有f(x)0，可能出現(xiàn)以下情形： 若q0，120。 當(dāng)p0時(shí)，零點(diǎn)不穩(wěn)定

4、； 當(dāng)p0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定 若q0，120時(shí)，零點(diǎn)不 穩(wěn)定 當(dāng)p0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定（2） 0，零點(diǎn)穩(wěn)定若a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解 綜上所述：僅當(dāng)p0時(shí)， 零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng)p=0且q0時(shí)有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心非漸近穩(wěn)定；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。 非線性方程組平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:定理2 假設(shè)的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，那么的平衡點(diǎn) 也是漸近穩(wěn)定的；假設(shè)的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，那么 的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。 高維幾乎線性微分方程組的穩(wěn)定性 關(guān)于本節(jié)前邊所討論的按線性近似決定平面幾乎線性近似系統(tǒng)的奇點(diǎn)的理論可以推廣到高維情況。但是高維系統(tǒng)相空間中軌線的相圖更加復(fù)雜，而實(shí)際問(wèn)題往往更關(guān)

5、心是解的穩(wěn)定性，所以下邊我們將主要討論按線性近似決定高階微分方程組零解的穩(wěn)定性問(wèn)題。階常系數(shù)線性微分方程組為此先討論階線性方程組零解的穩(wěn)定性。(5.4.27)的任一解均可表示為形如 的線性組合，這里 為系數(shù)矩陣 的特征方程的根 為 階單位陣， 為 的多項(xiàng)式，其次數(shù)低于 所對(duì)應(yīng)的初等因子的次數(shù)，由線性方程組解的理論可以得出如下定理。定理 系統(tǒng)(5.4.27)的系數(shù)矩陣 的特征為 那么(1) 假設(shè) 均具有負(fù)實(shí)部，那么系統(tǒng)(5.4.27)的 零解是漸近穩(wěn)定的；(2) 假設(shè) 中至少有一個(gè)具有正實(shí)部，那么系統(tǒng) (5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的；(3) 假設(shè) 中沒(méi)有正實(shí)部的根，但是有零根或零實(shí)部的純虛根，

6、那么當(dāng)零根或零實(shí)部根的初等因子都是一次時(shí)(5.4.27)的零解是穩(wěn)定的。當(dāng)零根或零實(shí)部的根中至少有一個(gè)的初等因子大于1時(shí)系統(tǒng) (5.4.27)的零解是不穩(wěn)定的。特征方程的不容易求得，無(wú)法判斷其正負(fù)例 研究方程組(5.4.28)零解的穩(wěn)定性。解 方程組的系數(shù)矩陣為特征方程為 Routh-Hurwitz 判據(jù)定理 對(duì)一元 次常系數(shù)代數(shù)方程其中 ，做行列式式中，當(dāng) 時(shí) ，那么(5.4.30)的所有根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是 的一切主子式都大于零，即下邊不等式同時(shí)成立： 對(duì)于上邊例子中方程 (5.4.29) ， ，故(5.4.29)的根均具有負(fù)實(shí)部，因此方程組(5.4.28)的零解是漸近穩(wěn)定的。定義同

7、 (5.4.27) ，下面考慮非線性微分方程組(5.4.31) 其中且滿足 及 。這時(shí)(5.4.31)也稱為幾乎線性系統(tǒng)，且 是其解。定理 假設(shè) 的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部，那么(5.4.31)的 零解是漸近穩(wěn)定的。假設(shè) 的特征根中至少有一個(gè)具 有正實(shí)部，那么系統(tǒng)(5.4.31)的零解是不穩(wěn)定的。例 討論非線性方程組的零解的穩(wěn)定性。解 原方程組在原點(diǎn)處 的線性近似方程組 的系數(shù)矩陣為容易求出它的 3 個(gè)特征根為有一個(gè)正實(shí)根，而非線性項(xiàng) 滿足(5.4.32)，因此由定理 5.4 知系統(tǒng) (5.4.33) 的零解是不穩(wěn)定的。說(shuō)明：(1) 由定理得到的常系數(shù)的線性方程組的穩(wěn)定性是大范圍的，而由定理得到的非線性方程組的穩(wěn)定性是小范圍的。(2) 當(dāng)系統(tǒng)(5.4.31)的線性近似系統(tǒng)(5.4.27)的系數(shù)矩陣 的特征根均具有非正實(shí)部，但至少有一個(gè)零實(shí)部的根或零根，這時(shí)非線性系統(tǒng)(5.4.31)的穩(wěn)定性態(tài)并不能由其線性近似系統(tǒng)來(lái)決定，這種情況我們稱之為臨界情形