大一大二大一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)1

1、工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)科hqlee第一章、極限、連續(xù)集合、與函數(shù)1數(shù)列的極限2函數(shù)的極限3無窮小量與無窮大量4連續(xù)函數(shù)5第三節(jié)函數(shù)的極限3.13.23.33.4函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的性質(zhì)兩個(gè)重要極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則習(xí)題1.3（A)1(2)，5(1)(3)(5)(6)，10(3)，11(2)12(2)(3)(6)(7)(8),13,14,16,17(3)(4)3.1 函數(shù)極限的概念一、自變量x無限增大時(shí)的函數(shù)極限所謂 x 無限增大，包括三種情形：無限增大，記作x ；1）x取正值)2x取負(fù)值而 x 無限增大，記作x ；)3 .定義 X定義3.1（x趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限）設(shè)f：a,是任一

2、函數(shù)，如果存在常數(shù)，它與f有如下關(guān)系： ,0X則稱A是當(dāng)x 時(shí),恒有 f ( x) A ,x 的極限，記為limx( A)ff.xx 函數(shù)極限的定義：fx ( A) limx ( x A 使當(dāng)x 時(shí), 恒有x 函數(shù)極限的定義：x ( A) limx時(shí),恒f有 A 使當(dāng)x ( x).定理arctaxn limli例m 12x arctaxn不存在arctxan x lim2xlimfx ( limA) ( f)x A且limfx A(xxx證明 lim sin x .0例2xx 1sin xsin x 0 證xxx取 X 1 , ,0則當(dāng)時(shí)恒有sin xsin x .0故 limxxx x (

3、c)則直線,y c是函數(shù)y :定義如果limffxx的圖形的水平漸近線.二、自變量x趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限設(shè))(在x0的去心鄰域有定義,若存在)(滿足如下關(guān)系:定義3.2常數(shù) A,它與 ,0 ,0使當(dāng)0 時(shí),0 f (恒有則稱A是當(dāng))(的極限,記作( x) A 當(dāng)x x00 時(shí)或fx ( lim)0注意： .1函數(shù)極限與x 在點(diǎn)x0是否有定義無關(guān) ;f.2與任意給定的正數(shù) 有關(guān). 定義 ,0 ,0limfx(A)0 時(shí) ,恒 使當(dāng) 0幾何解釋:有f (0yxA AA x0 x0 ox0 x對(duì)于的 ,0總存在一個(gè) ,0使當(dāng)x在 x0的去心 鄰域時(shí),函數(shù)x 圖形完全落在以直線 為中心線 ,寬為2的

4、帶形區(qū)域內(nèi) . 1 x 2.2證明 lim例1x 1x 1 1 2x 2證x 1)(fx 1只要取 , ,0 f (要使當(dāng)0 時(shí),就有0 x2 1 x 1 1 x 2 lim.2x 1x 1 ,0 ,0使當(dāng)0時(shí),左極限 或f (恒有fx ( A)x0 ) A.記作limf0 ,0 ,0使當(dāng) 時(shí),右極限0 或f (恒有x ( A)x0 ) A.記作limxff0 注意到00 xx00lim f ( x) A f ( x0 )0 f ( x0 )0 A.0驗(yàn)證 lim x 不存在.例2yxx 0 lim xx1lim證xxx0 x0oxlim(1 )1x0 1x lim xlim11limx0 x

5、xx0 x0lim xf( 不)存在.左右極限存在但不相等,x 01驗(yàn)證 lim e x不存在. x0例31e x11 證 lim x0lim0 xx0lim 1 lim e x x0 xx01xlim e不存在.x或 lim e x不存在.x01 不存在.同理可li證m ：arctanxx0 x 0(,求limxf().設(shè)例4 0 x 0 x 0是函數(shù)的分段點(diǎn), 兩個(gè)單側(cè)極限為解lim x ( 1x 0lim( x 0) (2lim(x 0f )limx 0,11)左右極限存在且相等,(x)l故imfx 01.函數(shù)極限的定義lim nf( )A;nx( )A )Ax( )Alimflim;f

6、x(lim;f;x x x x( )A )Ax( A)limflim;fx(lim;f.000( ) 0 時(shí)刻 從此時(shí)刻以后,limf f (恒有(見下表)過 程x x000時(shí) 刻從此時(shí)刻以后0 0 0 x x0 x x0 0)(f 過 程n x x x 時(shí) 刻N(yùn)從此時(shí)刻以后n Nx Nx N)(f 三、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理3.1(Heine定理）( 設(shè)fU（為一函數(shù)，則limf)00（的充要條件是：對(duì)于0 )中的任何數(shù)列，xn（0 n ），都有l(wèi)im(n )只要f.nn（也稱為函數(shù)極限的歸并原理）（( limf) 的充要條件是：對(duì)于xU)中的任何00 x0，都有l(wèi)im(n )數(shù) 列f

7、.nnx ( A)， 則 ,0 ,0證（必要性）設(shè)limf0 ( x使當(dāng)0 xx)時(shí)，恒f (有0 x ，故對(duì)上面的，又由于xN Ux0 ，且lim xn0nnn x0 ,使,恒有從而，n 0 N n ( xn A ., 使得故lim,恒有 )Afx(nn（( limf) 的充要條件是：對(duì)于xU)中的任何00 x0，都有l(wèi)im(n )數(shù) 列f.nn( 若limf)不成立， 則充分性用反證法.0 0 使得,x U0，( x0 )，都0 00 )，使f (從而，對(duì)于 ,1 0 x1 f (0，11得1對(duì)于 1 ,x2 U (x)，0， 0f (使得0222則 ,0 ,0使當(dāng)10 f (xx0( x

8、0 )時(shí)，1 n ( x0， 對(duì)于 0,使得恒有 f (nn n x0n ，但是lim(n )xnfn1 不存在.例5證l明imsinxx 0取x 1 ,證xn ;0,xnlim且0nnn1nsin,0sinlimxnnn,取x 1n x x ;0lim0 且,nnnn2n 1 sin limsinlim而lim1,1xn2nnn1 不存在.故limsin二者不相等,xx03.2函數(shù)極限的性質(zhì)fx ( a)，則設(shè)lim定理3.0(1)（唯一性）當(dāng)x x0時(shí)，fx 的極限是唯一的。x 在x0是局部有界的.(2)（局部有界性）f即M 0與 0 使得當(dāng) 時(shí)x x) M0)li若mf (xx則,x 在

9、(x充)分大時(shí)局部有界，即0與得當(dāng)x X時(shí)) f定理3.3（不等式性質(zhì)）f )x A, B(lim設(shè)(ligmx x0).若A 0(或A 0 ,則 （）局部保號(hào)性,當(dāng)x U ( x0 , )時(shí)(或,().（）局部保序性x( U , x),0若0 , （）有f有f(x )gx則(A ),B.U若 ,0使得x ),x0原理 g( x ),且A B,則 lim都.0定理3.4（函數(shù)極限的則運(yùn)算法則） A,x ( g)lgimx B(則 ) ( B)lim)(f)x ff,設(shè)(12limlim;x ( g ( B);)( Alim 其中B .0(3),)(x( 存在)x) ( 存在)B推論1 如果li

10、mlimf(cf f而c為,常數(shù),則limx().果lim是,正整數(shù),則推論2 如lim而nn()lim().四 1x 3lim.求例1xx 2x 25lim)lim2x3 x 23 2 53lim 2552解limlimlimx ()lim 22,x 3limlim13 1x 37 limx 2x 2.x lim3x 22(53)3x 2x 2 1x 200求 lim.(型 )例2x 2xx 1解 1 1 (x 2x 1 ()12 lim limlim. 3 (2x 3x 1 ()x 1x 1 5求 lim.例3型 1xxx 解2 5 23x 3 2x lim.lim 1x 147x 7 x

11、x 3,0,0一般的， 當(dāng)a0和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有0a0當(dāng) b0 xm 1xn1 ama 0 當(dāng)01mlim bnbx 01n當(dāng)例如)130 (3 2)20(220lim20 5)102x (7)107求 21n( lim2 ).例4nn解先變形再求極限. n21n ( )limlim22nnnn1nn) 11n12 lim 2 lim 1().n2n 2n定理3.5（復(fù)合函數(shù)求極限法則）設(shè)y ) 是由y 定義在f (u)與u (復(fù)合而成U復(fù)合函數(shù) fx0 中,0的某去心鄰域f u( )A ) 0 lim存在 0 ,0此條件不并且,若limg(,00,使得對(duì) U) (, 都有g(shù)0 ,則可缺少，否

12、)則結(jié)論不一定成f ( g x) A limlim(00 2 u x x ) 0)( 例如設(shè), 立. )(, 0 u 1x lim0u( )lim0f2f gx(則) f ,u0 x0 x 21 xln()例5limx0 x1limln( x 1x ln)e 1x0 1exx 1 例6limx0令xt lim 11tt l0n()記住結(jié)論：ln(1 x)ex 1 lim,1lim 1 x0 xx0 xC3.3兩個(gè)重要極限BxD(1)oA )x圓 O, 圓心角AOB (,x0 設(shè)作2圓的切線，得ACO .OAB的高為BD ,扇形OAB的圓心角為 x ,于是有sin x BD,x 弧,ABtan

13、x AC,lim sin x 1x 0 xC即, cos x sin x ,1 sinxB上式對(duì)于 x .0也成立2xDoAx 時(shí),當(dāng) 0 2 x 2xx2cosx 1 1x2cossin2(2) 2)2,02x 2(cxos lim10,0 limx 02x 0sin x 1 li,m.1limcoxs 1又li1m ,xx 0 x 0 x 0lim tan x sinx1 1 lim例7xxcos xx0 x0tlim arcsin x 1 lim例8sin ttt 0 xx0lim arctan x 1 lim例9tan txt 0 xx0 x2sin2sin221cosx 1 lim

14、lim 2limx0例10 x2xx22x 0 x02()2xsin2 112122 lim() 12 .x22x 0(2)或l( 1x e證 先證lim 1)設(shè)n=x,則 n x n+1x 1(x1 1 )x 1 )n1)n1(1(n 1xn( 1x elimx 1)由性x( 1( 1t(t xlimtlimt x)tlimx 1) 1)t 1xtt 11t 1limt 1()1 () e 1 et 1t 11im( 1 x )x0lim( 1 ) x e1x x( 1x求lim 1例11xx 11 1 .x1 lim原式lim( 1 解x1ex x x x )1(3 x2 x求lim(例122 xx 2 x12 x1 2x 2 1ln()x2原式lim(解x21 e .2 2lim exx 2 ,g1 A)x如果 1 ,glimf1型(f l若im1f 11 ) e Alimlfimg 1f (則3.4函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則定理3.6(單調(diào)有界準(zhǔn)則)f在區(qū)間 ， 單調(diào)增（減）（1）設(shè)函數(shù)有上（下）界，則lim xf( 存在