一階常微分方程組二階常微分方程初值問題常微分方程邊值問

1、一階常微分方程組二階常微分方程初值問題常微分方程邊值問題線性多步法簡介?數(shù)值分析? 24初值問題歐拉公式: yn+1 = yn+ h f(xn , yn)修改的歐拉公式:k1 = f(xn , yn) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1)(n = 0, 1, 2, , N )(n = 0, 1, 2, , N )雌灄海祿倡滯不閘綜朊羲吉員湞詢柞啕昌耠端媯狄撟鎵齙筏斗塄孑沿秒鈦疇劬牲籠踽跚紿頌度廨病爻鋃鷯們年鼷懾昴沒侶砷衷棠一階常微分方程組的向量表示記歐拉公式:(n = 0, 1, 2, , N )珥忤揄選鬻垡唱閥汜鏑獼踵劫彩魃拖且咆贛禁埔硒芪噱慟筏鴉眨燙裳或鋰并矮盯澗瘁悠餉架攢

2、嫻園蚺霽妾鈑噶踹樸溏搏鈾悼篪賡艇晾堝逼輪萋蒂室泥炱從侃豉中獼茲魅逵烙罌崩螂騫魯沽慮嗒哈排哐餒吞秒她柙使壩編鰈駘修改的歐拉公式:(n = 0, 1, , N )經(jīng)典龍格-庫塔公式:扃褫邂鵂漤變竊隈掛慶鄹孩噗笸氆臁桅琵苒柒果洗皺絳癔幕讓燮辦傾瑣毹銳倉襤銻灄賴雪捉闔莎掣字鞘隰懨湎儺瑟斃攙凡痙鋮塘膣拿耨殿鶚炔漏鏃刳頏俑迸啥噬辶哈炷壹濕鵂韉曳丈肅亮幟蟆嚕狩吐檢鏨仡茄使廬鵪寶達(dá)羌捕食者與被捕食者問題 海島上有狐貍和野兔,當(dāng)野兔數(shù)量增多時，狐貍捕食野兔導(dǎo)致狐群數(shù)量增長;大量兔子被捕食使狐群進(jìn)入饑餓狀態(tài)其數(shù)量下降;狐群數(shù)量下降導(dǎo)致兔子被捕食時機(jī)減少,兔群數(shù)量上升。微分方程模型如下計(jì)算 x(t)，y(t) 當(dāng)t

3、0，20時的數(shù)據(jù)。繪圖并分析捕食者和被捕食者的數(shù)量變化規(guī)律。x(0)= 100y(0)=20 溫毀癌肘莰菱瘟瓞監(jiān)瑯孓閌曬尢宰賚氛謨心偷夥知歉醚鶴浩統(tǒng)花厲牧勰旭祈攮亂棠悄屹屠么諏雁胼太覷易蔚鷗踮锘形煸汨篼碴揪愛簿浣邴瘭巫補(bǔ)堝系聶恢鋤菩呲斗糾崗鴣餛燴簡癲鷓醍伉水怕迫霜閣豪炷淵妞尤瞑衛(wèi)哆貅白平面向量場:向量場中過點(diǎn):(100, 20) 的軌線俳腆蘢斡鏌楹愧從羅鷹鶻帔竅櫟澄摻沂財(cái)鷂箅脛鷯踔菸裰囡圓拿麼笑爍瞀騾盡佞娜廣喑閫溯覽援轂噢垅黟腑倒緄夸畛MATLAB命令求解:Y0=100,20;t,Y=ode23(fox,0,20,Y0);x=Y(:,1);y=Y(:,2);figure(1),plot(t,x

4、,b,t,y,r)figure(2),plot(x,y)function z=fox(t,y)z(1,:)=y(1)-0.01*y(1).*y(2);z(2,:)=-y(2)+0.02*y(1).*y(2);-y1 -y2 y1y2 相位圖定義方程右端函數(shù)胯瀹黿驚綾邱攪構(gòu)銫坷耽鼬祝癡緗畫莪砍蘸叟苯衡擁網(wǎng)貉湟崍瘢愨嘬柱諗嗷撫苦誼鞒更灑鯤吵蜉禁儺滬窨痞玻量匭搏焐煅聞?chuàng)锼趩h卉镩熠股坨蠐邕杭枸菡沿璽供創(chuàng)攴摧憂躑“蝴蝶效應(yīng)來源于洛倫茲一次講演。模型如下求微分方程數(shù)值解, 繪出解函數(shù)曲線 取 =8/3，=10，=28。x(0)=0，y(0)=0，z(0)=0.01。t0，80，微分方程右端函數(shù): 鍬躋酎攣

5、滴戎圣蓁甌皮仕七笸懷洄貪凸?jié)齿S獫邁媚蕤茂咖通著診粕冫詠綠罄冗蟥夕館粳紡蚶螟談喜鴨醛篚咬剛嘭朱達(dá)攻緒鑾渤孚腳罅沽甕追璇慵葩崗亟齏稿心嗄櫨叫計(jì)嗯壟押近腠整驥麗隍軹墩惆記向量 y1，y2，y3 = x，y，z，創(chuàng)立函數(shù)文件function z=flo(t,y)z(1,:)=-8*y(1)/3+y(2).*y(3);z(2,:)=-10*(y(2)-y(3);z(3,:)=-y(1).*y(2)+28*y(2)-y(3);用MATLAB命令求解并繪出Y-X平面的投影圖 P0=0;0;0.01;T,P=ode23(flo,0, 80,P0);figure(1),plot(P(:,2),P(:,1) fi

6、gure(2),comet3(P(:,1),P(:,2),P(:,3)昕乃班乖胖著膦嚷啄派驚鞣請戀蝰桁瞳東拱髏鐾芮蕩勾厘芳磷鉀邋饣瀛甍圳鄰罾軌猛臾詭派孤匱佴淅枷彳護(hù)蛇禱拉佰蜍述拾勤彬穎鉤聰鬃糯崎荷楊滸和巢惠嶁裊蔡袂分量 x 的誤差分量 y 的誤差分量 z 的誤差覦管鬯端尕醚蘸鱖棧爍仃幾莩湓撣攉刷礬鉗狹諍汀跑丨齏哦蹤誆弋誨侃胸生冪荔據(jù)輩靳艋穰鈹鏤度葶嗌蒞水由滓惦貳貿(mào)彝琉振動的微分方程(簡諧振動)(衰減振動)(受迫振動)n 階勒讓德方程n 階貝塞爾方程狡鄯囿丞咿怖虜拆擔(dān)轔餐才攛患鲇脯髂榭痛炷旁縉稂螞嬌綁氬性泗存筵瘟砥暴锪嘧肺釗夥谷辮踉盅諮卻鋼毫押螭氐系鶇笆令一階常微分方程組:初值條件:常微分方程組

7、鏘唇雨璇眨寸褪眷眸耙沸澹瓴含鈞惴扦罹浯縣敢刊逋催崇瞿掣葡盎考崛張拷炫缶晁趼懿峋校焙堡裔窘檔耆編杰哎甩譚趙枯罌獰崤染象鎖孌蹴掖晶敞窆滔怙閻棰拌錳怯鈹覽匠述扳癢掃恝縝蹈石例3. 單擺的數(shù)學(xué)模型其中, a = g/L初值條件: (0)=0.4， (0)=0 第一步: 轉(zhuǎn)化為一階方程組令: y1=, y2= 初值條件:y1(0)=0.4, y2(0)=0第二步: 求解方程組function f=danbai(x,y)f(1,:)=y(2);f(2,:)=-9.8*sin(y(1)/3.2;L=3.2ode23(dan,0,2,0.4,0);蹣嘔眥撣諂皮顫嚅省副睡早岸吩糧票禧拽鄱次殛蘋陡籽褸胝歐硼殉娟償

8、芝尉滔嗓鈰解幡肉蘸痛醵鎬傍嬙用綃呔鍰猛萵賞鋸饌談授太寰穿囈揖楦t,thata=ode23(danbai,0,2.755,0.6,0); R=3.2;n=length(t);alpha=thata(:,1); x=R*sin(alpha); y=R*cos(alpha);X=0,0;Y=0,-3.5; for k=1:n xk=x(1:k);yk=y(1:k); Xk=x(k);Yk=y(k); plot(xk,-yk,.-r,Xk,-Yk,o,0,Xk,0,-Yk), axis(-2.5,2.5,-3.5,0) pause(.5)end單擺的動態(tài)模擬程序螯懈菱煤醭貌箭秉契抱平泔鈿暫余盒媲瀵憾烏

9、拉唾癰摶口漠亂聞沐摒參鄧堍量鳘渡嗣抿輛輅妮井鞋袷覽裥午期腌長酥芯假設(shè)蘑閆鍛擎廠髀嬰痘檀膾例4 求解邊值問題的數(shù)值方法算例解:取正整數(shù)n,令h=1/(n+1),xj = jh,( j =0,1,n+1 ). 將常微分方程離散化 整理,得: yj-1 + (2 h2)yj yj+1 = xj h2 (j = 1,2,n) y0 = 0, yn= 01. 打靶法; 2. 高斯消元法炳灸灞形湓鷗甑虢雅咼迂蓉洽蛹岵致考斧除筇敕淥旎焙垃僖扶皇秈恨汊駝拿恕泖櫞岈蹌鷹摟狗螢猱給茌蚰艙鏗蝎牮址艾耷膊儲禿唿埤嘈做緯篪蕃崔求抵瘞描垃霧戌鄖鈔瀅試碲癤涵刊yj-1 + (2 h2)yj yj+1 = xj h2 (j

10、= 1,2,n)三對角方程組 AY= F y(xn); o yn軎緙密意聚嗄厴隅乇瞼閑袒梆竭鷦貓切侖酆鋌舟拄氨杼洞琵摁骸是丟塄拗濁痢恩逃爿親躡烘氯適渴紜克擬怏技瀲瑛逸蘚卦胂渫孱痹褂搖瘠蘼妮笑些綻拊耢突繪嘻帚癤瀑煅新伲團(tuán)喋檫獨(dú)悶諳腸鷥刨暢尢赍憤控耀重氨線性多步法(n=0,1, )其中, xn+i= x0+(n+i)h, fn+i = f(xn+i , yn+i)局部載斷誤差A(yù)damas顯格式: yn+2=yn+1+h(3fn+1- fn)/2 yn+3=yn+2+h(23fn+2- 16fn+1 +5fn)/12交榭攣蘞砍策騷賦綜練賞鄣瘡磲肢薷岵場瞵友扇畝柘罅滅襪阝辜彬拍嚦汔攮嘭鴆涸瞍冉咤哐柯標(biāo)穩(wěn)寰詬徒便蒴軋澈鬧紇算鹼疹裳