全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2009年D題 講解 清華大學(xué) 姜啟源

1、清華大學(xué) 姜啟源 會(huì) 議 籌 備全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2021年D題 題目 題目的背景 問題分析和解決方法 一種參考解法 對學(xué)生論文的評(píng)述 某市的一家會(huì)議效勞公司負(fù)責(zé)承辦某專業(yè)領(lǐng)域的一屆全國性會(huì)議, 會(huì)議籌備組要為與會(huì)代表預(yù)訂賓館客房, 租借會(huì)議室, 并租用客車接送代表。由于預(yù)計(jì)會(huì)議規(guī)模龐大, 而適于接待這次會(huì)議的幾家賓館的客房和會(huì)議室數(shù)量均有限, 所以只能讓與會(huì)代表分散到假設(shè)干家賓館住宿。為了便于管理, 除了盡量滿足代表在價(jià)位等方面的需求之外, 所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少, 并且距離上比較靠近。 籌備組經(jīng)過實(shí)地考察, 篩選出10家賓館作為備選, 它們的名稱用代號(hào)至表示, 相對位置見附圖,

2、有關(guān)客房及會(huì)議室的規(guī)格、間數(shù)、價(jià)格等數(shù)據(jù)見附表1。 根據(jù)這屆會(huì)議代表回執(zhí)整理出來的有關(guān)住房的信息見附表2。從以往幾屆會(huì)議情況看, 有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會(huì), 同時(shí)也有一些與會(huì)的代表事先不提交回執(zhí), 相關(guān)數(shù)據(jù)見附表3。附表2, 3都可以作為預(yù)訂賓館客房的參考。題 目 需要說明的是，雖然客房房費(fèi)由與會(huì)代表自付，但是如果預(yù)訂客房的數(shù)量大于實(shí)際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費(fèi)，而假設(shè)出現(xiàn)預(yù)訂客房數(shù)量缺乏，那么將造成非常被動(dòng)的局面，引起代表的不滿。 會(huì)議期間有一天的上下午各安排6個(gè)分組會(huì)議，籌備組需要在代表下榻的某幾個(gè)賓館租借會(huì)議室。由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個(gè)分組會(huì)，籌備組還要向汽車租

3、賃公司租用客車接送代表?，F(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元。 請你們通過數(shù)學(xué)建模方法，從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意等方面，為會(huì)議籌備組制定一個(gè)預(yù)訂賓館客房、租借會(huì)議室、租用客車的合理方案。附表1 10家備選賓館的有關(guān)數(shù)據(jù)賓館代號(hào)客房會(huì)議室規(guī)格間數(shù)價(jià)格(天)規(guī)模間數(shù)價(jià)格(半天)普通雙標(biāo)間50180元200人11500元商務(wù)雙標(biāo)間30220元150人21200元普通單人間30180元 60人2 600元商務(wù)單人間20220元 經(jīng)濟(jì)標(biāo)準(zhǔn)房(2床）55260元180人11500元標(biāo)準(zhǔn)房（2床）45280元140人21000元附表2 本屆會(huì)議的代表回執(zhí)中有關(guān)住

4、房要求的信息(單位：人)合住1合住2合住3獨(dú)住1獨(dú)住2獨(dú)住3男154104321076841女784817592819附表3 以往幾屆會(huì)議代表回執(zhí)和與會(huì)情況第一屆 第二屆 第三屆 第四屆 發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量315356408711發(fā)來回執(zhí)但未與會(huì)的代表數(shù)量89115121213未發(fā)回執(zhí)而與會(huì)的代表數(shù)量5769751041000500300150200300 300700150附圖其中500等數(shù)字是兩賓館間距，單位為米題目的背景 2021年8月第十一屆全國數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用會(huì)議在福州召開。這是一次規(guī)模龐大的系列性學(xué)術(shù)會(huì)議, 據(jù)以往幾屆會(huì)議的情況看, 有以下共同的、明顯的特點(diǎn)： 與會(huì)代表多達(dá)數(shù)百人

5、，而適于接待的賓館容量有限,只能讓與會(huì)代表分散到假設(shè)干家賓館住宿； 有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會(huì), 也有一些與會(huì)代表事先不提交回執(zhí), 給預(yù)訂賓館客房數(shù)量造成了困難； 雖然客房房費(fèi)由與會(huì)代表自付, 但如預(yù)訂客房數(shù)量大于實(shí)際數(shù)量, 籌備組需要支付一天的空房費(fèi), 而假設(shè)預(yù)訂客房數(shù)量缺乏, 那么將引起代表的強(qiáng)烈不滿； 假設(shè)內(nèi)容不同的分組會(huì)分散在幾個(gè)賓館, 而代表要參加哪個(gè)分組會(huì)無法預(yù)知, 因此需要派車在賓館間接送代表。 一些會(huì)議的籌備者和賓館的管理人員反映, 諸如上述這些情況普遍存在、時(shí)常發(fā)生。 通過數(shù)學(xué)建模方法, 從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意等方面,為會(huì)議籌備者制定一個(gè)預(yù)訂賓館客房、租借會(huì)議室、租用客車的

6、合理方案, 是非常現(xiàn)實(shí)且很有實(shí)際意義的課題, 并且這方面的研究過去幾乎沒有。 為了保持問題的原汁原味, 賽題中所列10家賓館的根本數(shù)據(jù)和相對位置, 以及本屆會(huì)議代表回執(zhí)中有關(guān)住房要求的信息都是真實(shí)的, 只是對一些賓館客房和會(huì)議室的數(shù)量略作改動(dòng)。關(guān)于前幾屆會(huì)議的代表回執(zhí)和與會(huì)情況也根本上參考了歷史數(shù)據(jù)。題目的背景 問題分析和解決方法 從題目要求出發(fā)，主要需要解決三個(gè)問題：1預(yù)測本屆會(huì)議與會(huì)代表的數(shù)量, 并確定需要預(yù)訂各類客房的數(shù)量；2確定在哪些賓館預(yù)訂客房及預(yù)訂各類客房的數(shù)量；3確定在哪些賓館預(yù)訂哪些類型的會(huì)議室以及租車的規(guī)格和數(shù)量。 問題1是求解問題2，3的前提，首先應(yīng)該根據(jù)附表2，3的數(shù)據(jù)對

7、本屆會(huì)議與會(huì)代表的數(shù)量進(jìn)行預(yù)測。 確定預(yù)訂客房總量時(shí)，應(yīng)使會(huì)議籌備組在訂房上的損失盡量小，損失包括：預(yù)訂客房數(shù)超過實(shí)際用量時(shí)需要支付的一天空房費(fèi)；預(yù)訂客房數(shù)不夠時(shí)引起代表不滿的“費(fèi)用，后者要用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式加以量化。 根據(jù)附表2數(shù)據(jù)中本屆會(huì)議的代表所需要6種類型的客房的比例，可由預(yù)訂客房的總量得到預(yù)定各類客房的數(shù)量。問題分析和解決方法 問題2主要應(yīng)考慮籌備組管理的方便及代表的滿意，如滿足代表在合住或獨(dú)住及價(jià)位方面的需求、預(yù)訂的賓館總數(shù)盡量少、距離上盡量靠近等。 假設(shè)建立優(yōu)化模型，可以用賓館總數(shù)最少為目標(biāo)函數(shù)，以滿足代表在合住或獨(dú)住及價(jià)位方面的需求，及各賓館擁有客房數(shù)量等為約束條件，以在哪幾家

8、賓館訂房及各類客房訂多少間為決策變量。 以賓館總數(shù)最少為目標(biāo)的優(yōu)化模型其最優(yōu)解一般不唯一，可以再考慮賓館間的距離、客房價(jià)格等因素，從幾個(gè)解中選出相對較好的一個(gè)。 問題分析和解決方法 問題3主要應(yīng)考慮租用會(huì)議室和客車的總費(fèi)用盡量小、會(huì)議室所在的賓館總數(shù)盡量少、距離上盡量靠近等。 租車要考慮多少代表參加哪個(gè)分組會(huì)議, 題目中沒有這方面的信息, 可以按照平均的、隨機(jī)的方式處理。 當(dāng)建立優(yōu)化模型時(shí), 可用租借會(huì)議室和客車的總費(fèi)用最少為目標(biāo)函數(shù), 以滿足對會(huì)議室數(shù)量、大小及租車的需要為約束條件, 以租用會(huì)議室和車輛的規(guī)格、數(shù)量為決策變量。 將問題2, 3統(tǒng)一建立模型并求解有一定困難, 可在問題2幾個(gè)解的

9、根底上解問題3，通過比較得出最后結(jié)果。 問題分析和解決方法一種參考解法設(shè)有n屆同類型會(huì)議的歷史數(shù)據(jù)可利用 (n較小, 此題n=4) 第i屆發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量ai 第i屆發(fā)來回執(zhí)但未與會(huì)的代表數(shù)量bi 第i屆未發(fā)回執(zhí)而與會(huì)的代表數(shù)量ci 本屆發(fā)來回執(zhí)數(shù)量A第i屆與會(huì)代表數(shù)量di= ai- bi+ ci 第i屆與會(huì)代表占發(fā)來回執(zhí)數(shù)量的比例ei= di/ai 預(yù)測本屆會(huì)議與會(huì)代表數(shù)量Nmean=AemeanNmax=Aemax=661=678 比例法預(yù)測1. 預(yù)測本屆會(huì)議的與會(huì)代表數(shù)量 確定需要預(yù)訂各類客房的數(shù)量emean ，emax 建立di對ai的回歸模型用線性模型預(yù)測本屆會(huì)議與會(huì)代表數(shù)量 N=

10、638確定預(yù)訂客房的總量 考慮兩種可能的損失：空房費(fèi)；代表不滿的量化“費(fèi)用 適當(dāng)提高預(yù)測的與會(huì)代表數(shù)量 對未發(fā)回執(zhí)而與會(huì)的代表另作安排 參考“航空公司的預(yù)訂票策略模型姜啟源等：?數(shù)學(xué)模型第三版第284頁?1. 預(yù)測本屆會(huì)議的與會(huì)代表數(shù)量 確定需要預(yù)訂各類客房的數(shù)量1. 預(yù)測本屆會(huì)議的與會(huì)代表數(shù)量 確定需要預(yù)訂各類客房的數(shù)量預(yù)訂客房的總量本屆會(huì)議要求合住、獨(dú)住各s(=3)種價(jià)位(類型)代表數(shù)量及所占比例 (合住考慮性別) 預(yù)訂各類客房的數(shù)量需要預(yù)訂合住第j種類型客房數(shù)量T1j需要預(yù)訂獨(dú)住第j種類型客房數(shù)量T2j第i家賓館第j種類型單人房(獨(dú)住)能提供的間數(shù)C2ij 第i家賓館第j種類型雙人房(合

11、住或獨(dú)住)能提供的間數(shù)C1ij2. 確定在哪些賓館預(yù)訂客房及預(yù)訂各類客房的數(shù)量 以賓館總數(shù)最少為目標(biāo)，以滿足代表在合住、獨(dú)住及價(jià)位方面的需求，及各賓館擁有客房數(shù)量等為約束條件，建立優(yōu)化模型 . 預(yù)訂第i家賓館第j種類型單人房(獨(dú)住)間數(shù) x2ij 預(yù)訂第i家賓館第j種類型雙人房(合住)間數(shù) x1ij預(yù)訂第i家賓館第j種類型雙人房(改獨(dú)住)間數(shù) yij決策變量第i家賓館的選擇變量 ki (ki=0,1)設(shè)共有r家賓館雙人、單人房各s種類型目標(biāo)函數(shù)約束條件滿足需求滿足供給2. 確定在哪些賓館預(yù)訂客房及預(yù)訂各類客房的數(shù)量求解整數(shù)規(guī)劃模型LINGO最優(yōu)解一般不唯一，可得到多個(gè)解可考慮距離因素、價(jià)格因素

12、等確定最終方案或者在這些解的根底上進(jìn)入下一步，根據(jù)租借會(huì)議室和租車情況確定最終方案.2. 確定在哪些賓館預(yù)訂客房及預(yù)訂各類客房的數(shù)量3. 確定在哪些賓館預(yù)訂哪些類型的會(huì)議室 以及租車的規(guī)格和數(shù)量預(yù)訂會(huì)議室的原那么： 每個(gè)會(huì)議室的容量至少為與會(huì)總?cè)藬?shù)的1/6 會(huì)議室位于預(yù)訂客房的賓館內(nèi)租車的原那么： 與會(huì)總?cè)藬?shù)1/6的代表不需接送 賓館距離在一定范圍內(nèi)的代表不需接送 一輛車每次會(huì)議最多接送2趟以會(huì)議室和客車的租費(fèi)最小為目標(biāo)建立優(yōu)化模型求解對學(xué)生論文的評(píng)述 根本情況 絕大多數(shù)同學(xué)都能根據(jù)對問題的理解和掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，給出解決問題的方法，并得到所要求的結(jié)果。 不少同學(xué)建立了在課堂上沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)規(guī)劃

13、模型，并用數(shù)學(xué)軟件求解. 對于高職高專學(xué)生來說，無論從題型還是所用的數(shù)學(xué)知識(shí)都是適合的。 在解決主要問題之前，都做了一些準(zhǔn)備工作，如按照代表對住房類型、價(jià)位的需求將各賓館的客房分類整理，將賓館按照能滿足代表需求的多少排列，并事先排除幾個(gè)滿足需求較少、價(jià)位又高的賓館。 多數(shù)同學(xué)先確定在哪些賓館預(yù)訂客房及其數(shù)量，再在此條件下確定租用會(huì)議室和客車的方案。 有的先確定在哪些賓館租借會(huì)議室，再預(yù)訂客房。 還有的將賓館總數(shù)最少和賓館間的距離最短結(jié)合起來，建立雙目標(biāo)規(guī)劃模型。 一些同學(xué)用分析方法先排除一些賓館, 或是依次在某些賓館安排代表(先安排容納人多的), 雖然得到的結(jié)果不錯(cuò), 但偏向于經(jīng)驗(yàn), 從數(shù)學(xué)建

14、模的角度來說不提倡。 給出客車在賓館之間接送代表的具體方法, 如行車路線、始發(fā)地和目的地, 中途經(jīng)什么賓館等，值得鼓勵(lì)。 根本情況 存在的問題 1預(yù)測本屆會(huì)議的與會(huì)代表數(shù)量時(shí)，用往屆實(shí)際到會(huì)人數(shù)對發(fā)來回執(zhí)人數(shù)的回歸模型，假設(shè)用線性或二次模型，結(jié)果通常偏低，如不加調(diào)整，會(huì)有問題。 還有的建立實(shí)際到會(huì)人數(shù)關(guān)于以往會(huì)議屆數(shù)的回歸模型。對學(xué)生論文的評(píng)述明顯錯(cuò)誤！2在用比例法預(yù)測本屆會(huì)議的與會(huì)代表數(shù)量時(shí)，取第i屆與會(huì)代表占發(fā)來回執(zhí)數(shù)量的比例ei= di/ai的平均值，沒有考慮預(yù)訂客房數(shù)不夠?qū)嶋H用量時(shí)引起代表不滿造成的損失，未給預(yù)測值留出余量。 個(gè)別同學(xué)這樣計(jì)算ei= di/ai的平均值： 3題目中已明確

15、說明客房房費(fèi)由與會(huì)代表自付, 籌備組只需滿足代表對住房價(jià)位類型的需求?？头績r(jià)格不應(yīng)成為優(yōu)化的目標(biāo), 而只能是兼顧的因素。 一些同學(xué)沒有完全把握這些要求，過分注意了客房價(jià)位，而對空房費(fèi)和不滿引起的“費(fèi)用關(guān)注不夠。存在的問題4將賓館間距離最短作為優(yōu)化的一個(gè)目標(biāo), 有其合理性, 但很多是先選定一家賓館(比方處于中心位置的), 以其他賓館與其距離之和最短為標(biāo)準(zhǔn), 來預(yù)訂客房。 對于此題所給數(shù)據(jù)可以得到合理的結(jié)果, 但是這種方法不具普遍性, 因?yàn)椴荒芘懦辛硗鈳讉€(gè)賓館(不包含上面選定的)也能滿足代表的需求, 且其他指標(biāo)更優(yōu)。 5題目說明是上下午各安排6個(gè)分組會(huì)議，并且事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個(gè)分組

16、會(huì)。 一些同學(xué)理解為各個(gè)分組會(huì)內(nèi)容相同, 于是只要求6個(gè)會(huì)議室的總?cè)萘看笥谂c會(huì)人數(shù)。還有的認(rèn)為上下午會(huì)議內(nèi)容相同，于是上下午各只安排總數(shù)的一半即可。 存在的問題6考慮租車方案時(shí), 如果在假設(shè)中說明賓館距離不遠(yuǎn)就不用接送, 及每輛車可接送兩個(gè)來回等, 當(dāng)然可以。但如果規(guī)定不接送的距離太遠(yuǎn), 或只租用一兩輛車, 在各賓館間來回屢次地接送，就不符合實(shí)際了。 還有些同學(xué)沒有考慮會(huì)有1/6的代表留在其下榻賓館所在的會(huì)議室開會(huì)，不需要遷移。 7層次分析法常用于確定不易量化的因素對某些目標(biāo)的權(quán)重，用于此題只能起不大的輔助作用，用它對賓館進(jìn)行排序或評(píng)估，是不恰當(dāng)?shù)摹?許多同學(xué)在數(shù)學(xué)符號(hào)、公式的表述上, 存在不

17、嚴(yán)格、不標(biāo)準(zhǔn), 甚至錯(cuò)誤之處, 如下標(biāo)不注明含義, 求和號(hào)不注明求和范圍, 甚至整個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都不給出定義。 存在的問題 近年的賽題 題目的特點(diǎn) 征集題目素材年份A題B題C題D題2003SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務(wù)員招聘2005長江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測DVD在線租賃雨量預(yù)報(bào)方法的評(píng)價(jià)DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評(píng)價(jià)和療效的預(yù)測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制2007中國人口增長預(yù)測 乘公交，看奧運(yùn)手機(jī)“套餐”優(yōu)惠幾何 體能測試時(shí)間安排 2008數(shù)碼相機(jī)定位高等教育收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討地面搜索NBA賽程的分析與評(píng)價(jià)2009制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析眼科病床的合理安排衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控會(huì)議籌備題目的特點(diǎn)題目來源: 實(shí)際研究課題的簡化、改編；有實(shí)際背景問題的編撰；適宜的社會(huì)熱點(diǎn)或興趣問題題目