24.2 點、直線、圓和圓的…1

1、PAGE 24.2.1反證法【學習目標】知識與能力：通過實例，體會反證法的含義過程與方法：了解反證法的基本步驟，會用反證法證明簡單的命題.情感、態(tài)度、價值觀：在觀察、操作、推理等探索過程中，體驗數學活動充滿探索性和創(chuàng)造性.【學情分析】學生從初中開始就已經初步接觸過反證法,反證法的邏輯規(guī)則并不復雜,但用反證法證明數學問題卻讓學生感到困難。究其原因,反證法主要是需要逆向思維,而在中小學階段,逆向思維訓練和發(fā)展都是不充分的;其次反證法中的假設部分涉及命題的否定知識,學生在學習那部分知識時就存在一定的困難;再者我所教的學生其本身對問題的理解、思維能力也是相對較弱的?！緦W習重點】體會反證法證明命題的思路

2、方法，用反證法證明簡單的命題?！緦W習難點】反證過程中的反設，以及如何推出矛盾?！緦W習過程】一、情境導入 （一）故事引入：中國古代有一個叫路邊苦李的故事:王戎7歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不動.有人問王戎為什么?王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下,果然是苦李.王戎是怎樣知道李子是苦的?他運用了怎樣的推理方法?從小故事入手，不僅能激發(fā)學生的興趣，也能更好的說明反證法的推理思想。（二）對話引入甲：在十一長假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了. 乙：這不可能，10月4號上午還看見你和丙在廊

3、坊“萬達”逛街呢！丙：是啊,10月4號我確實和甲在廊坊“萬達”逛街！由此以得出甲沒有到新加坡玩六天。 我們不得不佩服王戎和乙，小小年紀就具備了反證法的思維反證法是數學中常用的一種方法人們在探求某一問題的解決方法而正面求解又比較困難時，常常采用從反面考慮的策略，往往能達到柳暗花明又一村的境界那么什么叫反證法呢？（板書課題）二、探究新知（一）師生互動用具體例子讓學生體會反證法的定義和步驟例1、求證：過同一直線上的三點不能作圓有些命題想從已知條件出發(fā)，經過推理，得出結論是很困難的，因此，人們想出了一種證明這種命題的方法，即反證法.結合故事、對話和本例歸納反證法的定義。（二）整體感知在證明一個命題時,

4、人們有時先假設命題不成立,從這樣的假設出發(fā),經過推理得出和已知條件矛盾,或者與定義,公理,定理等矛盾,從而得出假設命題不成立是錯誤的,即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法. 用反證法證明命題實際上是這樣一個思維過程：我們假定“結論不成立”，結論一不成立就會出毛病，這個毛病是通過與已知條件矛盾，與公理或定理矛盾的方法暴露出來的這個毛病是怎么造成的呢？推理沒有錯誤，已知條件，公理或定理沒有錯誤，這樣一來，唯一有錯誤的地方就是一開始的假定既然“結論不成立”有錯誤，就肯定結論必然成立了你能說出下列結論的反面嗎?1. ab 2. d是正數3. a04. ab5.a是實數。 6. a大于2。7.a小

5、于2。 8.至少有2個9.最多有一個 10.兩條直線相交（三）合作探究1、求證:在同一平面內,如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.把本題改編成填空題：已知: 直線l1,l2,l3在同一平面內,且l1l2,l3與l1相交于點P.求證: l3與l2相交.證明: 假設_,即_._（已知）,過直線l2外一點P有兩條直線和l2平行,這與“_ _”矛盾.假設不成立,即求證的命題正確.l3與l2相交.教師簡單引導學生小結：證明兩直線相交的又一判定方法.2、根據上述填空，請同學們歸納一下用反證法證題的步驟（教師板書步驟）生：假定結論不成立（即結論的反面成立）；從假設出發(fā)，結合已知條件，

6、經過推理論證，推出與已知條件或定義、定理、公理相矛盾；由矛盾判定假設不正確；肯定命題的結論成立明確 用反證法證題的基本思路及步驟（三）學以致用，完善新知1、用反證法證明（填空）：在三角形的內角中，至少有一個角大于或等于明確 在運用反證法的過程，往往要仔細分析結論的反面，特別要注意語句的轉換及表達2、已知：如圖，直線a,b被直線c所截，1 2求證：ab 教師在例后要引導學生比較體會反證法的優(yōu)點：當正面證明比較繁雜或較難證明時，用反證法證明是一種證明的思路，并指出本題的結論是判定兩直線平行的又一判定定理.3、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，APBAPC。求證：PBPC教師在題后引導學生歸納什么

7、類型的證明題宜用反證法：（1）以否定性判斷作為結論的命題；（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陳述的命題；（3）關于“唯一性”結論的命題；（4）一些不等量命題的證明；（5）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等.(如平行線的傳遞性的證明）4、在ABC中,若C是直角，那么B一定是銳角.題后說明：本例中“是銳角(小于90)”的反面有兩種情況，這時，必須分別證明命題結論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結論一定正確.三、實踐應用，知識遷移1、鏈接生活反證法的思想也時常體現(xiàn)在人們的日常交流中。下面是有關的一個例子: 甲、乙、丙、丁、戊五人在運動會上分獲一百米、二百米、跳高、跳遠

8、和鉛球冠軍，有四個人猜測比賽結果：A說：乙獲鉛球冠軍，丁獲跳高冠軍；B說：甲獲百米冠軍，戊獲跳遠冠軍；C說：丙獲跳遠冠軍，丁獲二百米冠軍；D說：乙獲跳高冠軍，戊獲鉛球冠軍.其中每個人都只說對一句，說錯一句.你知道五人各獲哪項冠軍嗎？在你的日常生活中也有類似的例子嗎?請舉一至兩個例子.2、快樂驛站：警察局里有名嫌疑犯，他們分別做了如下口供：說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊說：這里有個人說謊聰明的同學們，假如你是警察，你覺得誰說了真話？你會釋放誰？請與大家分享你的判斷！四、學習小結同學們，學了這節(jié)課，你們有何收獲與體會？ （1）引導學生作知識總結，學習了反證

9、法證題的思路、步驟與注意事項以及宜用反證法的題型（2）教師擴展：通過本節(jié)課的學習，同學們體會了在證明命題另一種方法，即反證法，它是當有的命題從已知條件出發(fā)，經過推理，很難得出結論時，人們想出的一種證明命題的方法，希望同學們能運用這種方法證明一些簡單的命題.五、課后作業(yè) 1.用反證法證明下列命題：（1）求證：三角形內角中至多有一個內角是鈍角。（2）已知：如圖，ABCD，AB EF。求證：CD EF。（3）求證：圓內兩條不是直徑的弦不能互相平分。2.課外活動：收集反證法在生活中應用的例子，在班上交流?！景鍟O計】黑板24.2.1反證法1、定義 2、步驟： 反設歸謬 結論 【資料下載】 反證法也稱為

10、歸謬法，英國數學家哈代（GHHardy，18771947）對于這種證法給過一個很有意思的評估在棋類比賽中，經常采用一種策略，叫“棄子取勢”，即犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢哈代指出，歸謬法是遠比任何棋術更為高超的一種策略棋手可以犧牲的是幾個棋子，而數學家可以犧牲整個一盤棋歸謬法就是作為一種可以想象的最了不起的策略而產生的自我測試1.求證：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么他們所對的邊也不等. 2.求證：一個五邊形不可能有4個內角為銳角.自我提高1“ab Ca=b Da=b或ab2用反證法證明“若ac，bc，則ab”時，應假設（ ） Aa不垂直于c Ba，b都不垂直于c Cab Da與b相交3用反證法

11、證明命題“在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對的角也不相等”時，應假設_4用反證法證明“若a2，則a4”時，應假設_5請說出下列結論的反面:（1）d是正數; （2）a0; （3）a56如下左圖，直線AB，CD相交，求證：AB，CD只有一個交點證明：假設AB，CD相交于兩個交點O與O，那么過O，O兩點就有_條直線，這與“過兩點_”矛盾，所以假設不成立，則_ 7完成下列證明 如上右圖，在ABC中，若C是直角，那么B一定是銳角 證明：假設結論不成立，則B是_或_ 當B是_時，則_，這與_矛盾； 當B是_時，則_，這與_矛盾 綜上所述，假設不成立B一定是銳角8用反證法證明“三角形中至少有一個內角不小于60”，應先假設這個三角形中（ ） A有一個內角小于60 B每一個內角都小