2022年河北省邢臺(tái)市橋東區(qū)邢臺(tái)高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知復(fù)數(shù)，其中，是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD2設(shè)集合，若，則（ ）ABCD3在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD4拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=10m1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線C1,C2的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上，F(xiàn)PQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線C2的離心率為（ ）A2+1B22+3C210-3D210+35已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊

3、過點(diǎn)，則的值為（ ）ABCD6設(shè)集合，若，則的取值范圍是（ ）ABCD7已知為圓的一條直徑，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為（ ）ABCD8已知，滿足約束條件，則的最大值為ABCD9已知，那么是的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（ ）ABCD11函數(shù)（且）的圖象可能為（ ）ABCD12若sin(+32)=33，則cos2=（ ）A-12B-13C13D12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為_.14已知實(shí)數(shù)、滿足，且可行域表示的區(qū)域?yàn)槿切?，則實(shí)數(shù)的取

4、值范圍為_，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1，則實(shí)數(shù)等于_.15設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn), ,若點(diǎn)B(x,y)滿足，則的最大值是_16已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為（）.（1）求拋物線C的極坐標(biāo)方程；（2）若拋物線C與直線l交于A，B兩點(diǎn)，求的值.18（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，（）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（）當(dāng)時(shí)，且集合滿足下列條件：對(duì)任意，；證明：（）若，則（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（）為一個(gè)定值

5、（不必求出此定值）；（）設(shè)，其中，若，則19（12分）如圖，平面四邊形中，是上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20（12分）已知定點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線。（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值，若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。21（12分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列bn滿足：a1=b1=1,bnN*,a2+a4+a9=3b3,3ab3=b5-30.(I)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列n2anan+1的前n

6、項(xiàng)和Sn.22（10分）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.2A【解析】根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.3B【解析】依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)恒過，再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目

7、標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系，即可求解【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不等式表示直線及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題4A【解析】先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線

8、與x軸交點(diǎn)F(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y) FPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF=PQ，結(jié)合P點(diǎn)在拋物線上，所以PQ拋物線的準(zhǔn)線，從而PFx軸，所以P1,2，2a=PF-PF=22-2 即a=2-1.故雙曲線的離心率為e=12-1=2+1.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5B【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】角的終邊過點(diǎn)，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，和差公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6C【解析】由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取

9、值范圍.【詳解】，且，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7D【解析】首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題.8D【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影

10、部分所示，等價(jià)于，作直線，向上平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)最大，所以，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法9B【解析】由，可得，解出即可判斷出結(jié)論【詳解】解：因?yàn)椋?，解得是的必要不充分條件故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10D【解析】連接，因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方

11、體的棱長(zhǎng)為2，則，在等腰中，取的中點(diǎn)為，連接，則，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.11D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.12B【解析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)閟in+32=33，由誘導(dǎo)公式得cos=-33，所以cos2=2cos2-1=-13 .故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

12、。1360【解析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為：，取，則的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14 【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖，則要為三角形需滿足在直線下方，即，；目標(biāo)函數(shù)可視為，則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，該直線截距最大在過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，直線：，與：的交點(diǎn)為，該點(diǎn)也在直線：上，故，故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法，屬于基

13、礎(chǔ)題.15【解析】 ,可行域如圖，直線 與圓 相切時(shí)取最大值，由 16【解析】先畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系，平移直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，且.故答案為：-8【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）【解析】(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，,即可求得結(jié)果.(2) 由的幾何意義得,. 將代入拋物線

14、C的方程,利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，代入得，所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入拋物線C的方程得，所以，所以，由的幾何意義得，.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,難度一般.18（）；（）（）詳見解析（）詳見解析.（）詳見解析.【解析】（）當(dāng)，時(shí)，即可得出（）（i）當(dāng)時(shí)，2，3，又，必然有，否則得出矛盾（ii）由可得又，即可得出為定值（iii）由設(shè)，其中，2，可得，通過求和即可證明結(jié)論【詳解】（）解：當(dāng)，時(shí)，（）證明：（i）當(dāng)時(shí)，2，3，又，必然有，否則，而，與已知對(duì)任意，矛盾因此有（ii）

15、，為定值（iii）由設(shè)，其中，2，【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題19（1）見解析；（2）【解析】（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點(diǎn)，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，而平面平面，所以點(diǎn)在平面的投影恰好為的中點(diǎn)，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因?yàn)?所以在中，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點(diǎn)，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面

16、平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為. 解法二：在中，取中點(diǎn)，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.20 (1) ；(2) 存在定點(diǎn)，見解析【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，利用，求出曲線的方程（2）由已知直線

17、過點(diǎn)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)，利用韋達(dá)定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程，推出結(jié)果【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，即，化簡(jiǎn)得：。由已知，故曲線的方程為。（2）由已知直線過點(diǎn)，設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)，則又直線與斜率分別為，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以存在定點(diǎn)，使得直線與斜率之積為定值?！军c(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題21 (I) an=2n-1，bn=3n-1；(II)n2+n22n+1【解析】(I)直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.(II) n2anan+1=14+1812n-1-12n+1，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到答案.【詳解】(I) a1=b1=1,a2+a4+a9=3b3,3ab3=b5-30，故3+12d=3q231+q2-1d=q4-30，解得d=2q=3，故an=2n-1，bn=3n-1.(II)n2anan+1=n22n-12n+1=n24n2-1=14+1412n-12n+1=14+1812n-1-12n+1，故Sn=n4+181-12n+1=n2+n22n+1.【點(diǎn)睛】本題