圓周率π計(jì)算附簡單應(yīng)用

1、圓周率n的計(jì)算及簡單應(yīng)用一、二的來歷二即圓周率，定義為：圓的周長與直徑之比，是一個(gè)常數(shù)。通常用希臘字母n來表示。英國人瓊斯在1706年首次創(chuàng)用n代表圓周率。但是，他的符號(hào)并未立刻被采用，后來，歐拉予以提倡，才漸漸被推廣開來。此后n才成為圓周率的專用符號(hào)。二的歷史是饒有趣味的。對(duì)二的研究程度，在一定程度上反映一個(gè)地區(qū)和時(shí)代的數(shù)學(xué)水平，。實(shí)際上，在古代長期使用二=3這個(gè)數(shù)值，古巴比倫、古印度、古中國都是如此。直到公元前2世紀(jì)，中國的周髀算經(jīng)里已有周三徑一的記載。后來東漢的數(shù)學(xué)家又將n值改為約為3.16。然而直正使圓周率的計(jì)算建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，應(yīng)歸功于阿基米德。他用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比

2、小于22/7而大于223/71，為此專門寫了一篇論文圓的度量，同時(shí)這也是第一次在科學(xué)中創(chuàng)用上、下界來確定近似值。但是第一次用正確方法計(jì)算n值的，是中國魏晉時(shí)期的劉徽，在公元263年，他首創(chuàng)了用圓的內(nèi)接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法即窮竭法，算得n值約為3.14。在我國稱這種方法為割圓術(shù)。直到1200年后，西方人才找到了類似的方法。后人為紀(jì)念劉徽的貢獻(xiàn)，也將圓周率稱為徽率。公元460年，南朝的祖沖之利用劉徽的割圓術(shù)，把二值算到小點(diǎn)后第七位即3.1415926，這個(gè)具有七位小數(shù)的圓周率在當(dāng)時(shí)是世界首次。同時(shí)，祖沖之還找到了兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分別是22/7和355/113。用分?jǐn)?shù)來代替n，極大地簡化了計(jì)算

3、，這種思想比西方也早一千多年。由中國南朝數(shù)學(xué)家祖沖之計(jì)算出的圓周率，保持了一千多年的世界記錄。直到在1596年，才由荷蘭數(shù)學(xué)家盧道夫打破了。他把二值推到小數(shù)點(diǎn)后第15位小數(shù)，后來又推到了第35位。人們?cè)谒?610年去世后，為了紀(jì)念他的這項(xiàng)成就，為此在他的墓碑上刻上：這個(gè)數(shù)，從此也把它稱為盧道夫數(shù)。之后，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是微積分的發(fā)現(xiàn)，西方數(shù)學(xué)家計(jì)算二的工作，有了飛速的進(jìn)展。1948年1月，費(fèi)格森與雷思奇合作，算出了808位小數(shù)的二值。二的人工計(jì)算時(shí)代隨著電子計(jì)算機(jī)的問世而宣告結(jié)束。在20世紀(jì)50年代，人們借助計(jì)算機(jī)算得了10萬位小數(shù)的二，在70年代又突破這個(gè)記錄，算到了150萬位。到90年

4、代初，用新的計(jì)算方法，算到的二值已到4.8億位。至2010年最新記錄是2000萬億。二的計(jì)算經(jīng)歷了幾千年的歷史，它的每一次重大進(jìn)步，都標(biāo)志著算法和技術(shù)的革新。二、n的定義圓周率（Pi）是圓周長與直徑的比值，一般用希臘字母二表示，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。二也等于圓形之面積與半徑平方之比。因此，二是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。在分析學(xué)里，二可以嚴(yán)格地定義為滿足sinx=0的最小正實(shí)數(shù)x。圓周率5）般定義為一個(gè)圓的周長（C）與直徑（d）的比:二=C。由圖形的相似性可以知道對(duì)于任何的圖形的C的值都相等。dd這樣就定義出了常數(shù)二。但是也可以換一個(gè)角度-從求圓面積和

5、半徑的比來定義?，F(xiàn)說明如下：任取半徑為R的圓，畫出它的內(nèi)接正n邊形，并把多邊形的面積記作Sn。顯然，當(dāng)n無限增加時(shí)，內(nèi)接正n邊形周長Pn接近于圓周長C，Pn接近于圓周長；同時(shí)，Sn也接近一個(gè)確定值。這個(gè)值叫圓的面積A。也就是說當(dāng)n無限增加C時(shí)，內(nèi)接正多邊形面積組成的無窮數(shù)列S3,S4,S5,.Sn,.的極限是A?，F(xiàn)在證明：圓周率二又是A和R的平方的比，即（1）A-二R2成立。事實(shí)上，這時(shí)D=2R,而n,an和園內(nèi)接正2n邊形的面積之間，有明（2）也成立明（2）也成立S2n二nR/2和（3）4二nan的關(guān)系。其中（3）成立是顯然的，下面證如左圖畫。O的內(nèi)接正2n邊形并連接它的中心和頂點(diǎn)，這2n條

6、連線就把它分成2n個(gè)三角形。把其中相鄰的兩個(gè)三角形記作OACOCB,這時(shí)，AB與AC垂直相交于D，于是有（4）OB的面積二CDAB/2。而AB二an是圓內(nèi)接正n邊形的一邊，又ODCD=OC二R。因此，從（4）和（5）就可以得到（6）QAC的面積OCB的面積AOB的面積ACB的面積二(ODCD)AB/2二Ran/2。而圓內(nèi)接正2n邊形是由n個(gè)這樣的相鄰三角形組.9ACJ0CB拼成的，因此由（6）就得到（2）。從（2）和（3）就可得到S2n二PnR/2。當(dāng)n無限增加時(shí)，S2n趨向于A，pn趨向于C，所以（7）的兩邊就分別趨向于A和CR/2，而CR/2DR/2R2,這就得到（1）。這樣就從另外一個(gè)角

7、度一一用圓面積來定義了二。三、n的性質(zhì)二的性質(zhì)怎樣？這是人們研究了幾千年的的問題。關(guān)圓周率的性質(zhì)及人們對(duì)它進(jìn)行研究的歷史，不同的數(shù)學(xué)家研究方法各不相同。在美國數(shù)學(xué)史家達(dá)維德.尤金.史密斯的著作數(shù)論尺規(guī)作圖及周率一書中，將二的歷史分為以下三個(gè)時(shí)代：（1）自古時(shí)至17世紀(jì)中期，這個(gè)時(shí)代大都是求一個(gè)正方形等于一個(gè)已知圓等的努力，或用目前的初等教科書中所描述的那種純粹幾何方法，來求二的近似值。（2）自微積分起，到德國數(shù)學(xué)家蘭伯特證明二是無理數(shù)為止，即約17世紀(jì)60年代至18世紀(jì)60年代的100年，這一時(shí)代的特色，是解析方法替代了古代的幾何方法；并認(rèn)為其著名的研究者為牛頓、萊布尼茲、詹姆斯伯努利和約翰.

8、伯努利、歐拉等。這個(gè)時(shí)代求二值的方法，不再用古代的“窮竭法”，而是用無窮級(jí)數(shù)及無窮乘積等。（3）從18世紀(jì)中期至20世紀(jì)，其特色是探求二的性質(zhì)，即是否為有理數(shù)、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)等。F面要說的是二的性質(zhì)，指的是二是一個(gè)什么樣的數(shù)。例如，它是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)？是常數(shù)還是變量？是有理數(shù)還是無理數(shù)？等等。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在幾何原本一書中，就提到了二是常數(shù)。中國公元前的古書墨子中也有“小圓之圓與大圓之圓同”的記載；周髀算經(jīng)中也有“徑一而周三”的記載，也認(rèn)為二是一個(gè)常數(shù)。雖然古人一直篤信二是一個(gè)常數(shù)，而且知道它的近似值，但其準(zhǔn)確值卻無人知曉。多數(shù)國家的古人最早都認(rèn)為二是整數(shù)3.在中國，出上述周髀算經(jīng)等書籍之

9、外，大約在1世紀(jì)的九章算術(shù)中也是這樣認(rèn)為。在古希臘、巴比倫、埃及、印度、日本中關(guān)于數(shù)學(xué)的史料中也是同樣的記載。例如，希伯來人的兩個(gè)編年史中就有二、3的記載。這種二：、3的認(rèn)識(shí)，大致持續(xù)到劉徽之前，即約3世紀(jì)。不過古希臘是一個(gè)例外-因?yàn)榘⒒椎略诠?00多年就科學(xué)地求得實(shí)用而較準(zhǔn)確的二值3.14.無理數(shù)最早由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的西帕索斯發(fā)現(xiàn)。他計(jì)算出邊長為1的正方形的對(duì)角線長2。但是2不能用任何兩個(gè)數(shù)的比來表示即不是有理數(shù)，也就是是無限不循環(huán)小數(shù)。在當(dāng)時(shí)叫“沒有比”或“不能表示”，后來稱之為“不可通約量”。14世紀(jì)。數(shù)學(xué)家布拉德瓦丁最早采用“無理”一詞后，至十六七世紀(jì)，歐洲人逐漸將

10、無理數(shù)納入運(yùn)算。荷蘭科學(xué)家西蒙.斯蒂文、兩位英國數(shù)學(xué)家沃利斯和哈利奧特、法國數(shù)學(xué)家笛卡爾等都承認(rèn)無理數(shù)。無理數(shù)的本質(zhì)特征是“無限不循環(huán)”，由于在各種形式的二的級(jí)數(shù)展開式中，始終沒有找到一個(gè)遞減的幾何級(jí)數(shù)，也一直沒有找到二的“萊布尼茲級(jí)數(shù)和”的公式，對(duì)二值的“馬拉松”式的計(jì)算競賽中也一直沒有發(fā)現(xiàn)任何循環(huán)現(xiàn)象。于是，認(rèn)為二可能是有理數(shù)的希望逐漸消失。事實(shí)上，早在十五六世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家尼拉斯塔.薩瑪亞吉就確信二是無理數(shù)了。此后在超越數(shù)時(shí)期，人們又猜測二是超越數(shù)，在1822年，林德曼在連續(xù)函數(shù)的意義下，用歐拉公式仁0，終于證明了二是超越數(shù)。下面分別給出二是無理數(shù)好超越數(shù)的證明。二是無理數(shù)的證明蘇格蘭數(shù)

11、學(xué)家詹姆斯.格雷戈里是第一個(gè)企圖證明二是無理數(shù)的人。不過，他的巧妙的證明不很嚴(yán)格，因而不太令人滿意。此外，法國數(shù)學(xué)家托馬斯.范特.德.拉尼也在17世紀(jì)末對(duì)二的物理性做出過推斷，這一推斷在半個(gè)世紀(jì)后，有蘭伯特證明。1737年，歐拉給出了用無限連分?jǐn)?shù)計(jì)算平方根的一般方法，并將自然對(duì)數(shù)的底展開成三種無限連分?jǐn)?shù)。1761年，蘭伯特向柏林科學(xué)院提交論文，初步證明了二也是無理數(shù)。他用歐拉的方法，并從歐拉發(fā)現(xiàn)的e111丄丄2161014和數(shù)學(xué)家布隆克子爵發(fā)現(xiàn)的41232521-兀2+2+2+入手，先得到后來以他姓氏命名的兩個(gè)連分式：ex-1111111x=.,tanx二.。ex12/x6/x10/x1/x-

12、3/x-5/x蘭伯特研究了兩個(gè)式子的性質(zhì)之后，得到以下兩個(gè)定理。定理1如果x是0以外的有理數(shù)，則tanx必然是無理數(shù)；反之，如果tanx是0以外的有理數(shù)，則x必然是無理數(shù)。定理2如果x是0以外的有理數(shù)，則ex必然是無理數(shù)；反之，如果ex為1以外的有理數(shù)，則x必然為無理數(shù)。最后，他假設(shè)x/4，則tanx=1;因?yàn)?是有理數(shù)，所以由定理1知道，二/4必然是無理數(shù)，因而n也必然是無理數(shù)。不過，蘭伯特的上述證明并不十分嚴(yán)格。下面給出n是無理數(shù)的兩種證明方法。證法一：首先給出二一個(gè)定義。定義理=2minl，0,cos：=0,即二是使cos、=0的最小正數(shù)的兩倍。按這個(gè)定義，利用定積分容易得到半徑為r的圓

13、的面積為2行，因此這樣的定義是合理的。下面證明:是無理數(shù)。利用反證法。設(shè)二是有理數(shù)，則2二也是有理數(shù)，于是存在正整數(shù)p,nnq，使得二2=衛(wèi)。由于丄0(n：J因此存在正整數(shù)N使得qn!n!設(shè)f是如下定義的2N次多項(xiàng)式f(x)二f(x)二xN(1-X)N!則f滿足f(x)二f(1-x),f(k)(x)=(-1)kf(k)(1-x)(k=1,2,)展開f的表達(dá)式得對(duì)其求導(dǎo)k次(0空k空2N)得12N3市濃。I2Nf(k)(x)nn-k1)CnxnNn:max和,k若0豈kN,顯然f(k)(0)Z,因此由f(k)(x)=(-1)kf(k)(1-x)，知f(k)(1)Z;若N乞k乞2N,顯然f(k)(

14、0)仏Z,因此顯然f(k)(1)Z。N!N令F(x)八(-1)jpgqjf(2j)(x),則利用fk(0)乙f(k)(1)Z得到j(luò)=0F(0)Z,F(1)Z。進(jìn)一步計(jì)算得NF(n)(x)二2F(x)八(-1)jpN_jqjfj=0N(2j2)2jNjj(x)十兀Z(j)PCj=0qjf(2j)(x)NjN-j1jJ(2j)(x)二(-1)pqfj=0(2N2)N4N2(x)+pqf(x)=p兀f(x),NjN-jj(2j)-(-1)pqfj=0NN-十1)qf(x)其中利用了f是2N次多項(xiàng)式，因此f(22)(x)=0。再令g(x)二F(x)sin：xF(x)cos：x,則g(x)二F(x)二2

15、F(x)sin二x二pN二2f(x)sin二x。一1一、一，且f(1)f(0)=丄g(1)-g(0)。利用Lagrange中值定理得，存在(0,1)，使得F(1)F(0)=1g()=pN二f()sin二。Tt由f的定義可知o：f()1，于是0：f()sin1N!N!,因此十兀0:F(1)F(0)=pN二f()sin二：:：p：1。N!但已知F乙F(1)乙因此F(1)F(0)Z,與上式矛盾。這就證明了二是無理數(shù)。證法二:定理設(shè)a,b,n,為正整數(shù)，令f(x-(a-,則有n!(1)f(ax)=f(x)；b當(dāng)x=O,x=a時(shí)，f(k)(x)(0豈k乞2n)取值為整數(shù)；b假設(shè)二是有理數(shù)，即:-a,a,

16、b為即約正整數(shù)，貝Jf(x)sinxdxTOCo1-5hzb、0為整數(shù)，由此可知二不可能是有理數(shù)。證明(1)直接驗(yàn)算可得f(x)；f(x)；(b_x)nab(ax)n和abx)n(bx)nEkn!(b)n!n!(2)可由(1)得f(k)(x)=f(k)(a_x).(-1)k,k=1,2,.2n;f(0)=f(k)(旦)(-1)k,k=1,2.,2n;顯然bb瞪)=f(0)=0,b由于X=0是f(x)的n階零點(diǎn)，于是f(k)(0f(k)(旦)=0,k=1,2,.n1;b1n1利用f(x)二一cn(-b)ixn1an4，當(dāng)i=0,1,n時(shí)，f(n(0)cn(-b)(ni)!anJn!1=0n!為正

17、整數(shù)，所以f(k)(0)和f(k)(-)均為整數(shù)(k=0,1,.,2n),f(2n1)(x)=0;b(3)假設(shè)二是有理數(shù)，即二二空，其中a,b為即約正整數(shù)。b用分部積分法并由(2)的結(jié)果，即知ff(x)sinxdx為整數(shù)，事實(shí)上，由于f(k)(0),f(k(),sin(k)(0),sin(k)C)(k=1,2,.,2n)均為整數(shù)，且f(2n30,經(jīng)過分部積分得:n(2n)of(x)sinxdx二of(x)(-1)(sinx)dx=(_1)nf(x)(sinx)(2n“_ff(x)(sinx)(2nJ)dx00ZEE。ZEE：-f(x)(sinx)(2nJL)沃+ff(x)(sinx)(2n)d

18、x0-f(x)(sinx)(2nN+.+f(2n)(x)sinxdx00)nf(x)的x)2-f(x)(sinx)2(-宀(x)sinx)(f2n(x)co叫,由此可知of(x)sinxdx為整數(shù)；另一方面，當(dāng)0：x：旦時(shí)，有b221nnan1nan1nzan1a、nf(x)xb(x)bx(x)b(2)(),!bn!bn!4bn!4bb2n:：)，這就表:：)，這就表a于疋0：f(x)sinxdx(0(n“10n!4b明ff(x)sinxdx不是整數(shù)，這個(gè)矛盾說明了兀不是有理數(shù)，因此兀是無理數(shù)。認(rèn)識(shí)了二是無理數(shù)，從理論上徹底解決了求二精確值的問題。從理論上講，人們盡管可以求得它準(zhǔn)確到任意有限位

19、小數(shù)的值，但實(shí)際上永遠(yuǎn)不可能得到準(zhǔn)確值-有無限多位。:是超越數(shù)的證明雖然在1822年，林德曼給出了二是超越數(shù)的證明，但其證明相當(dāng)冗長。后來很多數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)證明進(jìn)行了簡化并且給出了初等證明。下面用反證法來說明。定理二是超越數(shù)證明：若二是代數(shù)數(shù)，則二二也是代數(shù)數(shù)，以片廠門2，.片表示的極小多項(xiàng)式的全部零點(diǎn)，記m二denG)，由L-1，則有(1e)(1e).(1e)=0(1)(1)式也可以寫成2n個(gè)之和，其中-門；nvn，,為0或1.假設(shè)這些有l(wèi)個(gè)不為零，記1,.，那么(1)式寫為qe：1.e：=0,q=2n_1。設(shè)P為充分大的素?cái)?shù)，含多項(xiàng)式f(x)為f(x)二mlpxp(x-：Jp.(x-：JpJ

20、八I(：k)八；e：2f(u)dukikz!0四、n的計(jì)算二值是多少和它是怎樣被計(jì)算出來的？國內(nèi)外關(guān)于二值計(jì)算方面的論著頗豐，但歸納起來主要有五種：割圓術(shù)、分析法、橢圓積分法、概率模型法。下面就分別以這四種方法來計(jì)算二值。割圓術(shù)古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德是割圓術(shù)的鼻祖，因此介紹阿基米德的割圓方法，其他割圓方法都可以從此出得來。阿基米德割圓術(shù)的數(shù)學(xué)思想是：圓周長介于這個(gè)圓的內(nèi)接多邊形和外切多邊形之間，當(dāng)這些多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，圓周長和它們的周長差相差越??；因此，通過計(jì)算這些多邊形的周長來接近圓的周長-只要多邊形的邊數(shù)增多到某種程度，就能得到符合精確度的圓周長進(jìn)而得到一定精度的二值如圖所示，0

21、為圓心，AB為。O的外切正6邊形一邊的一半，OA為半徑，/AOB二300,0是角/AOB的角平分OAABOAAB5710BCBOA0BACCBOAOBOAAB153OAACOAACABAC該式子與前面的譽(yù)嚅比較就得到OA571AC153線。顯然此時(shí)有等嚅小詈。把這兩個(gè)式子相加就得到從這個(gè)不等式出發(fā)，立即可以推出圓外切正6邊形、正12邊形的周長與直徑之比的上界。同樣，計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形的邊長，可以確定比值的下界。利用比例關(guān)系和勾股定理重復(fù)上述過程，一直算到96邊形，最后得到1468822774673722236336內(nèi)接正96邊形周長外切96邊形周長7n7；7120仃1直徑直徑4由此可得出223

22、/71：二:22/7。事實(shí)上采用較簡單的22/7，而不取223/71。阿基米德首次科學(xué)而準(zhǔn)確地確定223/71廠：:：:22/7。取二兩位實(shí)用值為3.14或22/7。從理論上指出了一種可以求得任意準(zhǔn)確度的二值的計(jì)算方法一一-割圓術(shù)即“古典方法”。且第一次在科學(xué)中提出誤差估計(jì)及其準(zhǔn)確度和如何確定的問題，即用上下界確定近似值；這與其后的祖沖之確定二值的計(jì)算方法有異曲同工之妙。分析法隨著微積分的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們對(duì)二值的計(jì)算方法的改進(jìn)也在不斷進(jìn)行，人們開始擺脫由阿基米德開創(chuàng)的“割圓術(shù)”-幾何方法，而采用分析法來計(jì)算二值。下面先來介紹分析法計(jì)算二值的簡要?dú)v史，然后提出一種易于理解的計(jì)算方式。1650年，英

23、國數(shù)學(xué)家沃利斯利用類比、歸納和極限的方法，從計(jì)算圓的面積入手，得出二=24466，載于他的著作無窮算41X3X3X5X5X.述中。這是分析法計(jì)算二值正式誕生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公開他發(fā)現(xiàn)的公式：TOCo1-5hz3579XXXXarctanx=x.（1：x乞1）。3579但其沒有認(rèn)識(shí)到發(fā)現(xiàn)的上述公式已經(jīng)為計(jì)算二值開辟了一個(gè)新的時(shí)代。如果設(shè)式子中的x=1，就可以得到二十1J.。43579由于是萊布尼茲發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子，后人把它稱之為“萊布尼茲公式”或“萊布尼茲級(jí)數(shù)和”。但是，用萊布尼茲公式算二，則收斂太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628項(xiàng)。而要求出二值的第六位小數(shù)

24、，就不多不少正好取2106項(xiàng)。由于工作繁雜，所以很少有人實(shí)際用這種方法去計(jì)算二值。1676年，微積分的發(fā)明者牛頓，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)反正弦函數(shù)的展開式：257丄x丄3x丄5xarcsinx=x.。2漢352漢4X67他設(shè)式子中的X=1/2，就得到1丄13+十十62232324525246727并用他計(jì)算出二的14位小數(shù)。由于用上述式子計(jì)算值效率并不高，所以牛頓的這個(gè)值還不如早于他的古典方法。雖然牛頓計(jì)算二的位數(shù)不多，但此時(shí)由他和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分正開始顯示強(qiáng)大的生命力一一他的計(jì)算是用分析法算二值的第一次小試牛刀。1699年英國數(shù)學(xué)家阿伯拉罕.夏普假設(shè)格雷戈里公式公式里的就得到夏普公式:就得到夏普公式

25、:1337一)111/3(12一63335他用這個(gè)公式將二算到小數(shù)點(diǎn)后72位，其中71位正確。在夏普之前分析法在提高二值位數(shù)上并無輝煌戰(zhàn)果。69年后的夏普用分析法把二值增加到72位，才開始了分析法大規(guī)模計(jì)算二值的實(shí)戰(zhàn)歷程。其后令人眼花繚亂的各種算二值的分析法如雨后春筍。這一漫長歷程一直持續(xù)了近300年-知道20世紀(jì)50年代之后。1789年威加利用歐拉發(fā)現(xiàn)的公式：兀1311二5arctan2arctan2arctanarctan。477937將二值計(jì)算到143位。1844年德國漢堡的數(shù)學(xué)家約翰.馬丁扎卡賴亞斯.達(dá)什用許爾茨.馮.斯特拉斯尼茨基教授發(fā)現(xiàn)的公式:1=4arctanarctan170a

26、rctan199將二值計(jì)算到后205位年弗格森利用高斯發(fā)現(xiàn)的公式：兀111=3arctanarctanarctan44201985將二值計(jì)算到后809位。年6月，美國數(shù)學(xué)家列維.史密斯和雷恩奇，算出了1121位二值，創(chuàng)造了人工算二值的最高紀(jì)錄。隨后隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，“人工”算二的時(shí)代宣告結(jié)束，電子計(jì)算機(jī)在計(jì)算的準(zhǔn)確性和速度方面比人工計(jì)算快樂許多。在1973年，法國數(shù)學(xué)家讓.吉?jiǎng)诘潞屯埋R丁.玻葉等，用CDC-7600型機(jī)花去23小時(shí)18分鐘，將二值算到小數(shù)點(diǎn)后1001250位，登上100萬高峰。直到2010年利用“云計(jì)算”利用23天已經(jīng)達(dá)到2000萬億位。下面從分析法

27、中具體舉例如下：例一：利用沃利斯公式Wallis公式幾種表達(dá)式如下:或J行（2/廠斗FiF面證明這個(gè)公式:X21dx利用分部積分法利用分部積分法(1-x2tir=xl-x2p+/?1/1心2x2(l-x_12dx-0v0=忒1-(1-*)(1-X2ftfc=心丄-叭于是有關(guān)系式(5)(5)從上式可知1。=1li二n/4.根據(jù)這兩個(gè)初值條件有剛!/X嚴(yán)為偶數(shù)(w+l)!7_,幷為奇數(shù)S+1)!4或者（2m）!(2m+1)!1l2m+lr!7T2w-1=(2W+2)2其中n=0,1,2,而由（7）式也可知V厶卿一1厶胡2V厶卿一1厶胡2（8）將（9）式代入（8）式（2m）!（2w-l）!n（2血一

28、2）!*0且有上限，而%_（2機(jī)+2艸（2郴+1）（2冊(cè)-1艸氏（2m+3）（2W+l!2（2m!f（2附+2）4nr+4m+4-f：r-1*（2m+3）（2m+1）4m2+4m+3說明Wm隨著m的增大遞增，所以如下極限存在，且由夾逼定理得其值limWm=7rWallis公式得證。例二顯然Wallis公式比割圓術(shù)要易于計(jì)算得多，且簡單易懂，但是Wallis公式在形勢上仍顯復(fù)雜，且全部乘除算法也難以提咼計(jì)算機(jī)計(jì)算效率。在計(jì)算機(jī)上計(jì)算最好是只有乘除項(xiàng)之和，如：n在式中，實(shí)際上令X=cos、：，則有dx二sin、：d：.式變?yōu)檑逃?I_/二-jsin&(sit?祚朋二fsin6d6I如果令x=sin

29、，則只變換形式不影響結(jié)果。可以據(jù)此設(shè)想利用其它的三角函數(shù)也能得到同樣的結(jié)果。令=f4taifOdO.1(10)注意這里的積分上限改成了二/4，因?yàn)槎?2宀.二/4的時(shí)候ta”1，將導(dǎo)致積分發(fā)散。對(duì)(10)式做變換hcosJoIcose=ta：r2ode-坦嚴(yán)彌Jodeh.7于是有關(guān)系式而初值T=/4，觀察規(guī)律有7T77T7總結(jié)規(guī)律得l_4Il_4I心12胡一1)(12)其中m=1,2,3而從式(10)中可知其中m=1,2,3而從式(10)中可知lim=0flt-KO結(jié)合(12)式，得到戶-黑十（”冊(cè)(13)或者(-lf+12m一1(-lf+12m一1(14)顯然利用這種方法在形式上要比利用Wa

30、llis簡單得多，計(jì)算機(jī)執(zhí)行運(yùn)算的時(shí)候也能更加快速。例三橢圓積分法橢圓積分法建立在橢圓積分變換的理論上，始作俑者是印度數(shù)學(xué)家拉馬努金。他在1914年“模方程和二的逼近”一文中，給出了14個(gè)計(jì)算二的公式。其中之一，是關(guān)于橢圓積分變換理論和二的快速逼近之間，聯(lián)系緊密的“拉馬努金公式”（“LM”）122；:-（4n兒110326390n、二亦n燉（詼）。用“LM”每計(jì)算一項(xiàng)就可以得到8位的十進(jìn)制精度，“LM”的(1/4人(1/2人(3/4人(n!)3(1/4人(1/2人(3/4人(n!)3一個(gè)有趣的“變種”是994n2110326390n這里(Cn)是遞增階乘，即G)=c(c1)(c-2).(cn-

31、1)不過，拉馬努金沒有給出公式的哦證明，僅僅給出了一些不充分的解釋。直到1987年，才有加拿大的波爾穩(wěn)兄弟給出證明。只取“LM的前兩項(xiàng)就有122r（4、22r（41兒1103263901匚二莎苛（躋）9801荷（站），由此可以算出7：3.1415935.：3.14159.-得到了六位準(zhǔn)確二值。由此可見，“LM是一個(gè)收斂很快的公式。例三概率法首先用概率法計(jì)算二值的是法國數(shù)學(xué)家蒲豐，該實(shí)驗(yàn)也被稱之為蒲豐實(shí)驗(yàn)，而此類問題也被稱為蒲豐問題。我們先給蒲豐實(shí)驗(yàn)做一個(gè)通俗的說明。假設(shè)下圖中平行線距離為4厘米，針長2厘米。將任意擲向向平耳/臚;行線時(shí)，可能相交-有一端碰到平行線也二f一-算相交，也可能不相交。

32、問題是，大量多次投擲時(shí)，投擲總次數(shù)n與相交次數(shù)k的比值即n/k=?根據(jù)“公平競爭”原則，顯然每一毫米長的針與直線相交的次數(shù)為k/20，沒2毫米則為2k/20，等等-針與直線可能相交的次數(shù)與針的長度成正比。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論對(duì)上圖所表示的任意形狀的、總長位2厘米的針也適用。不過，彎針可能有幾處和直線相交，就必須把每個(gè)交點(diǎn)都算進(jìn)去。現(xiàn)在，改用用直徑4厘米，周長4二厘米長的圓形針，任然將它投向上述平行線。顯然，每次投擲的必然結(jié)果是，和兩條直線都相交（相切也視為相交）。如果哦投擲n次，則相交次數(shù)必為2n次。對(duì)比以上實(shí)驗(yàn)，并用上述可能相交次數(shù)與長度成正比的結(jié)論，就有2/（4二）=k/2n，也就是n/k二二。

33、1777年，蒲豐在1760年寫成的或然算術(shù)試驗(yàn)出版，書中給出了擲針問題的一般情況的解答。如果向畫有等距離且距離為a的一組平行線投擲長為1（1:a）的直針，那么，直針與直線相交的概率為p=21/（a二）。以下證明這一結(jié)論。如左圖所示，設(shè)AD與平行線中的任意一條MN相交，顯然針不可能和兩條線相交，只有當(dāng)且僅當(dāng)s二BC乞（Isin）/2的時(shí)候，針和MN才相交。又建立一個(gè)s隨變化的坐標(biāo)系，同時(shí)畫一個(gè)長為二、寬為a/2的矩形。那么，這個(gè)矩形的面積表示什么呢？不管線與針相不相交，都有s=BCa/2和汀。所以，矩形面積表示相交和不相交次數(shù)的總和即總投擲次數(shù)。再在上圖所示的位置畫正弦曲線s=（lsin）/2的

34、半周。顯然，陰影部分內(nèi)的點(diǎn)就表示線與針相交，而陰影部分的面積就表示相交的次數(shù)。這就得到概率p二k/n二陰影面積/矩形米面積二ld：si-（:）=21022a兀，就是p=k/n=2I/（a二）。這也證明了前述p=2l/（a：），并且得到投針法求二的一般公式專=2nl/（ak）。此時(shí)，如果向前面那樣假設(shè)2I=a就得到:二n/k。蒲豐實(shí)驗(yàn)引出過很多數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的成果。例如，著名的蒙特卡羅方法即統(tǒng)計(jì)方法，他的濫觴就是蒲豐實(shí)驗(yàn)。再如，投針問題用頻率代替概率，還提供了一種概率模型，計(jì)算這種模型的概率叫幾何概率。此外，蒲豐實(shí)驗(yàn)還啟發(fā)一門重要的數(shù)學(xué)分支-積分幾何的誕生因此蒲實(shí)驗(yàn)的理論實(shí)踐意義都十分重大。五、

35、二的應(yīng)用二是一個(gè)奇跡般的數(shù)字，數(shù)學(xué)公式、定理中幾乎無處不在，而隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它也會(huì)繼續(xù)在數(shù)學(xué)以及其他學(xué)科的大海里繼續(xù)漫游。下面舉例說明二在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科當(dāng)中的應(yīng)用。例一二與曲線圖形面積有關(guān)圓或其中一部分的問題要涉及二，這已不足為奇，但求非圓或圓弧圍成的圖形面積時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)二。例如求心形線r二a(1cos(a0)所圍平面圖形的面積A，有A%10232a2A%10232a2二12r2=2.a(1cos2dr出現(xiàn)二的原因，還是求面積過程中積分運(yùn)算的結(jié)果。再看一個(gè)一個(gè)名例：求正弦交流電i=Imsi的平均值Ipj。這就相當(dāng)于求正弦曲線所圍成的曲線圖形面積。如圖所示正弦交流電的正負(fù)半周對(duì)稱，所以，在一個(gè)

36、周期內(nèi)交流電的“平均值”為0，這種含義的“平均值”沒有任何意義。而前述Ipj則是先分別取正負(fù)半周的絕對(duì)值再“平均”，這是有意義的；這種Ipj又叫均絕值。因此，要求它的Ipj就要先求得正半周的平均值。可以算得電流i的Ipj是出21PJ2lmsintdt/(T/2)=兀即平均值是最大值Im的210.637倍；對(duì)電動(dòng)勢和電壓也存在這倍數(shù)關(guān)系。在這里，二又一次出現(xiàn)在計(jì)算結(jié)果中nLaOn例二二與旋轉(zhuǎn)體體積如圖所示，任意曲線y=f(x)，他在區(qū)間-a,b上繞軸旋轉(zhuǎn)，并與垂直于X軸的兩個(gè)平面(這兩X個(gè)平面由x=-a和x=b繞X軸旋轉(zhuǎn)而成)的一部分構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。其體積微元即陰影部分的體積就是二y2dx，所以

37、他的體積V二b：f2(x)dx，-a結(jié)果中必然含有二可見，星形線旋轉(zhuǎn)體的體積公式也含有二例四二與伯努利難題雅各布.伯努利對(duì)無窮級(jí)數(shù)很有研究，也求過一些無窮級(jí)數(shù)的和，但在求1匕二匕.一一“伯努利級(jí)數(shù)”時(shí)卻一籌莫展。在伯努利223242死后兩年，歐拉用奇妙、大膽的類比求得這個(gè)和為二2/6。以下是歐拉的求法:假設(shè)有一個(gè)2n次代數(shù)方程TOCo1-5hzbo-b|XTOCo1-5hzbo-b|X這就是著名的1$4-。這就解決了伯努利難題。px6223242歐拉采用的類比方法雖然巧妙、大膽，然而有失嚴(yán)密。因?yàn)?，雖然“一元n次方程有n個(gè)根”成立，但既無“一元無限次方程有無限一（_1）ndx=0。（1）式（1）有2n個(gè)不同的根一“_2.Jn。如果兩個(gè)代數(shù)方程有相同的根，而且常數(shù)項(xiàng)相等，那么這兩個(gè)方程其他項(xiàng)的系數(shù)也應(yīng)該分別相等，那么有222bo_bixb2X-.（_1）tnx=0（1-2）（1-2）（12）。P1卩2Pn比較上式兩邊x2的系數(shù)。就得到1b二bo（.2.22）。（2）_1_2n考慮三角形方程sinx=0，他有無窮個(gè)根:0,_二,2二,。將sinx展開為級(jí)數(shù)后，把方程兩邊除以x,就得到1-x2/3!x4/5!-x個(gè)根”的定理，也不知道一元無限次方程與系數(shù)的關(guān)系。歐拉個(gè)人也/7!=0。（3）顯然（3）式的根是：:,2二,。本來（3）式的