數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)：第1章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、11.1 數(shù)制和碼制1.2 邏輯代數(shù)概述1.3 邏輯函數(shù)及其表示方法1.4 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則1.5 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法1.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)理解 BCD 碼的含義，掌握 8421BCD 碼，了解其他常用 BCD 碼。主要要求： 掌握十進制數(shù)和二進制數(shù)的表示及其相互轉(zhuǎn)換。了解八進制和十六進制。1.1數(shù)制和碼制第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (一) 十進制 (Decimal) (xxx)10 或 (xxx)D 例如(3176.54)10 或(3176.54)D 數(shù)碼：0、1、2、3、4、5、6、7、8、91101 1100 510-1 110-2權(quán) 權(quán) 權(quán) 權(quán) 數(shù)碼

2、所處位置不同時，所代表的數(shù)值不同 (11.51)10 進位規(guī)律：逢十進一，借一當十10i 稱十進制的權(quán) 10 稱為基數(shù) 0 9 十個數(shù)碼稱系數(shù)數(shù)碼與權(quán)的乘積，稱為加權(quán)系數(shù)十進制數(shù)可表示為各位加權(quán)系數(shù)之和，稱為按權(quán)展開式 (3176.54)10 = 3103 + 1102 + 7101 + 6100 + 510-1 + 410-2一、數(shù)制第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (二) 二進制 (Binary) 例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1 (xxx)2 或 (xxx)B 例如 (1011.11)2 或 (1011.11)B 數(shù)碼：0、1 進位規(guī)律：逢

3、二進一，借一當二 權(quán)：2i 基數(shù)：2 系數(shù)：0、1 按權(quán)展開式表示 (1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12-1 + 12-2 將按權(quán)展開式按照十進制規(guī)律相加，即得對應(yīng)十進制數(shù)。= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 (1011.11)2 = (11.75)10 = 11.75 (1011.11)2 = 123 + 022 + 121 + 120 + 12-1 + 12-2第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (三) 八進制和十六進制 例如 (437.25)8 = 482 + 381 + 780 + 28-1 + 58-2 = 256 + 24 + 7

4、 + 0.25 + 0.078125 = (287.328125)10 進制數(shù)的表示計數(shù)規(guī)律 基數(shù) 權(quán) 數(shù)碼八進制 (Octal) (xxx)8 或(xxx)O逢八進一，借一當八 8 0 7 8i 十六進制(Hexadecimal) (xxx)16 或(xxx)H 逢十六進一，借一當十六 16 0 9、A、B、C、D、E、F 16i例如(3BE.C4)16 = 3162 + 11161 + 14160 + 1216-1 + 416-2 = 768 + 176 + 14 + 0.75 + 0.015625 = (958.765625)10 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、不同數(shù)制間的關(guān)系與轉(zhuǎn)換 對同一

5、個數(shù)的不同計數(shù)方法 (一) 不同數(shù)制間的關(guān)系 二、不同數(shù)制間的關(guān)系與轉(zhuǎn)換 不同數(shù)制之間有關(guān)系嗎？十進制、二進制、八進制、十六進制對照表770111766011065501015440100433001132200102 11000110000000 十六八二 十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A12101010 9111001981010008 十六八二 十第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (二) 不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換 例 將十進制數(shù) (26.375)10 轉(zhuǎn)換成二進制數(shù) 1. 各種數(shù)制轉(zhuǎn)換成十進制 2. 十進制轉(zhuǎn)換為二進制 0 1一直除到商為 0

6、為止 按權(quán)展開求和整數(shù)和小數(shù)分別轉(zhuǎn)換 整數(shù)部分：除 2 取余法 小數(shù)部分：乘 2 取整法 26 6 1 3 01 122222 余數(shù) 13 0讀數(shù)順序1.500 1 整數(shù)0.750 0 2 21.000 10.375 2讀數(shù)順序(26 )10 = (11010 ) 2 .375 .011第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 一位十六進制數(shù)對應(yīng)四位二進制數(shù)，因此二進制數(shù)四位為一組。3. 二進制和十六進制間的相互轉(zhuǎn)換 (3BE5.97D)16 = (11101111100101.100101111101)2 (10011111011.111011)2 = ( ? )16 每位十六進制數(shù)用四位二進制數(shù)代替，再按原

7、順序排列。二進制十六進制 : 從小數(shù)點開始，整數(shù)部分向左(小數(shù)部分向右) 四位一組，最后不足四位的加 0 補足四位，再按順序?qū)懗龈鹘M對應(yīng)的十六進制數(shù) 。(10011111011.111011)2= (4FB.EC)16 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)補 010011111011.11101100 4FBEC0 補 010011111011111011十六進制二進制 :例如 ：用四位二進制數(shù)碼表示十進制數(shù) 0 90000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 40101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9將若干個二進制數(shù)碼 0 和 1 按一定規(guī)則排列起來表示某種

8、特定含義的代碼稱為二進制代碼，簡稱二進制碼。用數(shù)碼的特定組合表示特定信息的過程稱編碼 三、二進制代碼 （即可表示數(shù)值信息，也可表示文字和符號信息）常用二進制代碼 自然二進制碼 二 - 十進制碼 格雷碼 奇偶檢驗碼 ASCII 碼 (美國信息交換標準代碼) 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例如：用三位自然二進制碼表示十進制數(shù) 0 7： 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 (一) 自然二進制碼 按自然數(shù)順序排列的二進制碼 (二) 二-十進制代碼 表示十進制數(shù) 0 9 十個數(shù)碼的二進制代碼 (又稱 BCD 碼 即 Binary

9、Coded Decimal) 1 位十進制數(shù)需用 4 位二進制數(shù)表示，故 BCD 碼為 4 位。 4 位二進制碼有 16 種組合，表示 0 9十個數(shù)可有多種方案，所以 BCD 碼有多種。 常用二 - 十進制代碼表 1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十 進 制 數(shù)1100101110101001100001110110010101000011余 3 碼2421(B)242

10、1(A) 5421 碼 8421 碼無權(quán)碼 有 權(quán) 碼1001100001110110010101000011001000010000權(quán)為 8、4、2、1比 8421BCD 碼多余 3取四位自然二進制數(shù)的前 10 種組合，去掉后 6 種組合 1010 1111。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)用 BCD 碼表示十進制數(shù)舉例： (36)10 = ( )8421BCD (4.79)10 = ( )8421BCD (01010000)8421BCD = ( )10 注意區(qū)別 BCD 碼與數(shù)制： (150)10 = (000101010000)8421BCD = (10010110)2 = (226)8 = (

11、96)16 6 0110 3 0011 4. 0100.7 01119 10010101 50000 0第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (三) 可靠性代碼 奇偶校驗碼 組成 信 息 碼 ： 需要傳送的信息本身。 1 位校驗位：取值為 0 或 1，以使整個代碼 中“1”的個數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)。 使“1”的個數(shù)為奇數(shù)的稱奇校驗，為偶數(shù)的稱偶校驗。 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 8421 奇偶校驗碼 01 0 0 111 0 0 1911 0 0 001 0 0 0810 1 1 100 1 1 1700 1 1 010 1 1 0600 1 0 110 1 0 1510 1 0 000 1 0

12、 0400 0 1 110 0 1 1310 0 1 000 0 1 0210 0 0 100 0 0 1100 0 0 010 0 0 00校 驗 碼信 息 碼校 驗 碼信 息 碼8421 偶 校 驗 碼8421 奇 校 驗 碼十進制數(shù)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)格雷碼(Gray 碼，又稱循環(huán)碼) 0110最低位以 0110 為循環(huán)節(jié)次低位以 00111100 為循環(huán)節(jié)第三位以 0000111111110000 為循環(huán)節(jié).011001100110001111000011110000001111111100000000000011111111特點:相鄰項或?qū)ΨQ項只有一位不同典型格雷碼構(gòu)成規(guī)則 ：第

13、1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 通常，人們可通過鍵盤上的字母、符號和數(shù)值向計算機發(fā)送數(shù)據(jù)和指令，每一個鍵符可用一個二進制碼表示，ASCII就是其中的一種。它是用7位二進制碼表示的，可以表示128個符號，任何符號和控制功能都由高3位b6b5b4和低4位b3b2b1b0確定。 例如對所有控制符有b6b5=00，而對其它符號有b6b5=01、10、11。ASCII碼（美國標準信息交換碼）比如字母 a： b6b5b4b3b2b1b0=1100001 字母 A： b6b5b4b3b2b1b0 =1000001主要要求： 理解邏輯值 1 和 0 的含義。1.2 邏輯代數(shù)概述理解邏輯體制的含義。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

14、用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù) (Boole Algebra)或開關(guān)代數(shù)。邏輯指事物因果關(guān)系的規(guī)律。 邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個，通常用 1和 0 表示。 與普通代數(shù)比較用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。 相似處 相異處運算規(guī)律有很多不同。 一、邏輯代數(shù)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)中的 1 和 0 不表示數(shù)量大小，僅表示兩種相反的狀態(tài)。 注意例如：開關(guān)閉合為 1 晶體管導(dǎo)通為 1 電位高為 1 斷開為 0 截止為 0 低為 0二、邏輯體制 正邏輯體制 負邏輯體制 規(guī)定高電平為邏輯 1

15、、低電平為邏輯 0 規(guī)定低電平為邏輯 1、高電平為邏輯 0 通常未加說明，則為正邏輯體制第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求： 掌握邏輯代數(shù)的常用運算。理解并初步掌握邏輯函數(shù)的建立和表示的方法。 1.3 邏輯函數(shù)及其表示方法 掌握真值表、邏輯式、邏輯圖和波形圖的特點及其相互轉(zhuǎn)換的方法。 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)一、基本邏輯函數(shù)及運算 基本邏輯函數(shù) 與邏輯 或邏輯 非邏輯與運算(邏輯乘) 或運算(邏輯加) 非運算(邏輯非) 1. 與邏輯 決定某一事件的所有條件都具備時，該事件才發(fā)生滅斷斷亮合合滅斷合滅合斷燈 Y開關(guān) B開關(guān) A開關(guān) A、B 都閉合時，燈 Y 才亮。 規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯 1斷開為邏輯 0

16、 燈亮為邏輯 1燈滅為邏輯 0 真值表11 1YA B00 000 101 0邏輯表達式 Y = A B 或 Y = AB 若有 0 出 0；若全 1 出 1 與門 (AND gate)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 開關(guān) A 或 B 閉合或兩者都閉合時，燈 Y 才亮。2.或邏輯 決定某一事件的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，該事件就發(fā)生。滅斷斷亮合合亮斷合亮合斷燈 Y開關(guān) B開關(guān) A若有 1 出 1若全 0 出 0 00 011 1YA B10 111 0邏輯表達式 Y = A + B 或門 (OR gate) 1 3.非邏輯決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。 開關(guān)閉合時燈滅

17、， 開關(guān)斷開時燈亮。 AY0110Y = A 1 非門(NOT gate) 又稱“反相器” 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、常用復(fù)合邏輯運算 由基本邏輯運算組合而成 與非邏輯(NAND)先與后非若有 0 出 1若全 1 出 010 001 1YA B10 111 001 1或非邏輯 ( NOR )先或后非若有 1 出 0若全 0 出 110 0YA B00 101 0與或非邏輯 (AND OR INVERT)先與后或再非第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)注意：異或和同或互為反函數(shù)，即00 001 1YA B10 111 0異或邏輯 (Exclusive OR)若相異出 1若相同出 0同或邏輯 (Exclusiv

18、e - NOR，即異或非)若相同出 1若相異出 010 011 1YA B00 101 0第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)注意：“異或”和“同或”邏輯運算都是兩個變量進行的運算，不能想當然地推廣到多個變量。 00110101100110101100YCBA011000001111例如 Y=ABC例 試對應(yīng)輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)Y2解：Y1Y3三、邏輯符號對照 國家標準曾用標準美國標準第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)四、邏輯函數(shù)及其表示方法 邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關(guān)系。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖、邏輯圖和波形圖等表示。1. 真值表 列出輸入變量的

19、各種取值組合及其對應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。列真值表方法 (1)按 n 位二進制數(shù)遞增的方式列 出輸入變量的各種取值組合。(2) 分別求出各種組合對應(yīng)的輸出 邏輯值填入表格。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量 輸 入 變 量 4 個輸入變量有 24 = 16 種取值組合。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2. 邏輯函數(shù)式 表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的 表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。 邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出

20、。 ABC例如 1000111100110101000100100100YCBA011010001111 邏輯式為 (1)找出函數(shù)值為 1 的項。(2)將這些項中輸入變量取值為 1 的用原變量代替， 取值為 0 的用反變量代替，則得到一系列與項。(3)將這些與項相加即得邏輯式。真值表邏輯式第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)3. 邏輯圖 運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現(xiàn)之。由邏輯符號及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。 根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法:將各級邏輯運算用 相應(yīng)邏輯門去實現(xiàn)。 例如 畫 的邏輯圖 反變量用非門實現(xiàn) 與項用與門實現(xiàn) 相加項用或門實現(xiàn) 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)4. 波形圖

21、 將輸入變量的取值與相應(yīng)的邏輯函數(shù)值按照時間順序依次排列起來畫成的時間波形。 Y2解：Y1Y31.4邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則 主要要求： 掌握邏輯代數(shù)的基本公式和基本定律。 了解邏輯代數(shù)的重要規(guī)則。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)一、基本公式 邏輯常量運算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1邏輯變量與常量的運算公式 0 1 律重迭律 互補律 還原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0A + A = A A A = A 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、常用公式 (一) 與普通代數(shù)相似

22、的公式 交換律 A + B = B + A A B = B A結(jié)合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代數(shù)沒有！ 利用真值表 邏輯等式的證明方法 利用基本公式和基本定律第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)111111111100 例 證明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：真值表法0000A B CA + BC(A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1第 1 章邏輯

23、代數(shù)基礎(chǔ) (二) 邏輯代數(shù)的特殊公式吸收律 A + AB = A A + AB = A (1 + B) = A第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B 吸收律 A + AB = A 推廣公式： (2) 若已知 AB = AC，則 B = C 嗎？ 推廣公式：反演律(又稱摩根定律 ) 思考：(1) 若已知 A + B = A + C，則 B = C 嗎？ 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)三、重要規(guī)則 (一) 代入規(guī)則 A A A A均用 代替A均用 代替利用代入規(guī)則能擴展基本公式的應(yīng)用。 將邏輯等式兩邊的某一

24、變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)變換時注意：(1) 不能改變原來的運算順序。(2) 反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非 號保持不變。 可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演規(guī)則或摩根定律。 原運算次序為 (二) 反演規(guī)則 對任一個邏輯函數(shù)式 Y，將“”換成“+”，“+”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) (三) 對偶規(guī)則 對任一個邏輯函數(shù)式 Y，將“”換成“+”，“+”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數(shù)式的對偶式 Y 。 對偶規(guī)

25、則：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。 應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和常用公式擴展。 變換時注意：(1) 變量不改變 (2) 不能改變原來的運算順序第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)A + AB = A A (A + B) = A 主要要求： 了解邏輯函數(shù)式的常見形式及其相互轉(zhuǎn)換。 掌握邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法。1.5 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法 理解最簡與 - 或式的標準。 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。 一、邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換 例如 與或表達式 或與表達式 與非 - 與非表達式 或非 - 或非表達式 與或非表達式 轉(zhuǎn)換方法舉例 用還原律 用

26、摩根定律 用還原律 用摩根定律 用摩根定律 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)與或式 與非式 或與式 或非式 與或非式 二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標準 化簡意義使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。 不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與 - 或式，然后通過變換得到所需最簡式。 最簡與 - 或式標準 (1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少(2)每個乘積項中的變量數(shù)最少 用與門個數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)三、代數(shù)化簡法 運用邏輯代數(shù)的公式對邏輯式進行化簡。 并項法 運用 ，將兩項合并為一項，并消去一個變量。 第 1 章邏輯代數(shù)

27、基礎(chǔ)吸收法 運用A+AB =A 和 ，消去多余的與項。 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)消去法 運用吸收律 ，消去多余因子。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)配項法 通過乘 或加入零項 進行配項，然后再化簡。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)綜合靈活運用上述方法 例 化簡邏輯式解： 應(yīng)用第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求： 掌握最小項的概念與編號方法，了解其主要性質(zhì)。掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數(shù)的方法。 理解卡諾圖的意義和構(gòu)成原則。 掌握無關(guān)項的含義及其在卡諾圖化簡法中的應(yīng)用。 1.6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)代數(shù)化簡法 優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。 卡諾圖化簡法 優(yōu)點：簡單、直

28、觀，有一定的步驟和方法 易判斷結(jié)果是否最簡。 缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。 一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。 一、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)卡諾圖是最小項按一定規(guī)則排列成的方格圖。 n 個變量有 2n 種組合，可對應(yīng)寫出 2n 個乘積項，這些乘積項均具有下列特點：包含全部變量，且每個變量在該乘積項中 (以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。這樣的乘積項稱為這 n 個變量的最小項，也稱為 n 變量邏輯函數(shù)的最小項。1. 最小項的定義和編號 (一)最小項的概念與性質(zhì)二、最小項與卡諾圖第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？例如:3 變量邏輯函數(shù)的最小項

29、有 23 = 8 個 將輸入變量取值為 1 的代以原變量，取值為 0 的代以反變量，則得相應(yīng)最小項。 簡記符號ABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小項A B Cm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)的十進制數(shù)76543210第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2. 最小項的基本性質(zhì) (1) 對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為 1， 而其余各種變量取值均使其值為 0。三變量最小項表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1

30、01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C(2) 不同的最小項，使其值為 1 的那組變量取值也不同。(3) 對于變量的任一組取值，兩個最小項的乘積為 0。(4) 對于變量的任一組取值，全體最小項的和為 1。 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例如ABC+ABC=AB3. 相鄰最小項 兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。 例如 三變量最小項 ABC 和 ABC 相鄰最小項重要特點： 兩個相鄰最小項相加可合并為一項， 消去互反變量，化簡為相同變量相與。 (二) 最小項的卡諾圖表示 將 n 變量的 2n

31、 個最小項用 2n 個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為 n 變量最小項卡諾圖，簡稱為變量卡諾圖。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)變量取 0 的代以反變量 取 1 的代以原變量二變量卡諾圖AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3AB010 10 00 11 01 10 00 1ABAAB BABABABAB三變量卡諾圖ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7 5 4 2 3 1 0四變量卡諾圖 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD000111100

32、0 01 11 10第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)變量取 0 的代以反變量 取 1 的代以原變量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項？ 已知最小項如何找相應(yīng)小方格？ 例如 原變量取 1，反變量取 0。1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 為了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，通常需要先求得真值表或者標準與 - 或式或者與 - 或表達

33、式。因此，下面先介紹標準與 - 或式。任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標準與-或式，而且邏輯函數(shù)的標準與 - 或式是唯一的。 (一) 邏輯函數(shù)的標準與 - 或式 三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)每一個與項都是最小項的與 - 或邏輯式稱為標準與 - 或式，又稱最小項表達式。 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)如何將邏輯式轉(zhuǎn)化為 標準與-或式呢 ？ 例 將邏輯式 化為標準與或式。(3) 利用A+A=A，合并掉相同的最小項。0000m00001m11100m121101m131111m15解：(1) 利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。AB+(2) 利用配項法化為標準與或式。= m0 + m1 + m12 + m

34、13 + m15=m (0,1,12,13,15)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)(二) 用卡諾圖表示邏輯函數(shù) (1) 求邏輯函數(shù)真值表或者標準與 - 或式或者與 - 或式。 (2) 畫出變量卡諾圖。 (3) 根據(jù)真值表或標準與 - 或式或與 - 或式填圖。 基本步驟用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例 已知標準與或式畫函數(shù)卡諾圖 例 試畫出函數(shù) Y = m (0,1,12,13,15) 的卡諾圖解： (1) 畫出四變量卡諾圖(2) 填圖 邏輯式中的最小項 m0、m1、m12、m13、m15對應(yīng)的方格填 1，其余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15

35、14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)已知真值表畫函數(shù)卡諾圖例 已知邏輯函數(shù) Y 的 真值表如下，試畫 出 Y 的卡諾圖。解：(1) 畫 3 變量卡諾圖。A B CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1(2)找出真值表中 Y = 1 對應(yīng)的最小項，在 卡諾圖相應(yīng)方格中 填 1，其余不填。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)已知一般表達式畫函數(shù)卡諾圖解：(1) 將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式(2) 作變量卡諾圖找出各與項所對應(yīng)的最小項方格

36、填 1，其余不填。 例 已知 ，試畫出 Y 的卡諾圖。AB+ABCD0001111000 01 11 10(3) 根據(jù)與或式填圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 對應(yīng)最小項為同時滿足 A = 1， B = 1 的方格。BCD 對應(yīng)最小項為同時滿足 B = 1，C = 0，D = 1的方格AD 對應(yīng)最小項為同時滿足 A = 0，D = 1的方格。第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)四、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 化簡規(guī)律2 個相鄰最小項有 1 個變量相異，相加可以消去這 1 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；4 個相鄰最小項有 2 個變量相異，相加可以消去這 2 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；8 個相

37、鄰最小項有 3 個變量相異，相加可以消去這 3 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；2n 個相鄰最小項有 n 個變量相異，相加可以消去這 n 個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。消異存同 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)最小項相鄰的幾種情況ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如 2 個相鄰項合并消去 1 個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如 2 個相鄰項合并消去 1 個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如 1 1 1 1

38、ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD 4 個相鄰項合并消去 2 個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。8 個相鄰項合并消去 3 個變量A 1 1 1 1 1 1 1 1第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)畫包圍圈規(guī)則 包圍圈必須包含 2n 個相鄰 1 方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重復(fù)圈，但須每圈有新 1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈； 同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的 1 方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。 注意 卡諾 圖化 簡法 步驟 畫函數(shù)卡諾圖 將各圈分別化簡 對填 1 的相鄰最小項方格畫包圍圈 將各圈化

39、簡結(jié)果邏輯加 第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：(1)畫變量卡諾圖例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10(2)填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡圈 2 個可消去 1 個變量，化簡為 3 個相同變量相與。Yb = BCD圈 4 個可消去 2 個變量，化簡為 2 個相同變量相與。孤立項 Ya=ABCDYc = AB循環(huán)相鄰 Yd = AD(5)將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與或式第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)例 用卡諾圖化簡邏

40、輯函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)最簡與或式 Y=第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1解：第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)找 AB =11, C = 1 的公共區(qū)域找 A = 1, CD = 01 的公共區(qū)域找 B = 1, D = 1 的公共區(qū)域解：(1)填卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10 1 1(3)化簡(2)畫圈例 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要畫嗎？Y =例 已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最 簡與或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解： 0 方格很少且為相鄰項，故用圈 0 法先求 Y 的最簡與或式。1111111111第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第 1 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)合并