n元一次方程非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)——教學(xué)設(shè)計(jì)

1、非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)目標(biāo)：學(xué)會(huì)利用隔板法解決相同元素分配問(wèn)題。通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，構(gòu)造隔板模型，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)際解決問(wèn)題。2.學(xué)情分析： 前面幾節(jié)課學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，排列與組合中的幾種常見(jiàn)題型。本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了排列與組合知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究并解決相同元素的分配問(wèn)題。學(xué)生整體基礎(chǔ)較好，上課積極發(fā)言。3.重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用隔板法解決相同元素分配問(wèn)題。難點(diǎn)：構(gòu)造隔板模型，會(huì)靈活應(yīng)用隔板法，從而實(shí)際解決問(wèn)題。4.教學(xué)過(guò)程活動(dòng)1【導(dǎo)入】一課前思考將5個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球，共有少種放法？將5個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中

2、，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球，共有多少種放法？設(shè)計(jì)意圖：提問(wèn)學(xué)生，通過(guò)題讓學(xué)生體會(huì)解決不同元素分配問(wèn)題所使用的方法，然后引出題進(jìn)而解決相同元素分配的問(wèn)題。由題引出例題1?；顒?dòng)2【講授】二例題講解例題1：將10個(gè)大小小形狀完全相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放入1個(gè)小球，共有多少種放法？設(shè)計(jì)意圖：例題1與課前的思考變式進(jìn)行對(duì)比，如果采用變式的解題思路先將每個(gè)盒子放入一個(gè)小球，剩余7個(gè)小球，由題可知7個(gè)球可以任意放入3個(gè)盒子，這樣需要討論的情況就比較多，顯然麻煩，然后引導(dǎo)學(xué)生去考慮更加簡(jiǎn)單快捷的思考方式。再給出幾個(gè)符合題意的分配方法和幾種不符合題意的分配方法，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)

3、題其實(shí)就是在10個(gè)相同小球間形成的9個(gè)空插入2個(gè)板，與順序沒(méi)關(guān)，因?yàn)榍蛳嗤?，只與個(gè)數(shù)有關(guān)。答案是：。從而引出處理相同元素分配問(wèn)題所使用的方法隔板法。活動(dòng)3【講授】三概念引入在n個(gè)相同元素間插入（m-1）個(gè)板，形成m段，這種方法叫做隔板法。注意條件：n個(gè)元素必須相同 所分的每組中至少一個(gè)元素總結(jié)：n個(gè)相同小球放入m(mn)個(gè)不同盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)球的放法數(shù)為：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)前面例題的講解給出隔板法的方法，要強(qiáng)調(diào)使用隔板法的注意條件。然后在通過(guò)由特殊到一般總結(jié)出n個(gè)相同小球分配到m個(gè)不同盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)球的放法數(shù)，以便于學(xué)生解題的方便?；顒?dòng)4【講授】四變式講解變式1：將10個(gè)大小小形

4、狀完全相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子可任意放球（允許空盒），共有多少種放法？總結(jié)：n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同的盒子中，允許有的盒子沒(méi)有球的放法數(shù)為：設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生分小組進(jìn)行討論，然后提問(wèn)其中3組學(xué)生代表讓他們給出自己小組討論出來(lái)的結(jié)果，并解釋。此過(guò)程可以提高學(xué)生們的集體合作能力。這個(gè)時(shí)候我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)該題可以看成將13個(gè)相同小球放入3個(gè)不同盒子中，每個(gè)盒子至少一個(gè)球的問(wèn)題，利用隔板法，在13個(gè)相同小球形成的12個(gè)空中插入2個(gè)板即可解決，答案是：。這是對(duì)例題1的變式，構(gòu)造隔板模型，會(huì)靈活應(yīng)用隔板法。然后在通過(guò)由特殊到一般總結(jié)出n個(gè)相同小球分配到m個(gè)不同盒子中，允許有的盒

5、子沒(méi)有球的放法數(shù)，以便于學(xué)生解題的方便。變式2：將10個(gè)大小小形狀完全相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的3個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子放的球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，共有多少種放法？設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)讓學(xué)生分小組討論，然后提問(wèn)其中2組學(xué)生代表讓他們給出自己小組討論出來(lái)的結(jié)果，并解釋。經(jīng)過(guò)討論我們發(fā)現(xiàn)此題有兩種解決辦法，一是可以把每個(gè)盒子中先放入1,2,3個(gè)球，剩余4個(gè)球任意放入3個(gè)盒子中，然后利用變式1的結(jié)論解決。二是每個(gè)盒子中先放入0,1,2個(gè)球，剩余7個(gè)球每個(gè)盒子至少放入1個(gè)球，直接應(yīng)用隔板法進(jìn)行解決，答案是：。兩種思路均可，都是解決相同元素分配問(wèn)題可以直接應(yīng)用隔板法或者轉(zhuǎn)化成應(yīng)用隔板法的問(wèn)題?；顒?dòng)5【測(cè)

6、試】五課堂練習(xí)1.20個(gè)三好學(xué)生名額分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，有多少種不同的分配方案？（用組合數(shù)表示）2.某單位訂閱了30份相同的學(xué)習(xí)材料，發(fā)給3個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少發(fā)放9份材料，共有多少種不同的發(fā)放方法？總結(jié)：相同名額分配問(wèn)題，類似相同球放盒里問(wèn)題，都采用隔板法。設(shè)計(jì)意圖：找同學(xué)到黑板前板書(shū)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，加強(qiáng)對(duì)隔板法的練習(xí)。給出相同名額分配問(wèn)題，類似相同球放盒里問(wèn)題，都采用隔板法?；顒?dòng)6【講授】六例題講解例題2：方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)？總結(jié)1：方程（nr）的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為：總結(jié)2：方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為：設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生n元一次方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)能否用隔板法解決，分析4

7、個(gè)未知數(shù)的取值最小值是1。然后提問(wèn)學(xué)生是否有思路，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)可以將10看成10個(gè)相同小球，4看成4個(gè)不同的盒子，要求每盒至少1個(gè)球，在10個(gè)相同小球間形成的9個(gè)空中，插入3個(gè)板，答案是。也就是說(shuō)求n元一次方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為隔板法放球的問(wèn)題。然后總結(jié)出n元一次方程正整數(shù)解的個(gè)數(shù)和非負(fù)整數(shù)解（將沒(méi)有元素問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少一個(gè)元素問(wèn)題）的個(gè)數(shù)?；顒?dòng)7【講授】七方法講解考慮n個(gè)1與（r-1）個(gè)0組成的所有排列，每個(gè)排列與方程的一個(gè)解按照如下方式對(duì)應(yīng)起來(lái)：=排列中第一個(gè)0左邊的1的個(gè)數(shù)，=第一個(gè)0和第二個(gè)0之間1的個(gè)數(shù)，=第二個(gè)0個(gè)第三個(gè)0之間1的個(gè)數(shù)，如此到=最后一個(gè)0右邊的1的個(gè)數(shù)。再以n=6，

8、r=4舉例，給出一個(gè)排列（1，1，0，0，1，1，1，0，1）對(duì)應(yīng)著方程的一個(gè)解=2，=0，=3，=1總結(jié)：由n個(gè)1與（r-1）個(gè)0組成的排列共有：設(shè)計(jì)意圖：求n元一次方程非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)可以使用例題2總結(jié)出來(lái)的總結(jié)2利用隔板法，也可以使用本思路，讓學(xué)生拓寬解題思路?；顒?dòng)8【講授】八變式講解變式1：方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：此題在使用隔板法之前應(yīng)用到了分類加法原理，對(duì)進(jìn)行分類討論，由于得數(shù)3比較小，所以分兩類即可。時(shí)，轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同球放入9個(gè)盒子中，允許有空盒子的問(wèn)題，放法數(shù)為。時(shí)，轉(zhuǎn)化為1個(gè)小球放入9個(gè)盒子中，允許有空盒的問(wèn)題，放法數(shù)為：，則共+ =174，在考察靈活應(yīng)用隔板法的過(guò)程中考察學(xué)生對(duì)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用?；顒?dòng)9【總結(jié)】九課堂總結(jié)課堂小結(jié)：會(huì)利用隔板法解決相同元素問(wèn)題。 注意使用隔板法的條件。 將沒(méi)有原始問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少一個(gè)元素問(wèn)題?；顒?dòng)10【課后作業(yè)】1某校召開(kāi)學(xué)生會(huì)議，要將10個(gè)學(xué)生代表名額，分配到某年級(jí)的6個(gè)班中，若每班至少1個(gè)名額，有多少種不同分法？2. 將20個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，有多少種不同的方法？3. 12個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子中，要求放入球的個(gè)數(shù)不得少于編號(hào)數(shù)，共有多少種不同的放法？ 4. 某運(yùn)輸公司有7個(gè)車(chē)隊(duì),