十章對稱雙線型和次曲面

1、第十一章對稱雙線型和二次曲面11.1設(shè)v是F上的向量空間，對任意f,gv*，證明：B=g:VVF不必是對稱雙線性型；B二gf:VV)F是對稱雙線性型；B=f：gg：f:VVF是反對稱雙線性型；對V=Fn的標(biāo)準(zhǔn)基，分別寫出B對應(yīng)的矩陣B,證明rankB2.證：(1)If,gV*為線性函數(shù),任x,y,zV;k,lF.B(kxly),z=f：g(kxly,z)=f(kxly)g(z)二kf(x)g(z)If(y)g(z)二kB(x,z)lB(y,z)B(x,kylz)二kf(x)g(y)lf(x)g(z)二kB(x,y)lB(x,z)B是雙線性型的，但不必是對稱雙線性，即B(x,y)與B(y,x)不

2、必相等.(2)任取x,y,zV;k,lF.B(kxly,z)=(f：gg：f)(kxly,z)=f：g(kxly,z)g：f(kxly,z)二kf：g(x,z)lf:g(y,z)kg(x)f(z)lg(y)f(z)=kf(x)g(z)g(x)f(z)llf(y)g(z)g(y)f(z)l=k(f：ggf)(x,z)l(f：gg：f)(y,z)=kB(x,z)lB(y,z).同理可證:B(x,kylzkB(x,y)-lB(x,z)B(x,y)=(f：gg：f)(x,yf：g(x,y)g：f(x,y)=f(y)g(x)g(y)f(x)=(f：gg：f)(y,x)二B(y,x).是對稱的，雙線性顯然

3、.任取x,y,zV;k,lF.B(kxly,z)=(f：g-g：f)(kxly,z)=f:g(kxly,z)-g：f(kxly,z)=kf：g(x,z)If:g(y,z)kg(x)f(z)lg(y)f(z)二kf(x)g(z)-g(x)f(z)丨If(y)g(z)-g(y)f(z)1=k(f：g-g：f)(x,z)l(f：g-g：f)(y,z)二kB(x,z)lB(y,z).同理可證:B(x,kylz)=kB(x,y)lB(x,z)B為雙線性性的.又B(x,y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)-lf(y)g(x)-g(y)f(x)l=B(y,x).為反對稱的.設(shè)V=Fn的標(biāo)準(zhǔn)基為3,62,

4、，en分別計算如下：在(1)中,令bj二B(ej,eJ二f(ejg(ej)“(eJgG)f(eJgG)“(eJgG)f(eJgG)f(eJgG)f(e2)g(ejf(e2)g(e2)fOgG)f(en)g(ei)f(en)gG)f(en)g(en)丿=(f(e),fG),，fG)(g(e),g(e2)廠，g(en)得：rank(B)乞1：2.在中,令bj=BG,ej)=f(e)g(ej)+g(e)f(ej)=B()=5(f(eJgG)+g(ejf(ejfOgG)g(e2)f(ei)(f(en)g(ej+g(en)f(ejf(eJgG)+g(ejf(en)fG)gG)+gG)fG)9fG)gG)

5、+gG)fG)jT二xy-yx其中X=(X!,X2，,Xn)T,y=(yi,y2/,yn)T為書寫簡單,記f(ej二人，g(ej二,i=1,2,n.則Xiyi+YiXix2+X2yiXiyn+yiXnB=X2Yi+y2XiX22+2X2X2yn+y2Xn-.AA-Nyi+YnXiXn2+ynX2XnYYnXn(可見Bt=B.)Wiy2Xi、X2XiX2Xn勺(ejgG)fG)fG)ffG)f(62)f(en)saJiy2yn丿I-g(ei)g(e2)g(en)丿yXn衛(wèi)(en)f(en)J由rank(y,x)蘭2,rank(X：)*2得rankB2J丿在中.b=B(e,ej)=f(e)g(ej

6、)g(e)f(ej)-f(ej)g(ej-g(ej)f(ej-B(ej,eJ記：f(e)=Xi,g(e)=yi,i=1,2,，n(為書寫方便)b=Xjyj-yXj=-bjiXiYi-YiXiX2YiX2XiynYiXnX2Yi-Y2XiXzYzY2X2八X2Y2XnaJnyi-ynXiXny2ynX2八Xnyn-ynXnf、(XiYiXiY2XiynYiXiYiX2yiXnX2Yi9X2Y2aX2yn9Y2XiY2X2aay2Xn9XnyiXnY2xnynF是向量空間V上對稱雙線性函數(shù)，e，en是V的一n個基,對任意XV定義：T(x)八B(u,x)ei4證明：T是V上的線性映射,且T與B在基2

7、,，寄下的矩陣相同.說明T依賴于空間基的選擇或者說不同的基下定義的線性映射不一定相同體會線性映射與雙線性函數(shù)在空間的改變時的矩陣變化規(guī)律證:(1)設(shè)B在ge，,en下的矩陣為B=(bj).b二BG).因為T(e,e2,忌)工嚇),TG)fnnnZB(ei,ei)ei,EB(e,e2)e；八正B(ei,en)eiIiA7JB(ei,e廠B(ei)、(ei,e2,en)B(e2,ei),(ei,e2,en)B(e2,en):lB(en,ei)JlB(en,en)丿B(ei,ei)B(e),e2)B(ei,en)B(e2,ei)BG)BG)=G,e2,en)rBangBanaeB(en,ei)BG)

8、B6)丿=(ei,e2/,en)BT與B在0,62,，編下的矩陣相同:當(dāng)基改變后，變換T的矩陣隨之也以相似的方式改變，一般不相同.在不同的基下映射有所不同兩者在基改變時，矩陣均以相似的規(guī)律改變和合同規(guī)律改變設(shè)(ai,a2,an)與(b,b2,bn)為V的兩組基,且有(bi,b2,bn)二佝衛(wèi)2,an)P.P為過渡陣.則線性變換在(bi,b2,bn)下的矩陣與在g,a2,an下的矩陣：B=PAP對雙線性函數(shù)的矩陣間關(guān)系為B=PTAPii.8證明矩陣的合同關(guān)系是等價關(guān)系證：ti.A二EAE自反律成立設(shè)P可逆，B=PtAP,則(PJ)TBP-對稱律成立.設(shè)B=RTAR,C=P2TAF2.則C=(RP

9、2)TA(RF2).合同關(guān)系是等價關(guān)系11.9將下述二次型用非退化變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所用的變換.3xf2xj3x3-2x22x2X3；-x2-xf6x1x2-4x1x3；222x15x2-4x32x-iX4x-iX3；(4)4x：x；xf-4x1x24x33x2x3；x1x2x1x2解:(1)廣3-10、300、300、-12-1053-105予00-130-135+售C20012丐100D+1A11303+計2113010010013丐01丿101丿01丿X2X3X3X4X4X1;*3-10q131、5勺00、a=-12-1P=0135ptap=0500-13e0b1012x二(X1,X2

10、,X3)TT2亠52亠122f(x)X田=3%+3y2+5y3,2亠52亠122f(x)X田=3%+3y2+5y3,y二(y1,y2,y3)z-13-2c23c13-1-2010010000C3-2cr23r13W00z-100I10000-108-608-64C3+號C2003-23+計2|13100101丿0000143423-2廣131、4r-1、A=3-10,p=0137,ptap=8-20010b1刁丿8y|其中：x=(X1,X2,X3)T,y=(y1,y2,y3)T112、100、100、150c3+2042C31-040-20-4028-2C200-9100r2r11-12r3-

11、訂21-152a+2r3010010011-2101丿001丿101丿51-2Z1-15、21、A=：150,P=011-2,ptap=44y；-9y；2x=py二y1f(x)f(x)(5)If(x)=XiX2X2X3X3X4X4X101201、2120120X2012012X31V0120丿區(qū)4二(X1,X2,X3,X4)01201、2廣112121、2q000、12012012012001_40001201212120120000z120120G+c2120120T001200J丿1000a10001-10010011001120-10010001000100001丿001.丿0001丿0

12、1201、22-10、120120P=11011_4Aptap=01201200100g0120丿0001f(x)X土y_y；丄-42y2,X=(X1,X2,X3,X4)T,y=(y1,y2,y34)TA=11.10將上述二次型用正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，寫出所用的正交變換.(1)6x：5x；7xf-4x1x24x1x3；22211xi5x22x3T6X1X24xiX32OX2X3；xfx|5xf-6x1x2x1x32x2x3；(4)2xjX2-6x4X3-6x2X42x3X4；解:由習(xí)題10.10(1)f()=(3一，)(6一，)(9一，).特征值4=3,，2=6,，3=9相應(yīng)的特征向量正父相應(yīng)的

13、特征向量相應(yīng)的特征向量Pi22=(3,3,12叫，一32)P3(21,2)T33336-2-2I2232313132323231323=(P1P2P3),PT=P=xtAx作正交變換x二Py變?yōu)?223y16y29y311-82、(2)A=-8510f(x)11一82f(k)=-85九10=(九18)(九9)(扎+9)2102_kA特征值為1=18,2=9,-9、=18時由(A-18I)X=0.即-7-82巾01、-81310X=0同解方程組為01-2X=0210一1602屬于18的特征向量為x_,=(2,-2,-1)丁2-8210-1、-8-410X=0同解方程組為02-1X=0、210一7

14、100丿2=9由(A-91)X=0.即屬于2=9的特征向量為X2=(2,1,2)t-9由(A9I)X=0.即20_8-81410210X=0同解方程組為0011X0b10/25屬于.乜=-9的特征向量為x3=（1,2,-2）打，九2,九3互異，口1,口2,。3兩正交，單位化得qi=二q1=（?,-2,八q2=（2丄2）T,q3=（】,2,-?）333333333-0=腫3）使f（x）xyiSy：+9y；-9y；由習(xí)題10.10（2）由習(xí)題10.10（2）f（）一（2）（-3）（-6）=6,2=3,-2相應(yīng)的特征向量正交單位化為：12T111T11T）,33爲(wèi)，1212,0）f（x）X丹二6y；

15、3y|-2yf01-30100-3-30010-31,f（入）=det（A-九I）=（九一2）（人+2）（丸-4）（九+4）A特征值：-2,2-2,3=4,4-4-21-30100-T1-20-3X=0,同解方程組：0101-30-2100110000時由（A-2I）X=0.即1=2X=0屬于1=2的特征向量為：1=（1,一1,一1,1）丁屬于2棗-2對應(yīng)的方程組（AI）X=0.即21-30”*100-廣120-3X=0,同解方程組：010-1-3021001-11000丿屬于3=4的特征向量為二13=(1,1,J-。丁-4對應(yīng)的方程組(A41)X=0.即廣41-30、001、140-3X=0

16、,同解方程組：010-1-304100110-3140得i21,即t1.由det(A).0,即_t(45t)二det(A)O4(i)當(dāng)t：0時,45t.0即t:：:0且t54-:：:t04當(dāng)t4時，為正定.11.13設(shè)A為n階實對稱陣，若對任意Rn,都有xtAx=0.證明A=0.證：TA為實對稱陣.存在正交陣P.使PTAP二D.D為對角陣.即f(x)xzPy=yT(PTAP)y=yTDy.t對任x二Py.f(Py)=0.即222d1d2y2dnyn=0.其中Rn.rRn.二dj=d2=dn=0.D=0.有PTAP=0nn,即A=0.11.14設(shè)A為n階正定陣，證明：det(A)_:-nndet

17、(An),其中A二Gj)nndet(A)11：22：nn則PA=則PA=AnAa,p=rIn0AtIaannJ_aAn證:設(shè)A=ann/(I1nJTaaAnj_det(PA)二det(P)det(A)二det(A).det(A)=det(PA)=detAn_LaI0C(nn-aTAnlia=det(AnJ-aTA；a)tA正定，An二正定，det（AnJ0-An；正定,且aTAnJ1a0Ta-1-nn-aAna：/nndet(A)=(：nn-aTAntageMAnJ：nndet(Az)有det(AHanndet(An)(2)由(1)det(A):nndet(Andet(An八：乞nn2n1ia

18、、1122i：nndet(A)0.J=max%00i,J假設(shè)最大元不在主對角線上t任取x=(0,必0,t任取x=(0,必0,XA=i0i0XioJ0J0X0,Xj0)T=0 xi,xJ為任意數(shù).0002i0j0Xi0Xj0二(Xi0，Xj。)、f、a.a.Xii0i0i0J0i0a.ia.J0i0J0J0/0%ojojo：-ioioioiojojo：iJo0,2iojoiiojojo與:-iojo為絕對值最大元矛盾，故最大元一定在主對角線上，存在io,使ioioCt：:=Ot：ioio=maxo(ij證法二：由A為正定陣,存在可逆陣B,使A二BtB,記B二Cij)nn，則nii八k4設(shè)c(io

19、jo=maxc(ij,，即絕對值最大元不在主對角線上，則i,jnnn:i-riw)2斛蔦Mjjk=1kz!k=1故ij蘭maxgiiPjj11.16證明：若A為正定陣，則存在正定陣B,滿足B2二A,把B稱為A的平方根,1并證為A2.證：A為正定陣,存在正交陣P,使PTAP二diag(i,2,其中：d2,n為A的特征值,且-0,i=1,2/,n.取diag(1,2,n)=diag(J冷，訃心,，叮n)diag(；.；1,，葦n)A二Pdiag(,r)PT二PdiagC一1，,二)卩打PdiagC_n)PT.11記B=Pdiag(、_1,_n)PT，貝U有A=B2=A2A?11.17設(shè)A、B都是實

20、對稱陣,且B正定,則AB的特征值全為實數(shù).1丄1證：利用11.16的結(jié)果,正定陣B=B2B?,且B?為實對稱陣,則1111AB=b7(B2AB2)B2因為AB與實對稱陣B2AB2相似，有相同的特征值,11所以由B2AB2的特征值全為實數(shù)知,AB的特征值全為實數(shù).11.18證明：若A正定,則AJ也為正定陣.證：由A正定知,A的特征值ft,，n全為大于“0”的正數(shù),A的特征值為丄，丄,，丄也全為大于零的正數(shù).12n所以AJ也為正定陣.11.19若A、B是同階正定陣，則AB也是正定陣.證：因為A、B是正定陣，任取x.V必有xTAx0.xTBx0及xT(AB)x=xTAxxTBx0由x的任意性知，AB

21、也是正定陣.11.20若A是n階正定陣，B是np的列滿秩陣(仁p乞n)證明：btab也是正定陣證：任取非零向量xV,y=Bx=0則xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)二yTAy0所以btab為正定陣11.21設(shè)A是正定陣，B是與A同階的實對稱陣，證明存在可逆矩陣P,使得:PtAP=I且PTBP二diag(r2,S)證：因為A為正定陣，B為實對稱陣，所以存在正交陣P使RTAR=I,記：B1=RtBR,則B1也為實對稱陣，則存在F2,使PjBA二diag(,廿,Jn)(其中S,叮,兒R)令P二P1P2,則(RPzTawbwpJab=丨PTBP二P2tRtBRP2二pTB1P2二diag（J2，

22、n）11.22求下列球面方程：過點(1,-1,1),(1,2,-1),(2,3,0)為坐標(biāo)原點；過點(1,2,5)與三個坐標(biāo)平面相切；(3)過點(2,-4,3)且包含圓x2y2=5,z=0.解:(1)由球面過面過四點及球面方程的特點，知形為：x2y2z2AxByCz=0D=0是因過原點,即222AxByCz-(xyz)AB+C=-3滿足4點得A2B-C=-62A3B13解得：A=-7;B=-2；C=-32球面方程為：x2y2z27x2y3z=0即222x22y22z2-7x-4y一3z=0由過點(1,2,5)且與三個坐標(biāo)平面相切知，球面在第一象限，球心的三個坐標(biāo)相等且等于半徑,即球心M0(x。

23、，y。,z0)滿足x0二y=z0=R設(shè)球面方程：(x-x0)2(y-y0)2(z-z0)2二R2即：(x-R)2(y-R)2(z-R)2=R2球面過P(1,2,5)點，即P(1,2,5)滿足2222(x-R)(y-R)(Z-R)二R.代入得(1-R)2(2-R)2(5-R)2二R2整理得R2-8R15=0即(R-3)(R-5)=0解得球面半徑R=3或R=5;球心M(3,3,3)或M(5,5,5)球面方程為：(x-3)2(y-3)2(z-3)2=9或(x5)2(y-5)2(z5)2=25由包含x2y2=5,z=0且過點P(2,-4,3)知,球面與z軸對稱.即球心在z軸上，設(shè)為M0(0,0,z0)

24、,球面方程：x2y2(z-z0)2二R2球面過x2y2=5,z=0，代入上式得:225z0R又由于球面過P(2,-4,3)，代入方程得2242(3-z0)2二R2即22z0-6z029=R22R=z+522R=z+5”R2=21、z。=4球面方程為：x2y2(z-4)2=21即:聯(lián)立云_6z0+29=R2解得x2y2z2_8z二511.23求半徑為5,對稱軸L為直線：ijxyTz1xy-112312的圓柱面方程.解：設(shè)M為圓柱面上任一點，M0(O,1,-1)為L上一定點，aL=(1,2,3)M0MaL則由點M(x,y,z)到直線L的距離公式：d=_得laJ5214-5214-det(xJjy-

25、12kNNNz+1)=|(3y_2z_5)i+(_3x+z+1)j+(2x_y+1)k|3=(3y-2z-5)2(-3xz1)2(2x-y1)2整理得：13x210y25z2-4xy-6xz-12yz-2x-32y22z-323=022_i11.24求以z軸為軸，以Xy-為準(zhǔn)線，以原點為頂點的直圓錐面方程z=1解：以X。=tx.y=ty.Zo=tz代入準(zhǔn)線方程得x2+t2y2=1z=1消去t得：x2y2=z211.25求直線L:x-1yz1一-3一3繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程.解：l：x1二yo=z過點(1,0,0),&(1,-3,3).1-33%i+t參數(shù)方程為：*y0=-3tz。=3tM(X

26、o,yo,z。)=M(1t,Ot,3t)L繞z軸旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程x=J(1+t)2+(-3t)2cos日y=.(1t)2(3t)2siz=3tIx2y2=(1t)29t2,z=3t消去t得：9x29y2-10z2-6z-9=0.解法二：證L:0二兇z,P(x,y,z)為旋轉(zhuǎn)軸面上任一點.1-33則.過P點作xy的平行面二:z=z.1二與L的交點為Q(1乙-z,z)3P(x,y,z)在旋軸面上點P和Q到z軸的距離相等.即：（13Z（Z即x2y2=（1-z）2z23整理得曲面方程:11.26求頂點為（0,0,z。），并過點（：，）的直圓面方程.解:母線方程為9x29y2_10z2_6z-9=0a

27、,B,丫）母線方向向量aL=（，：，-z0）MM1na-M0（0,0,z）,Mi（：,）任取圓錐面上一點M（x,y,z）,有x2y二Ztg（-z。）2整理得:22（-z。）211.27求準(zhǔn)線為2i2|2小x+y+z=2rz頂點在原點的錐面方程2z解：準(zhǔn)線P:abx2y2z2=2rz設(shè)母線交準(zhǔn)線P于點M（x（）,y0,z0），且有x二tx,y=ty,z0=tz代入P得:22.24江=2tzPJab22,22ytzat2x2t=2rtz即:（22、abj-2z、t（x2十y2十z2）=2rz22、消去t得：（；+;11.28已知圓柱面的三條母線為:x=y=z*x+1=y=z1x-1=y+1=z求此

28、圓柱面方程.解：先求準(zhǔn)線P，對稱軸方向aL=(W)，曲面過(0,0,0)點.垂直于三條母線的平面二：xyz=0二與三條直線分別相交于Pi(0,0,0),二與三條直線分別相交于Pi(0,0,0),P2(-1,0,1),F3(1,-1,0).1111P1P2的中點M1(-,0,)，PP3的中點M2(,-一,0,)222211過M1(-,0,)垂直于RF2的平面為：PP2=(-1,0,1)2211(x)(z)=0即xz1=022過皿2(丄,-丄O)垂直于PP3=(1,-1,0)的平面為：2211(x)(y)=即xy1=022xyz=0聯(lián)立*-x+z+1=0解出交點0(0,1,1)-X_y_1=0P:

29、P:x2(y1)2(z-1)2=2為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線a(1,1,1)將x-xt,yyt,Zo=z，t代入P消去t2得：x2y2z2xyxzyz=0為所求柱面方程.11.29求下述圓形的參數(shù)方程：x二t(1)以直線y=mt_oot+=0z=nt為軸,以R為半徑的圓柱面.以原點為頂點，以2(x-x。)(y-y。)22ab2-二1為準(zhǔn)線的錐面.z=_z。(Zo.0)x=a直線L:y=t繞z軸旋軸所成的旋轉(zhuǎn)面z=bt解:(1)L為軸,半徑為R,即點曲面上任一點到L的距離為R.aL=(,m,n)OM=(x,y,z),其中M(x,y,z)為曲面上點.1-*amOMaL2m2n2有只2|訶|2=晶而由aOMijk一一mn=(mz_ny)i+(nx_#z)j+(y_mx)kxyzaOM2二(mz_ny)2(nxz)2(y_mx)2二(n2m2)x2(2n2)y2(m22)z2_2mnyz_2nxz_2mxyaL2=2m2n2曲面的直角坐標(biāo)方程為R2(呂+m2+n2)=(n2+m2)x2+(階+n2)y2+(Q+m2)z2_2mxy_2rnxz_2mnyz準(zhǔn)線(x-x。)2(y-y。)2P:a2b2z=-zozo0頂點為O(0,0,0)將x=tx,y=ty,z=tz代入P得(tx-X。)2a2.(ty-y。)2b2=1t