《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》參考教案

1、課題：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)教學(xué)目的：1.理解，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的概念與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入與理解授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的重點(diǎn)，也是導(dǎo)數(shù)的難點(diǎn).要弄清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo).求導(dǎo)時(shí)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)要寫明，可以通過具體的例子，讓學(xué)生對(duì)求導(dǎo)法則有一個(gè)直觀的了解教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C0；(xn)nxn1；(sinx)cosx；(cosx)sinx2.法則1u(x)v(x)u(x)v(x)法則2u(x)v(x)u(x)v(x)u

2、(x)v(x),Cu(x)Cu(x)(v0)法則3uuvuvvv2二、講解新課：1.復(fù)合函數(shù):由幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù)由函數(shù)yf(u)與u(x)復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是yf(x)，其中u稱為中間變量2.求函數(shù)y(3x2)2的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路：方法一：y(3x2)2(9x212x4)18x12；x方法二：將函數(shù)y(3x2)2看作是函數(shù)yu2和函數(shù)u3x2復(fù)合函數(shù)，并分別求對(duì)應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：y(u2)2u，u(3x2)3ux兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘，得(3yu2u32xux)23x18，從而有yyuxux當(dāng)u0時(shí)，由ylimy對(duì)于一般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求yx時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為求y

3、u和ux的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux=(x)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yu=f(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且yxyuux或fx(x)=f(u)(x).證明：（教師參考不需要給學(xué)生講）設(shè)x有增量x，則對(duì)應(yīng)的u，y分別有增量u，y，因?yàn)閡=(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，所以u(píng)=(x)在點(diǎn)x處連續(xù).因此當(dāng)x0時(shí)，u0.yuyylim.且lim.xuxx0uu0 xyuyuyulimlimlimlimlimx0 xx0uxx0ux0 xu0ux0 x即yyuxux(當(dāng)u0時(shí)，也成立)4.復(fù)合函

4、數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解求導(dǎo)相乘回代三、講解范例：例1試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？y(2x2)3；ysinx2；ycos(4x)；ylnsin(3x1)解：函數(shù)y(2x2)3由函數(shù)yu3和u2x2復(fù)合而成；函數(shù)ysinx2由函數(shù)ysinu和ux2復(fù)合而成；x)由函數(shù)ycosu和u函數(shù)ycos(44x復(fù)合而成；函數(shù)ylnsin(3x1)由函數(shù)ylnu、usinv和v3x1復(fù)合而成說明：討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí)，“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、

5、三角函數(shù)等例2寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：ycosu，u1x2；ylnu，ulnx解：ycos(1x2)；yln(lnx)例3求y(2x1)5的導(dǎo)數(shù)解：設(shè)yu5，u2x1，則yyu(u5)(2x1)xuxx5u425(2x1)3210(2x1)4注意：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時(shí)復(fù)合函數(shù)可以由幾個(gè)基本初等函數(shù)組成，所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個(gè)整體，然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).例4求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù).解：令y=f(x)=sinu;u=x2yxyuux=(sinu)u

6、(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+3)的導(dǎo)數(shù).)時(shí)，求ux，但此時(shí)u仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+.分析:設(shè)u=sin(2x+33解：令y=u2，u=sin(2x+=2ucosv2=2sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+33yxyuux=yu(uvvx)3yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x)cos(2x+)233=4sin(2x+2)cos(2x+)=2sin(4x+)333即yx=2sin(4x+23)yyu=(3u)u(ax2+bx+c)x=u3(2ax+b)3即yx=2axb例6求

7、y3ax2bxc的導(dǎo)數(shù).解：令y=3u，u=ax2+bx+c12xux122axb=(ax2+bx+c)3(2ax+b)=333(ax2bxc)233(ax2bxc)2例7求y=51xx的導(dǎo)數(shù).解：令y5u,u1xxyyu=(u)u(xux51xx)x1(1x)x(1x)x11x4x(1x)4u5()525x5xx255(1x)4x65x5(xx2)411x55()x4111x2即yx=15x5(xx2)41例8求y=sin2x的導(dǎo)數(shù).11解：令y=u2，u=sinx，再令u=sinv，v=x1yxyuuxvx=(u2)u(sinv)v(x)x1111=2sinxcosx=x2sinx=2uc

8、osv01x212x22=(2x23)x1x2+(2x23)xyx=x2sinx例9求函數(shù)y=(2x23)1x2的導(dǎo)數(shù).分析:y可看成兩個(gè)函數(shù)的乘積，2x23可求導(dǎo)，1x2是復(fù)合函數(shù)，可以先算出1x2對(duì)x的導(dǎo)數(shù).解：令y=uv，u=2x23，v=1x2,令v=，=1+x2vxvx=()(1+x2)x112xx=2(2x)221x21x2yx=(uv)x=uxv+uvx1x2=4x1x22x33x1x26x3x1x2即yx=6x3x1x2四、課堂練習(xí)：1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量，再求導(dǎo)).(1)y=(5x3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2x2)3(4)y=(2x3+x)2解：(1

9、)令y=u4，u=5x3yxyuux=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令y=u5，u=2+3xyxyuux=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2x2yxyuux=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令y=u2，u=2x3+xyxyuux=(u2)u(2x3+x)x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量，再求導(dǎo))(nN*)(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nxyxyuux=(sinu)u(nx)x=cosun=ncosnx(2)令y=cosu，u=nxyxyuux=(cosu)u(nx)x=sinun=nsinnx(3)令y=tanu，u=nxsinyxyuux=(tanu)u(nx)x=(cosu)un=cosucosusinu(sinu)(cosu)2(4)令y=cotu，u=nx1nnn=nsec2nxcos2ucos2nxsinyxyuux=(cotu)u(nx)x=(cosu)un=