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1、 第四節(jié)總體分布函數(shù)的假設檢驗上兩節(jié)中,我們在總體分布形式為已知的前提下,討論了參數(shù)的檢驗問題.然而在實際問題中,有時不能確知總體服從什么類型的分布,此時就要根據(jù)樣本來檢驗關(guān)于總體分布的假設例如檢驗假設:“總體服從正態(tài)分布”等本節(jié)僅介紹2檢驗法.所謂2檢驗法是在總體的分布為未知時,根據(jù)樣本值X,x2,x來檢驗關(guān)于總體12n分布的假設H0:總體X的分布函數(shù)為F(X);H:總體X的分布函數(shù)不是F(X)(822)的一種方法(這里的備擇假設H可不必寫出).注意,若總體X為離散型,則假設(822)相當于H0:總體X的分布律為PX=x.=p.,i=1,2,;(823)若總體X為連續(xù)型,則假設(822)相當
2、于H0:總體X的概率密度為f(x)(824)在用2檢驗法檢驗假設H0時,若在假設H0下F(x)的形式已知,而其參數(shù)值未知,此時需先用極大似然估計法估計參數(shù),然后再作檢驗.2檢驗法的基本思想與方法如下:k將隨機試驗可能結(jié)果的全體Q分為k個互不相容的事件A1,A2,Ak(A=Q,k.1A.A.r,,ij=1,2,k),于是在H為真時,可以計算概率p=P(A.)(i=1,2,k).j0.尋找用于檢驗的統(tǒng)計量及相應的分布,在n次試驗中,事件A.出現(xiàn)的頻率與.n概率p往往有差異,但由大數(shù)定律可以知道,如果樣本容量n較大(一般要求n至少為50,.最好在100以上),在H0成立條件下P.的值應該比較小,基于
3、這種想法,皮爾遜使用 # (8.25)(fnp)2ii.1np.作為檢驗H0的統(tǒng)計量,并證明了如下的定理.定理81若n充分大(n三50),則當H。為真時(不論H。中的分布屬什么分布),統(tǒng)計量(825)總是近似地服從自由度為k-r-1的分布,其中r是被估計的參數(shù)的個數(shù).對于給定的檢驗水平a,查表確定臨界值2(kr1)使P22(krI)=a,從而得到H0的拒絕域為22(krI)由樣本值X,x2,x計算2的值,并與2(krl)比較.12n作結(jié)論:若22(kr1),貝I拒絕H,即不能認為總體分布函數(shù)為F(x);0否則接受H0.例810一本書的一頁中印刷錯誤的個數(shù)X是一個隨機變量,現(xiàn)檢查了一本書的100
4、頁,記錄每頁中印刷錯誤的個數(shù),其結(jié)果如表8-5所示.表8-5錯誤個數(shù)i0123456三7頁數(shù)f36401920210A.iA0A1A2A3A4A5A6A7其中f.是觀察到有i個錯誤的頁數(shù)問能否認為一頁書中的錯誤個數(shù)X服從泊松分布(取a=0.05)?解由題意首先提出假設:H0:總體X服從泊松分布.eiPX=i=,i=0,1,2,i!這里H0中參數(shù)人為未知,所以需先來估計參數(shù)由最大似然估計法得-036l406l+70“x=1100將試驗結(jié)果的全體分為A0,A,,A7兩兩不相容的事件若H0為真,則PX=i有估計e11e-1門1cpPXi,i=0,1,2,i!i!例如pPX0e1,0pPX1e叫1e1
5、pPX2-2266e1TOC o 1-5 h zpPX71p1.7ii!i0i1計算結(jié)果如表8-6所示將其中有些np,1.46,所以在顯著性水0.05平為0.05下接受H0,即認為總體服從泊松分布.表8-6A.ifpinpifnpii(fnp)2/npiiiA036e-136.788-0.7880.017A140e-136.7883.2120.280A219e-1/218.3940.6060.020A32e-1/66.131A40e-1/241.533A52e-1/1200.307-3.031.143A61e-1/7200.051A701p0.008ilS1.460例8.11研究混凝土抗壓強度
6、的分布.200件混凝土制件的抗壓強度以分組形式列出(表8-7).n=f=200.要求在給定的檢驗水平a=0.05下檢驗假設ii1H0:抗壓強度XN(“,O2)表8-7壓強區(qū)間(X98kPa)頻數(shù)f190200102002102621022056220230642302403024025014解原假設所定的正態(tài)分布的參數(shù)是未知的,我們需先求“與口2的極大似然估計值.由第七章知,“與O2的極大似然估計值為X,.2.1(xX)2nii1設X*為第i組的組中值,我們有i1195IO2052624514xx*f=221,nii200i2-(x*X)2f斗26)2IO(16)22624214152,nii
7、200i=12.33原假設H0改寫成X是正態(tài)N(221,12.332)分布,計算每個區(qū)間的理論概率值pPXa()(),i=1,2,6,ii1iii1其中ax().e*2dti2p為了計算出統(tǒng)計量2之值,我們把需要進行的計算列表如下(表8-8).表8-8壓強區(qū)間X頻數(shù)f標準化區(qū)間“i,“i+JP()()iinpifnpiifnpiinpi19020010(-R,-1.70)0.045910.1120021026-1.70,-0.89)0.14228.45.760.2021022056-0.89,-0.08)0.28156.20.040.0022023064-0.08,0.73)0.29959.817.640.29230240300.73,1.54)0.17134.217.640.52240250141.54,+8)0.06212.42.560.23S1.0002001.35從上面計算得出2的觀察值為1.35
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