2022年黑龍江省哈爾濱市呼蘭區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（ ）ABCD2執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為5，則的取值范圍是（ ）. ABC

2、D3已知集合，則( )ABCD42019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為A96B84C120D3605已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對稱中心的充要條件是( )ABCD6已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（ ）ABCD7已知平面向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）ABCD8已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD9某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（ ）ABCD10

3、將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）ABCD11如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（ ）ABCD12如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，記和的面積分別為，則_.14在中，、的坐標(biāo)分別為，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍為_.15曲線ye5x2在點(diǎn)(0，3)處的切線方程為_16已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)為，為雙曲線C上一點(diǎn)，且，若線段與雙曲線C交于另一點(diǎn)A，則的面積為_.三

4、、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（）（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，對于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.18（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實(shí)數(shù)解、（），求證：.19（12分）已知拋物線和圓，傾斜角為45的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與圓相切（1）求的值；（2）動點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，動點(diǎn)在上，若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)求證點(diǎn)在定直線上，并求該定直線的方程20（12分）如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，平面平面，為中點(diǎn).（1）求證：平面

5、；（2）若，求二面角的余弦值大小.21（12分）已知點(diǎn)，且，滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由22（10分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面. （1）求證: 是的中點(diǎn)；（2）在上是否存在點(diǎn)，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)

6、睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】框圖的功能是求等比數(shù)列的和，直到和不滿足給定的值時(shí)，退出循環(huán)，輸出n.【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；此時(shí)滿足輸出結(jié)果，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，建議數(shù)據(jù)比較小時(shí)，可以一步一步的書寫，防止錯誤，是一道容易題.3A【解析】求得集合中函數(shù)的值域，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4B【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共個，其中含有

7、2個10的排列數(shù)共個，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為.故選B5A【解析】由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又 ，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】由題意可知，由可得出，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出，由此可得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】，由于，則，同理可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢愠闪?，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)

8、單調(diào)遞減.所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.7C【解析】根據(jù)， 兩邊平方，化簡得，再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄浚瑵M足，且， 所以，所以，所以 ，所以，所以與的夾角為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8B【解析】先求出直線l的方程為y（xc），與yx聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率【詳解】雙曲線1（ab0）的漸近線方程為yx，直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，kl，直線l的方程為y（xc），與yx聯(lián)立，可

9、得y或y，2，ab，c2b，e故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題9B【解析】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題10D【解析】利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)

10、的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題11C【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，PABC，正方體的棱長為2，該幾何體的表面積：故選C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵12A【解析】根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，高為.該幾何體的體積為故選：A.【

11、點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對稱，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸

12、填空題.14【解析】由正弦定理可得點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，將代入可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解：由正弦定理得，則點(diǎn)在曲線上，設(shè)，則，又，因?yàn)?，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，有一定的綜合性，但難度不大.15.【解析】先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再寫出切線方程.【詳解】因?yàn)閥5e5x，所以切線的斜率k5e05，所以切線方程是：y35(x0)，即y5x3.故答案為y5x3.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率

13、，相應(yīng)的切線方程是16【解析】由已知得即，,可解得,由在雙曲線C上,代入即可求得雙曲線方程,然后求得直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)A坐標(biāo),借助,即可解得所求.【詳解】由已知得，又，所以，解得或，由在雙曲線C上，所以或，所以或（舍去），因此雙曲線C的方程為.又，所以線段的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立消去x整理得，所以，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線方程的求解,考查求三角形面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）極小值為，極大值為.（2）【解析】（1）根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù)，再對

14、函數(shù)求導(dǎo)，即可求得函數(shù)的極值；（2）根據(jù)題意，對目標(biāo)式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)是單調(diào)減函數(shù)，分離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，可知，解得，可知在，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，可知函數(shù)的極小值為，極大值為.（2）可以變形為，可得，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，設(shè)，可知函數(shù)在單調(diào)遞減，可知，可知參數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值，以及對具體函數(shù)極值的求解，涉及構(gòu)造函數(shù)法，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域；第二問的難點(diǎn)在于對目標(biāo)式的變形，屬綜合性中檔題.18（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】（1

15、）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令得，解得，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）依題意得，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增若方程有三個實(shí)數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則在上單調(diào)遞增，即，其中，在上單調(diào)遞減，即設(shè)，在上單調(diào)遞增，即，其中，在上單調(diào)遞增，即.法二：直接證明法，在上單調(diào)遞增，要證，即證設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即（注意：若沒有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）

16、且時(shí)，（需要證明），其中（2），即，則【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到證明不等式的目的.19（1）；（2）點(diǎn)在定直線上【解析】（1）設(shè)出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；（2）設(shè)出，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，求得為切點(diǎn)的切線方程，再由向量的坐標(biāo)表示，可得在定直線上；【詳解】解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，由已知得：圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）所以；（2）依題意

17、設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)，則以為切點(diǎn)的切線的斜率為，所以切線的方程為令，即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為，所以， ，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)在定直線上【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線方程和圓方程的運(yùn)用，以及切線方程的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于綜合題20（1）見解析；（2）【解析】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，首先通過條件得出，加，可得，進(jìn)而可得平面，再加上平面，可得平面平面，則平面；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，可得平面，加上平面，則可如圖建立直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接、，為等邊

18、三角形，即， ，平面，平面，平面，為的中位線，平面，平面，平面，、為平面內(nèi)二相交直線，平面平面，平面DMN，平面；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連接、為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，、共線，平面平面.平面平面平面，交線為，平面平面.設(shè)，則在中，由余弦定理，得：又，為中點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系（如圖），則，.，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，平面的法向量為，二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計(jì)算能力和空間想象能力，是中檔題.21（1）（2）存在， 或【解析】（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由， ，可