7.1 空間幾何中的平行（精練）（解析版）

1、空間幾何中的平行（精練）【題組一線面平行】（2021 北京清華附中）如圖，在四棱錐PA3C。中AB/CD求證：43/平面PCO【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)锳B/CO，平面PCO. COu平面PCO,所以A3平面PCO；（2021 浙江高三期末）如圖，四棱錐CABEO中，四邊形力版是正方形，假設(shè)G,尸分別是線段與口（1）求證：GF平面4%.（2）在線段切上是否存在一點(diǎn)只 使得平面G/7V/平面力比？并說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2） P為線段C少中點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解.【解析】（1）證明：由四邊形月版為正方形可知， 連接力必與協(xié)相交于中點(diǎn)凡又6是線段歐的中點(diǎn)，故G/ AC,上一點(diǎn)，且 AD

2、 = DC = BC = C0 = CC=gAB = 2, AB1/CD, CO = 1（CA + CB）,求證：G。平面 ADAy【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)樗睦庵鵄BC。一斗石GR為直四棱柱，所以A4J/CG， 乂。=；（或+5），所以點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，又CD = gAB,且ABHCD,所以CQ = OA且CEV/Q4,所以四邊形AOCO為平行四邊形，所以4力 2hoc,又在平面A AQ中，M n A。= A,在平面C0C中，CG nCO = c，由面面平行的判定定理得平面AADH平面G。，又GOu平面G。，所以G。平面ada；14. （2021 重慶南開(kāi)中學(xué)高三其他模擬）如圖，AN是圓

3、柱底面圓。的直徑，點(diǎn)C、尸是A3的兩個(gè)三等分點(diǎn)，8、應(yīng):為圓柱的母線，求證：EF平面OCD【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連結(jié)8尸，丁點(diǎn)C、產(chǎn)是A8的兩個(gè)三等分點(diǎn)，8/0。，尸平面OCO；又。、8石均為圓柱的母線，BEC力，BE平面OCO，又=平面/平面OCO,又Fu平面龐尸，,所平面08.【題組二 面面平行】（2021 全國(guó)高三）如下圖，四棱柱的側(cè)棱與底面垂直，4。= 20,例=八。=。0 = 2,4。,3。交于點(diǎn)后，且尸分別為AC,CG的中點(diǎn)，BE =浮,求證:平面用。0/平面A8Q【答案】證明見(jiàn)解析【解析】如圖，連接A。，設(shè)AAcAO = ，那么為4。的中點(diǎn)，而E為力。的中點(diǎn)，連接E77

4、,那么為AC的中位線，所以77。，乂 EH .平面, CD平面BD所以EH/平面4c2 , 乂因?yàn)閭?cè)棱與底面垂直，所以84/。1,8q=。2，所以四邊形3HQ。為平行四邊膨，所以4R /8O, BDu平面8cR,平面與。2,所以8。/平面與CR,又BDcEH = E，平面AB。，所以平面與C。/平面AB。.（2021 山西太原市）如圖，在三棱錐P-4BC中，PA8是正三角形，G是PA8的重心，D, E， ”分別是BA, BC, PC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC上，且BF = 3FC,求證：平面DFH 平面PGE【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連結(jié)8G,因?yàn)镻A8是正三角形，G是248的重心，。為QA的中

5、點(diǎn),【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連結(jié)8G,因?yàn)镻A8是正三角形，G是248的重心，。為QA的中點(diǎn),所以BG與G。共線，且BG = 2GO，因?yàn)镋為8C的中點(diǎn)，BF = 3FC,所以尸是C的中點(diǎn),所以需BE EF=2,所以 GEDF,又GEi平面尸GE, Oz平面尸GE,所以O(shè)F平面PGE,因?yàn)椤笆鞘５闹悬c(diǎn)，所以FHPE,因?yàn)椤叭势矫鍼GE, PEu平面PGE,所以“平面PGE,因?yàn)镕HcDF = F，九”,Obu平面力切,所以平面。-7平面PG；3.（2021 河北衡水中學(xué)）如圖，在多面體ABCOEF中，ABCD是正方形,AB = 2, DE=BF,M為棱AE的中點(diǎn)，求證：平面3M。/平

6、面EFCBF/DE,【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：如圖，連接AC,交8。于點(diǎn)A；為AC的中點(diǎn)，連接MN,由勿為桂AE的中點(diǎn)，那么MM/EC.,: MN u 面 EFC, ECu 面 EFC.MN / / 平面 EFC .V BF/DE,四邊形3。石尸為平行四邊形，/. BDHEF .又 BDa 平面 EFC，EFu平面 EFC，； BD/平面 EFC,又 MNCBD=N,平面胡）/平面瓦C.（2021 河南高三三模）如圖，在幾何體A3C中，四邊形43co是矩形，AB = BE = EC = 2, G ,F, M分別是線段BE, DC, A8的中點(diǎn)，求證：平面GM/平面ADE【答案】證明見(jiàn)解析

7、【解析】如圖，因?yàn)锳3中點(diǎn)為M，連接MG，乂G是破的中點(diǎn)，可知GMAE,乂AEq平面GMa平面AOE，所以GM 平面4。石.在矩形ABC。中，由M，尸分別是A3, C。的中點(diǎn)得M/ AO.乂 AOq平面AOE, M/72平面ADE，所以加少|(zhì)平面AOK.又因?yàn)镚McMF = M, GMq平面GM/, Mbq平面GMV,所以平面GMF|平面七（2021 安徽省舒城中學(xué)）如圖，四邊形力直方是邊長(zhǎng)為2G的菱形，BB尸D仄=2, E,/分別是加，AR 的中點(diǎn)，證明：平面做卯平面啰【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接4C，交8。點(diǎn)O,連接0,那么。為AC的中點(diǎn),是4。1的中點(diǎn)，.二。七/。OEu平面BD

8、EF, CD、（z平面5。瓦，所以CR 平面BDEF又“是AS】的中點(diǎn).ER/3QEFu平面BDEF, BQ、D平面87無(wú)尸，所以與。/平面BDEF 乂CR,8Qu平面C4Q, B、DCCD=D1,所以平面 8。瓦7/平面CgQ .（2021 全國(guó)高三二模）如圖，矩形ABC。所在的平面垂直于直角梯形A8PE所在的平面，且EP = 5 BP = 2, AD = AE= AE1.EP，AE/BP, F, G 分別是 8C, 8尸的中點(diǎn)，求證:平面平面尸ECP【答案】證明見(jiàn)解析【解析】尸，G分別是8C,族的中點(diǎn)，F(xiàn)GCP,且bGa平面C莊，那么bG平面CPE，BG=PG = AE=1,且 AE/BP

9、, AELEP，四邊形AEPG是矩形，那么律AG,且4G z平面。莊，那么AG 平面C莊：乂GAcGF = G,故平面 AR7平面 PEC（2021 安徽省舒城中學(xué)）如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為26的菱形，。/1，平面48。，BBJ平面ABC。，且Bq=。=2, /分別是4。3片的中點(diǎn)，證明：平面BDEF 平面CBQi【答案】證明見(jiàn)解析【解析】旦尸分別是的中點(diǎn)，尸BQ,又所已平面BQ】u平面即平面CBR ； 連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接尸0,四邊形A8CO為菱形，.二。為AC中點(diǎn)，又F為AB、中點(diǎn)、，：.FOB,平面。片0, BCu平面. FO平面 CBQ；又 EFCFO=F, EF, FO

10、u 平面 BDEF， 平面 BDEF 平面 CBR ；8.（2021嚏:國(guó)高三）在四棱錐P-A3C。，平面Q4O_L平面A3CD,四邊形力以刀為直角梯形，AB/DC, AB1AD, PALPD, AO = DC = 2A8 = 2,為比的中點(diǎn)，點(diǎn)/、在/T上，且夕尸=3戶C,證明：EF ! / 平面PAD【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：取的中點(diǎn)G,連接比，取口;的中點(diǎn)連結(jié)掰FH,在梯形/出。7中，48/DC且A8 =，DC, 2所以 A8QG且 A3 = QG,所以 8G/AQ,因?yàn)闉楸?的中點(diǎn)，所以EH/3G,那么EH/AO,因?yàn)镋仁平面A。, AOu平面APD所以切/平面APD，又CH =

11、LcGCD,因?yàn)槭?3/。，所以C =，CP,所以FH/PD, 244因?yàn)镕H C = 0E = A,所以四邊形力儂是菱形，所以AC7/OE,且Z）E3 =瓦.AC EF CE 2 BD _ EF 2 BD _ 1乂族=3，,麗-就一寫(xiě)，而，一函守8.（2021 遼寧朝陽(yáng)市高三一模）如圖，在三棱錐PA3C中，PC_L底面ABC, CA = CB = CP = AB 2例、N分別是PA、P8的中點(diǎn)，AN與BM交于點(diǎn)、E,b是尸。上的一個(gè)點(diǎn)，記萬(wàn)=4卮（04 1）,假設(shè)尸平面八8C,求實(shí)數(shù)4的值P【解析】連接收，并延長(zhǎng)交A81點(diǎn)D，PE 9因?yàn)镸、N分別是Q4、/歸的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為P4B重心，且

12、。為A3的中點(diǎn)，所以麗=，因?yàn)樯捌矫鍭BC，平面尸。門平面ABC = CO, EFu平面PC。，所以EF/CD,所以pp pF 77=-,又因?yàn)樗? /LPC（0四邊形ABCO為矩形，那么ADHBC，QAOa 平面 BC5, BC u 平面 BCF, AD平面 BCF,.AOcAE=4，所以，平面 ADE/平面 BC77，OEu 平面 ADE，故 OE平面 BCF:11.（2021 江蘇徐州市）如圖，正方體ABCO-AGR的棱長(zhǎng)為2, E是。A的中點(diǎn).設(shè)平面48MA與平面4CE的交線為1,求證：/平面ACE【答案】證明見(jiàn)解析【解析】在正方體- 中，平面平面 又因?yàn)槠矫鎍bqaCI平面ACE = /,平面co/ZGn平面ACE=CE，所以/CE,又因?yàn)?7平面ACE，CEu平面4CE,所以/平面ACE.（2021 陜西渭南市）如圖，在多面體ABC。斯中，矩形5OEF所在平面與正方形A3C。所在平面 垂直，48 = 1，點(diǎn)M為4E的中點(diǎn)，求證：BM / /平面EFC【答案】證明見(jiàn)解析【解析】連接AC交/。于點(diǎn)N .連接MN.因?yàn)樗倪呅?BCO是正方形，所以N為AC的中點(diǎn)，由于為AE