重慶大學(xué)(期末復(fù)習(xí))彈塑性力學(xué)精簡版本

1、例題求在面上的法向正應(yīng)力和切向剪應(yīng)力 解PPt 精減版本 第二章 應(yīng)力 ppt習(xí)題例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)例2 如圖所示的楔形體受水壓力作用，水的容重為，試寫出邊界條 件。 解：在x=0上，l= 1，m =0， (x )x=0 (1) +(yx)x=00 = y (xy)x=0 (1) +(y)x=00 = 0 (x)x=0= y (xy)x=0 在斜邊上 l= cos，m = sin x cos yx sin = 0 xycos y sin = 0第三章 應(yīng)變 ppt重要公式幾何方程張量表示 位移梯度 應(yīng)變張量是位移梯度的對稱化相對位移矢量對稱部分

2、應(yīng)變分量的坐標變換1. 最大剪應(yīng)力條件Tresca 屈服條件 Tresca認為當最大剪應(yīng)力達到某個極限值時材料將進入屈服 f (ij) =max- k1=（1）單軸拉伸：屈服時1 =s，2 =3 =0，代入屈服條件 k1= s/2（2）簡單剪切：屈服時 =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服條件 k1= sk1=s/2=s第四章 本構(gòu)關(guān)系 4.5 常用的屈服條件Mises屈服條件 Mises在1913年提出了屈服條件：當偏應(yīng)力的第二不變量達到某個極限時 f (ij) = r= k2 =const， Mises屈服條件在平面上是一個圓，在應(yīng)力空間是一圓柱體， Mises條件又稱為 最大八面

3、體剪應(yīng)力屈服條件其中 材料常數(shù)k2由簡單實驗確定（1）單軸拉伸：屈服時 1 =s，2 =3 =0，代入屈服條件 （2）剪切：屈服時 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服條件J2= =k22 k2 = s因此，如果材料服從Mises屈服條件，則 s= s根據(jù)畸變能條件, 純剪切屈服應(yīng)力是簡單拉伸屈服應(yīng)力的 倍.Taylor和Quinneyz實驗于1931年在薄壁圓筒受拉力T和扭轉(zhuǎn)M聯(lián)合作用下進行了實驗。在這種情況下，應(yīng)力狀態(tài)是 Tresca屈服條件為 Mises屈服條件為 例：有一圓形截面的均勻直桿,處于彎扭符合應(yīng)力狀態(tài),起簡單拉伸時的屈服應(yīng)力為300MPa, 設(shè)彎矩為M=10KN.m, 扭

4、矩Mi=30KN.m, 要求安全系數(shù)為1.2, 則直徑d為多少才不屈服? (書66頁)MMiMMi解: 處于彎扭作用下,桿內(nèi)主應(yīng)力為其中(1) 由最大剪應(yīng)力條件(特雷斯卡)給出(2) 由最大畸變能條件(米澤斯)給出并考慮安全系數(shù)例. 一薄壁圓管，平均半徑為R，壁厚為t，受內(nèi)壓p作用，討論下列三種情況： （1）管的兩端是自由的； （2） 管的兩端是封閉的； 分別使用Mises和Tresca屈服條件，討論p多大時管子開始屈服（規(guī)定純剪時兩種屈服條件重合）解： 將Mises和Tresca中的材料常數(shù)k1和k2都使用純剪時的屈服極限表示， 并使得兩種屈服條件重合，則有 Mises屈服條件: J2 =

5、s2 Tresca屈服條件: 13=2s （1） 管的兩端是自由的； 應(yīng)力狀態(tài)為，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t對于Mises屈服條件: 對于Tresca屈服條件: 13 =k1=2s p = 2st/R222= s2 =kJ （2）管段的兩端是封閉的； 應(yīng)力狀態(tài)為，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z=0 J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t對于Mises屈服條件： p = 2st/

6、R對于Tresca屈服條件： p = 2st/R例. 一種材料在二維主應(yīng)力空間中進行試驗，所得屈服時的應(yīng)力狀態(tài)為(1，2)=(3t，t)，假定此材料為各向同性，與靜水壓力無關(guān)且拉壓屈服應(yīng)力相等。 （1）由上述條件推斷在12空間中的各屈服點應(yīng)力。 （2）證明Mises屈服條件在12空間中的曲線通過（a）中所有點。解：由于靜水壓力無關(guān)的條件得出屈服在以下各點會發(fā)生：(1，2，3) = (3t，t，0)+ (3t，3t，3t)= (0，2t，3t)(1，2，3) = (3t，t，0)+ (t，t，t)= (2t，0，t)再由于各向同性的條件，很容易看出12空間中的以下五個應(yīng)力點也是屈服點A2： (1

7、，2，3) = (t，3t，0)B1： (1，2，3) = (3t，2t，0)B2： (1，2，3) = (2t，3t，0)C1： (1，2，3) = (2t，t，0)C2： (1，2，3) = (t，2t，0)還有，由于拉壓屈服應(yīng)力相等，因而可得到12空間中的另外六個應(yīng)力屈服點A3：(1，2，3) = (3t，t，0)A4：(1，2，3) = (t，3t，0)B3：(1，2，3) = (3t，2t，0)B4：(1，2，3) = (2t，3t，0)C3：(1，2，3) = (2t，t，0)C4：(1，2，3) = (t，2t，0)因此，根據(jù)這些點的數(shù)據(jù)，可以作出在12空間中的屈服面。容易證明M

8、ises屈服條件 通過以上所有屈服點。補充: 加載、卸載準則Drucker穩(wěn)定性條件：由于 與外法線n同向，上式改寫成：只有當應(yīng)力增量指向加載面外部時，材料才能產(chǎn)生塑性變形。（4-12）（4-13）判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：（1） 是否在 上。（2） 是否指向 的外部。加卸載準則加載：指材料產(chǎn)生新的塑性變形的應(yīng)力改變。卸載：指材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應(yīng)力改變。、理想材料的加卸載準則 理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。由于屈服面不能擴大，所以當應(yīng)力點達到屈服面上，應(yīng)力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。n加載卸載nlnm加載加載卸載對于Tresca屈服面：加載卸載二、

9、強化材料的加載、卸載準則強化材料的加載面在應(yīng)力空間不斷擴張或移動。n中性變載卸載加載這里，中性變載相當于應(yīng)力點沿加載面切向變化，應(yīng)力維持在塑性狀態(tài)但加載面并不擴張的情況。進入塑性階段后，應(yīng)變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公設(shè)，（4.6.1）（4.6.2）給出了塑性應(yīng)變增量 與加載函數(shù) 之間的關(guān)系。流動法則（4.6.3）將（4.6.2）、（4.6.3）代入（4.6.1）得：增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系：（4.6.4）三、理想塑性材料與Tresca條件相關(guān)連的流動法則與Mises條件相關(guān)連的流動法則相比，與Tresca條件相關(guān)連的流動法則有兩個顯著的特點：2、在Tr

10、esca六角柱的棱線上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的角點上），不存在唯一的外法線。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面內(nèi)，就是在正六邊形的直邊上），給出沿外法向的 并不能就此確定S，因為同一個屈服平面上的任一點都具有相同的外法向。實際上，角點可以看成是一段光滑曲線無限縮小的極端情況，因此角點的法線不唯一，而可為上述夾角范圍內(nèi)的任一方向?？疾靾D5-11中的角點B。它的兩側(cè)面，AB面和BC面的方程分別為：對AB面同理，對BC面有角點B處的塑性應(yīng)變增量可以AB面和BC面上的塑性應(yīng)變增量的線性組合得到。 ABC其中 123討論:平衡方程為:幾何關(guān)系為:本構(gòu)方程為:彈性解: 當P足夠小時,三

11、桿均處于彈性狀態(tài),應(yīng)力與應(yīng)變成比例.由于故因為所以桿1最先到達塑性狀態(tài),當于是桁架開始出現(xiàn)塑性變形的載荷為P1稱為彈性極限載荷彈塑性解:由基本方程可得當桁架全部進入塑性狀態(tài)，對應(yīng)的載荷為塑性解:由基本方程可得在P由零逐漸增加（單調(diào)加載）的過程中，桁架變形可以分為三個不同的階段在彈塑性階段，桿雖然進入塑性狀態(tài)，但由于其余兩桿仍處于彈性階段，桿的塑性變形受到限制，整個桁架的變形仍限制在彈性變形的量級，這個階段可稱為約束的塑性變形階段在塑性階段，三桿都進入塑性狀態(tài)，桁架的變形大于彈性變形量級一般說來，所有的彈塑性結(jié)構(gòu)在外力的作用下，都會有這樣三個變形的階段例一薄壁圓管同時受拉,扭和內(nèi)壓作用，有應(yīng)力分

12、量泊松比求：（）當應(yīng)力分量之間保持比例從零開始加載，問多大時開始進入屈服？（）開始屈服后，繼續(xù)給以應(yīng)力增量，滿足及求對應(yīng)的及值分別對Mises和Tresca兩種屈服條件進行分析Mises：屈服準則為代入上式得到屈服后，增量本構(gòu)關(guān)系為：Tresca：因為所以，屈服準則為：將其展開后得將該式微分，得時達到屈服求解彈性力學(xué)問題的目的是確定物體內(nèi)各點的應(yīng)力場和位移場，因此彈性力學(xué)問題的提法必須是使定解問題是適定的，即問題有解、解是唯一的和解是穩(wěn)定的。 1. 問題的提法應(yīng)強調(diào)的是，邊界條件的個數(shù)應(yīng)給得不多也不少時，才能得出正確解。如空間問題的應(yīng)力邊界條件，必須在邊界上的每一點給出三個應(yīng)力邊界條件，一旦多

13、給了，則會找不到滿足全部邊界條件的解，如果少給了，就會有多個解滿足所給的邊界條件，因此不能判斷那一個解是正確的。 彈性力學(xué)問題的基本方程雖然構(gòu)成一個封閉方程組，但該方程組只有在與定解條件，即邊界條件相符的解才是所需的正確解。因此，邊界條件的重要性不容忽視。PPt 精減版本 第五章 彈塑性力學(xué)問題的提法 由此可見，彈性力學(xué)的基本方程組一般地反映物體內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間相互關(guān)系的普遍規(guī)律，而定解條件具體給定了每一個邊值問題的特定規(guī)律。因此，每一個具體問題反映在各自的邊界條件上。所以，彈性力學(xué)問題的基本方程組和邊界條件共同構(gòu)成彈力學(xué)問題嚴格而完整的提法。 根據(jù)具體問題邊界條件類型的不同，通常將

14、其分為以下三類問題.第一類邊值問題 在全部邊界上給定體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場和位移場，稱這類問題為應(yīng)力邊值問題。邊界稱為自由邊界，屬應(yīng)力邊界的特殊情況。如果邊界上有集中力，應(yīng)轉(zhuǎn)換為作用在微小面積上的均布面力；集中力偶則應(yīng)轉(zhuǎn)換為作用在微小面積上的非均布面力。第二類邊值問題 給定物體力和在物體表面各點的位移，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場和位移場，稱這類問題為位移邊值問題。 有時也可能給定的是邊界上位移的導(dǎo)數(shù)(如轉(zhuǎn)角)或應(yīng)變。在靜力問題中，給定的位移約束應(yīng)能完全阻止物體的總體剛體運動。 第三類邊值問題 在物體表面的一部分給定面力，其余部分給定位移，或在部分表面上給定外力和位移之間的關(guān)系，這如彈性

15、支撐或彈性固定，求在這些條件下的應(yīng)力場和位移場，稱這類問題為混合邊值問題。3.3逆解法和半逆解法逆解法就是選取一組位移或應(yīng)力的函數(shù)，由此求出應(yīng)變與應(yīng)力，然后驗證是否滿足基本方程。不滿足，則求出與之對應(yīng)的邊界上的位移或面力，再與實際邊界條件比較。如果相同或可認為相近，就可把所選取的解作為所要求的解。半逆解法又叫湊合解法，就是在未知量中，先根據(jù)問題的特點假設(shè)一部分為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求另一部分。這樣便得到了全部未知量。此外，尚有近似解法、數(shù)值解法等。簡例1: lyzPPyxF設(shè)有如圖所示的柱體,兩端受集中力P作用,柱體表面為自由面. 求其應(yīng)力場與位移場. (Page 93) lyz

16、PP解:1. 確定體力和面力在兩端 z=0, z=l 處, 有外力作用, 其合力為P, 假定體力忽略不計, 柱體側(cè)面的面力等于零.柱體側(cè)面，有 l3=0,柱體側(cè)面的邊界條件為:yxF2. 寫出邊界條件在兩端,有l(wèi)1=l2=0, l3=1,假設(shè)正應(yīng)力在端部均勻分布,則邊界條件為: lyzPP3. 選擇解題方法選用應(yīng)力法, 則未知 應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)滿足 平衡方程 和 變形協(xié)調(diào)方程, 即選用 逆解法求解. 根據(jù)解的唯一性, 如果能給出一個既滿足全部方程,又滿足邊界條件的解,則這個解就是本問題的唯一解.yxF lyzPP4. 解邊值問題取其中 A 為常數(shù), 代入yxF恒滿足.由邊界條件得出故有根據(jù)廣義胡克

17、定律又同理可得如包含剛體位移, 給定5. 校核將所得到結(jié)果代入 平衡方程, 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程, 邊界條件等公式.1. 確定體力和面力2. 寫出邊界條件3. 選擇解題方法4. 解邊值問題5. 校核解題步驟:圣維南原理:認為分布于物體很小部分(表面或體積)上的載荷所引起的物體內(nèi)的應(yīng)力分布，在離載荷作用區(qū)域稍遠的地方，基本上與該載荷的合力和合力矩(或靜力等效載荷)所引起的應(yīng)力相同，載荷的具體分布情況只影響載荷作用區(qū)域附近的應(yīng)力分布。簡例3: 討論矩形截面梁的彈塑性純彎曲問題設(shè)截面高為h ,寬為 b ， 材料是理想彈塑性的梁，兩端受到彎矩 M 作用。設(shè)梁無論是處于彈性狀態(tài)還是塑性狀態(tài)，材料力學(xué)中的平面假設(shè)

18、仍成立，且截面上只有正應(yīng)力作用，其它應(yīng)力分量都為零。對于純彎曲情形，可以證明這兩個假定在圣維南意義下是精確成立的。即滿足平衡方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和圣難南邊界條件。取軸為中性軸，則由力的平衡關(guān)系可知，梁中正應(yīng)力滿足如下關(guān)系(5.4-1) 式(5.4-1)中的第二式表示軸向力等于零，正應(yīng)力應(yīng)為對稱分布，因此表示彎矩的第一式方可寫成后一形式。1)彈性階段由平面假設(shè) (5.4-2)式中分別為曲率和曲率半徑。若規(guī)定撓度向下為正，則在小變形條件下曲率與撓度的關(guān)系為當彎矩M從零開始增加，梁的截面先處于彈性階段，則其應(yīng)力為(5.4-3) 將式(5.4-3)代入式(5.4-1)中的第一式，得其中(5

19、.4-4)從(5.4-4)式可知，彎矩 M 與曲率 k 呈線形關(guān)系，且將它代入式 (5.4-5)式(5.4-5)與材料力學(xué)的結(jié)果完全一樣，表明應(yīng)力在梁的橫截面呈線性分布，即與成比例，且隨著彎矩的增加，梁的上下最外層最先達到屈服應(yīng)力，對應(yīng)的彎矩稱為彈性極限彎矩，記為。由(5.4-5)式可得彈性極限彎矩為(5.4-6)記梁處于彈性極限彎矩狀態(tài)下的曲率為，則由(5.4-4)式得 (5.4-7)2）彈塑性階段當，梁截面中外層纖維的應(yīng)變繼續(xù)增大，而應(yīng)力值仍你持為塑性區(qū)逐漸向中性軸方向擴展，但整個截面尚未完全進入塑性，其應(yīng)力分布如圖(5.4c)所示， (a) (b) (c) (d) 圖5.4 梁橫截面隨彎

20、矩增大的應(yīng)力分布示意圖設(shè)彈塑性交界面為，則各部分應(yīng)力為： (5.4-8) 由于交界面處的應(yīng)力為，即由上式可得相應(yīng)的曲率與為(5.4-9)顯然，是的函數(shù)，其符號與相同。此時，截面上的彎矩為(5.4-10)得 (5.4-11) 由式(5.4-10)可見，隨著的增加，將逐漸減小，最后 這時梁的整個截面的應(yīng)力達到，如圖所示，記此時的彎矩為并稱為塑性極限彎矩。 由式(5.4-10)得塑性極限彎矩為 為截面形狀系數(shù)。對于矩形截面采用類似的分析方法可求出其它對稱截面梁的值。如工字梁截面，圓截面，薄壁圓管為(.-11) 由(5.4-11)的第一式可得彈塑性階段的曲率為 屈服階段，但中間部分尚處在彈性階段，根據(jù)

21、平面假設(shè)的變形特性使塑性變形的大小受到了限制，即處于約束塑性變形階段，且將隨著梁的曲率而增大，這時梁的曲率完全由中間的彈性部分所控制。最后,梁的彎矩達到塑性極限彎矩,即整個截面都處于塑性狀態(tài).需注意的是，當后，上下邊的部分區(qū)域己進入塑性習(xí)題5-1 用逆解法求解圓柱體的扭轉(zhuǎn)問題根據(jù)材料力學(xué)的方法,在圓拄體扭轉(zhuǎn)時,截面上發(fā)生與半徑垂直且與點到圓心的距離成正比例的剪應(yīng)力這里 表示單位長度的扭轉(zhuǎn)角.將 向 Ox 和 Oy 軸方向分解,其中假設(shè)其余的應(yīng)力分量全為零,則上面的解在體力為零時,是滿足平衡微分方程的.現(xiàn)在校核是否滿足邊界條件.邊界條件(側(cè)面).在圓柱側(cè)面上,有將應(yīng)力代入上面,應(yīng)力滿足圓柱側(cè)面上

22、的邊界條件.考察圓柱的兩端, 在 z=l 處,邊界條件變?yōu)?即: 如果他們也靜力等效于扭矩M ,則應(yīng)力分量靜力上等效于扭矩 M , 而其具體分布情況是不清楚的,因此,對應(yīng)力分量,也只能從放松的意義上要求它們滿足z=L 這一端的邊界條件, 根據(jù)題設(shè)條件,作用于z=L端面上的外力就是圓柱體扭裝時的解事實上端面上的主矢投影為:端面上的主矩為:(1) 取一次多項式對應(yīng)的應(yīng)力分量為這對應(yīng)于無應(yīng)力狀態(tài), 因此,在任何應(yīng)力函數(shù)中增減一個 x, y 的一次函數(shù),并不會影響應(yīng)力分量的值.PPt 精減版 第六章 彈塑性平面問題 ppt習(xí)題(2) 取二次多項式不論系數(shù)取何值,都滿足雙調(diào)和方程, 對應(yīng)的應(yīng)力分量為代表

23、均勻應(yīng)力狀態(tài). 且如果 ,則代表雙向均勻拉伸; 如 則代表純剪.(3) 取三次多項式不論系數(shù)取何值,都滿足雙調(diào)和方程, 這里只考慮 的情況作為示例, 對應(yīng)的應(yīng)力分量為:這是矩形截面梁純彎曲的情況. 如果已知作用的矩形窄梁兩端的彎矩M, 則由(4) 取四次多項式要使它滿足雙調(diào)和方程, 各系數(shù)必須要滿足一定的關(guān)系,代入雙調(diào)和方程,得于是上述應(yīng)力函數(shù)寫成:這時候,式中的四個系數(shù)不論取何值, 都滿足雙調(diào)和方程. 特別的, 取則:對應(yīng)的應(yīng)力分量為這個應(yīng)力狀態(tài)由作用于矩形板邊界上的以下三部分外力產(chǎn)生:(1) 在 邊界上,受有均勻分布的剪應(yīng)力 ;(2) 在 邊界上,受有按拋物線分布的剪應(yīng)力 ;(3) 在 邊

24、界上,受有按拋物線分布的剪應(yīng)力 和靜力上等效于彎矩的正應(yīng)力 .幻燈片 46(5) 取五次多項式要使它滿足雙調(diào)和方程, 各系數(shù)必須要滿足一定的關(guān)系,代入雙調(diào)和方程,得因為該方程對所有的x, y均成立,故必有于是上述多項式變?yōu)?將 和 用其他的系數(shù)表示:此時, 式中的四個系數(shù)不論取何值,均滿足雙調(diào)和方程. 特別的,如果則對應(yīng)的應(yīng)力分量為:在矩形板的邊界上,應(yīng)力分布如圖幻燈片 61q 圖6.4 受均布荷重簡支梁考慮用另外一種方法得到應(yīng)力函數(shù).材料力學(xué)中認為 為零. 這個不會滿足彈性力學(xué)的全部方程,在梁的上表面， 有按照材料力學(xué)方法求解,得到如下應(yīng)力(a)例:因此,要求應(yīng)力滿足彈性力學(xué)方程,將應(yīng)力表達

25、式(a)寫成更普遍的形式:于是有(b)由(b)的第一式積分,得這里的 和 均為 x 的任意函數(shù). 將(c)代入式(b)的第二式,則有(c)這里的E為積分常數(shù).代入式(c)后,得到(d)將這個應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程,發(fā)現(xiàn)不滿足,這說明它不能取做應(yīng)力函數(shù). (d)現(xiàn)在在這個函數(shù)的基礎(chǔ)上添加一個任意函數(shù) ,并略去不影響應(yīng)力的一次項 Ey , 于是有(e)以滿足雙調(diào)和方程為目標來選擇函數(shù) .將式(e)代入雙調(diào)和方程,得到 所必須滿足的方程. (這里假設(shè) 最多是x的三次函數(shù).)(f)這個方程最簡單的解為(g)將(g)代入(f)得到:(h)可以取掉式(h)變成:最后得到應(yīng)力函數(shù)為:應(yīng)力分量為:(i)考慮邊

26、界條件:(1) 上下兩面:將邊界條件應(yīng)用到式(i)上,有:(j)(k)由(k)式可以看出,要使它們恒成立,只有(2) 端面容易驗證第二個條件已經(jīng)滿足. 但第一個條件無法滿足,因此,利用局部性原理,將邊界條件放松,即已經(jīng)滿足得:應(yīng)力分量為:比較第一種方法的結(jié)果3.3 懸臂梁受均勻分布載荷作用不計自重的懸臂梁受到均勻分布的載荷作用,也可以采用多項式的疊加求解, 現(xiàn)考慮另外一種方法.qOLyxyh/21h/2zO幻燈片 79彎曲應(yīng)力 主要由彎矩產(chǎn)生的,剪應(yīng)力 主要是由剪力Q產(chǎn)生的,而擠壓應(yīng)力 主要由載荷 q 產(chǎn)生的, 現(xiàn)因 q 為常數(shù), 所以,可以假定,對于不同的 的分布相同,也就是說, 僅僅是 y

27、 的函數(shù),即于是有:而這里的 和 是y的任意函數(shù).這個應(yīng)力函數(shù)必須滿足雙調(diào)和方程, 所以,代入雙調(diào)和方程后,得(a)函數(shù) , 和 必須滿足這是 x 的二次方程,但是它有無窮個根(梁內(nèi)所有的 x 都滿足它), 因此, 方程的系數(shù)和自由項應(yīng)該等于零,即根據(jù)前面兩個方程,有根據(jù)第三個方程,有積分該式(b)(c)將式 (b), (c) 代入應(yīng)力函數(shù) (a),得因此得到應(yīng)力分量為這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和協(xié)調(diào)方程.(d)邊界條件為:(f)(e)(g)根據(jù)邊界條件(g)的第三式可得根據(jù)邊界條件(e)和(f)可得將系數(shù)代入應(yīng)力分量得幻燈片 75再由邊界條件(g)的前面兩式可得代入應(yīng)力分量,且有 可得這

28、個應(yīng)力表達式和材料力學(xué)結(jié)果比較, 可以發(fā)現(xiàn)剪應(yīng)力與材料力學(xué)一樣, 正應(yīng)力 增加了一個修正項:類似的還可寫出柱坐標系()下和球坐標系()下的平衡方程。 (1)柱坐標系下的平衡微分方方程(6.5-3) (2) 球坐標系下的平衡微分方方程 (6.5-4) 6.5 用極坐標表示的基本方程5.4 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程采用類似推導(dǎo)直角坐標系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的方法，不難從式(6.5-5)消除位移分量， 得出以應(yīng)變分量表示的極坐標中的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，即在直角坐標系中，當體力為常量或不計體力時，平面問題的協(xié)調(diào)方程式為注意到 (為不變量)，這樣在極坐標系中，平面問題應(yīng)力形式的協(xié)調(diào)方程式為(6.5-9) 式中為極坐標下的拉普拉斯

29、算子，即(6.5-10) 為了得到在極坐標系中，用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，可直接由直角坐標系應(yīng)變協(xié)調(diào)方程經(jīng)坐標變換得到。因為:注意，此處的應(yīng)力函數(shù)既是和的函數(shù)，通過坐標變換，也是和的函數(shù)，它對和的一階及二階導(dǎo)數(shù)分別為(a)將式(a)相加后得幻燈片 120于是得極坐標系下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為(6.5-11) 幻燈片 1225.6 軸對稱問題 如果所研究的問題的物體和外載荷均對稱于經(jīng)過物體中心，且垂直于平面的軸線，此時，應(yīng)力和位移均與無關(guān)，僅與有關(guān)，這類問題稱為軸對稱問題。因此，軸對稱問題只有正應(yīng)力和，而剪應(yīng)力因?qū)ΨQ性均為零。 (1) 應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量; (2)軸對稱問題的位移. (1) 應(yīng)力函

30、數(shù)與應(yīng)力分量將上式展開，并注意到僅是的函數(shù)，因此偏導(dǎo)數(shù)可用常導(dǎo)數(shù)代替，得(b) 應(yīng)力表達式(6.5-12)成為(6.5-13) 根據(jù)軸對稱問題的情況，應(yīng)力函數(shù)與元關(guān)，所以式(6.5-11)可簡化為 q幻燈片 118幻燈片 124方程式(a)是變系數(shù)常微分方程，如令，則，根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)法則，則這方程可簡化為常系數(shù)常微分方程，即上述方程的解為將代入上式可得(6.5-14) 由 式，得應(yīng)力分量的表達式對于平面物體，則在平面內(nèi)必為各方向均勻受拉或均勻受壓狀態(tài)。如果原點處有孔，則問題有各種解答，這將在以后討論。由上式可知，如在坐標原點沒有孔，常數(shù)和必須等于零，否則當時應(yīng)力將變?yōu)闊o限大。因此，如在坐標原點沒

31、有孔，而且沒有體積和力，唯一可能的應(yīng)力對稱分布是均為常數(shù)。(6.5-13)幻燈片 132幻燈片 134 (2) 軸對稱問題的位移 當沿 方向沒有約束時，則屬平面應(yīng)力問題。此時，將應(yīng)力分量式(6.5-14)代入式(6.5-6)，并利用式 ，得(6.5-5)(c) 對上式中的第一式直接積分可得(d)再由式(c)的第二式解出，并將(d)式代入后，有積分左式，得(e)將式(d)和式(e)代入式(c)中的第三式，并分離變量，則可得此方程左邊為的函數(shù)，而右邊為的函數(shù)，因此兩邊必為同一常數(shù)，于有是(f) 式(f)中的第一式經(jīng)簡單分析可得其通解為(g) 將式(f)中的第二式先對求導(dǎo)一次，然后再積分求得(h)于

32、是由式(f)的第二式和式(h)，可得(i) 將式(g)、(h)、(i)均代入和的表達式(e)和(d)中，則得(6.5-15) 式中 可由應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件確定。在應(yīng)力軸對稱時，如果約束條件也是軸對稱的，則位移也應(yīng)該是軸對稱的。即各點無環(huán)向位移()，即，僅有徑向位移(6.5-16) 對于平面應(yīng)變問題，以上公式(6.5-15)和(6.5-16)也適用，僅需將式中的和分別用和即可?；脽羝?132極坐標系下的雙調(diào)和方程為有了基本方程,可以按下列步驟求解邊值問題:(1) 確定體力和面力;(2) 確定邊界條件:(3) 選擇解題方法;(4) 解方程;(5) 校核(代回基本方程和邊界條件).工程上一般

33、把圓筒分為厚壁筒和薄壁筒。當外徑與內(nèi)徑之比小于時可按薄壁圓筒進行分析，當大于1.2時則按厚壁圓筒進行分析。厚壁圓筒是彈塑性力學(xué)問題中最簡單的問題之一，即應(yīng)力和應(yīng)變只與一個坐標有關(guān)，而且在塑性階段考慮材料的不可壓縮性后，可以得到封閉形式的解答，本節(jié)討論的受內(nèi)外壓力作用的厚壁圓筒，屬于這類問題。此外還有整球形容器等。6.6 厚壁筒的彈塑性解6.1 彈性解設(shè)圖6.11所示厚壁圓筒為理想彈塑性材料，外徑為2b，內(nèi)徑為2a，受到內(nèi)壓為，外壓為作用。并設(shè)圓筒的長度比圓筒的直徑來說足夠大，以致可以認為離兩端足夠遠處的應(yīng)力和應(yīng)變分布沿筒長方向沒有差異。 應(yīng)力和應(yīng)變的分布對稱于圓筒的中心軸線. 則每一點的位移將

34、只有 r 方向的分量 u 和 z 方向的分量 w ,即 u, w 均與 無關(guān).(a)將式(a)代入(6.5-14)式，顯然后兩個條件自然滿足，而由前兩式可得(b) (c) 任一橫截面變形后仍保持平曲(如圖)。因而，應(yīng)力與應(yīng)變的分布對稱于圓筒的中心軸線。顯然這是一軸對稱問題，則應(yīng)力即為式 。式中的三個常數(shù)由邊界條件確定，即(6.5-14)式(b)兩個方程不能決定三個常數(shù) ，補充的條件應(yīng)從位移方面去找，現(xiàn)從環(huán)向位移的表達式 中的第二式(6.5-15)(c) 其中一項是多值的，但環(huán)向位移應(yīng)是單值的，即要求。于是可知，必有，從而由(b)式可得(d) (6.6-1)幻燈片 135將(d)式代入 式和 式

35、第一式，則得正應(yīng)力分量和位移為(6.5-14)(6.5-15)如果厚壁圓筒兩端自由，則，而任何橫截面變形時保持為平面，因此這個問題屬平面應(yīng)力問題， 由上式可見，厚壁圓筒內(nèi)任何一點的應(yīng)力和之和為常值。常數(shù)，其位移由(6.5-16)式確定。 當，即在筒內(nèi)邊緣，由(6.6-1)式，有(6.6-2)(6.6-3) 當，即在筒外邊緣，由 式，有(6.6-1)(6.6-4)由式(6.6-4)可見，因 ，所以周向受拉，徑向受壓，應(yīng)力分布如圖6.12所示。當厚壁圓筒僅受內(nèi)壓，此時因，所以 式簡化為(6.6-1)根據(jù)特雷斯卡屈服條件，由(6.6-4)式可得內(nèi)壁()處， 為，可求得彈性極限內(nèi)壓力 )達到最大值時，

36、即 (6.6-5) 顯然，當時，由此可知，在無限空間物體內(nèi)圓柱形孔洞受內(nèi)壓時(如壓力隧道)，其壁表面開始屈服時的壓力值與孔徑無關(guān)。如果采用米澤斯屈服條件式，注意到當兩端全自由時，因 ,和由廣義虎克定律有，則可得筒內(nèi)邊緣()開始屈服時，有6.2 彈塑性解(6.6-6a)如取，則上式成為(6.6-6b) 即按米澤斯屈服條件，彈性極限載荷為(6.6-7) 按照特雷斯卡屈服條件6.2 彈塑性解由上面的分析可知，在厚壁圓筒無外側(cè)壓力()的情況下，當，處于彈性狀態(tài)，而當且隨著壓力的的增加，塑性區(qū)逐漸向外擴展，而外壁附近仍為彈性區(qū)。由于應(yīng)力組合()的軸對性，塑性區(qū)與彈性區(qū)的分界面應(yīng)為圓柱面。 時，在內(nèi)壁出現(xiàn)

37、塑性區(qū)，筒體處于彈塑性狀態(tài)時，設(shè)筒體中彈塑性分界面半徑為。為塑性區(qū)，如圖6.13所示，即當圖6.13 彈性與塑性區(qū)域分界為彈性區(qū)。而當由于在塑性區(qū)內(nèi)平衡方程仍然成立，當不計體力時，且因?qū)ΨQ性，平衡方程式簡化為采用特雷斯卡屈服條件，并代入上式可得(e) 積分其中C為待定常數(shù)，由筒壁內(nèi)邊緣處的邊界條件， 可得 ,代入(e)式后，得(f) 當時，并記此處的徑向應(yīng)力為，則由上式可得 (g)這樣問題可化為內(nèi)半徑為()的圓筒受壓力作用的彈性問題。 對于外層彈性區(qū)域來說，就是作用在該區(qū)域內(nèi)側(cè)的徑向壓力，因在處必須連續(xù)，故可由上式及(g)式消除，可得 (6.6-8) 于是，由式(6.6-5) 有上式即為彈塑性

38、交界面處應(yīng)滿足的方程，該式為超越方程，當給定時，可用數(shù)值方法求得值。 綜上所述，塑性區(qū)()的應(yīng)力分量為 (6.6-9) 由式(6.6-9)的導(dǎo)出可知，塑性區(qū)的應(yīng)力分量是靜定的，它僅與內(nèi)壓有關(guān)，與彈性區(qū)的應(yīng)力無關(guān)。而且在塑性區(qū)內(nèi)，。以上結(jié)果說明，塑性區(qū)的應(yīng)力分量和 的確定沒有使用變形條件和本構(gòu)關(guān)系，而直接由平衡方程和屈服條件獲得。這種問題在塑性力學(xué)中稱為靜定問題。靜定問題的特點是平衡方程和屈服條件的數(shù)目與所求未知量的數(shù)目相等，因而不使用塑性力學(xué)中的非線性本構(gòu)方程便能求出所求的未知量。在求解這類問題時，一般都采用理想彈塑性力學(xué)模型進行計算。這類問題不但求解簡便，而且在工程實際中也經(jīng)常遇到，因此很有實際應(yīng)用價值。 當塑性區(qū)的前沿一直擴展到圓筒的最外邊緣時，整個厚壁圓筒將全部處于塑性狀態(tài)，稱這種狀態(tài)為全塑性狀態(tài)，或極限狀態(tài)。在極限狀態(tài)前，因外側(cè)彈性