第5章參數(shù)估計和假設(shè)檢驗

1、第5章參數(shù)估計和假設(shè)檢驗抽樣分布簡單隨機(jī)抽樣和簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì)無限總體有限總體不放回放 回樣本樣本放回不放 回樣本樣本獨立性和同一性同一性當(dāng)n/N5%時，有限總體不放回抽樣等同于放回抽樣無限總體統(tǒng)計量與抽樣分布統(tǒng)計量：即樣本指標(biāo)。樣本均值樣本成數(shù)樣本方差如：抽樣分布：某一統(tǒng)計量所有可能的樣本的取值形成的分布。性 質(zhì)數(shù)字特征0P（Xi）1P（Xi）=1均值E（X） 方差Ex-E(x)2 方差的平方根即抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差就是推斷的抽樣誤差。樣本均值的抽樣分布（簡稱均值的分布）抽樣總體樣本 均值X,(N)均值=Xi/Nx,(n)樣本均值是樣本的函數(shù)，故樣本均值是一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計量是一個隨機(jī)變量，樣本

2、均值的概率分布稱為樣本均值的抽樣分布。均值分布的數(shù)學(xué)期望和方差抽 樣 方 法 均 值 方 差 標(biāo) 準(zhǔn)差（1）從無限總體抽 樣和有限總體放回抽樣（2）從有限總體不放回抽樣抽樣誤差抽樣誤差從正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布也服從正態(tài)分布。從非正態(tài)總體中抽樣得到的均值的分布呢？ 中心極限定理：無論總體為何種分布，只要樣本n足夠大（n30），均值（ ）標(biāo)準(zhǔn)化為（z）變量，必定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，均值（ ）則服從正態(tài)分布，即：關(guān)于均值的抽樣分布有如下的一些結(jié)論:1.對于多數(shù)總體分布來說，不論其形態(tài)如何，如果樣本觀察值超過30個，那么均值的抽樣分布將近似于正態(tài)分布。2.如果總體分布是明顯對稱的，那么只要樣本觀

3、察值超過15個，均值的抽樣分布也近似于正態(tài)分布。 3.如果總體是正態(tài)分布的，則不管樣本大小如何，均值的抽樣分布一定是正態(tài)分布的。 兩個樣本均值之差的抽樣分布抽樣總體樣本X1,(N1)x1,(n1)抽樣總體樣本X2,(N2)x2,(n2)估計（1）如：（2如果兩個總體都是非正態(tài)總體，只要n1、n2足夠大，根據(jù)中心極限定理，可知：樣本成數(shù)（即比例）的抽樣分布（簡稱成數(shù)的分布）抽樣總體樣本 成數(shù)X,(N)成數(shù)P=Ni/N x,(n) 所有可能的樣本的成數(shù)（ ）所形成的分布，稱為樣本成數(shù)的抽樣分布。成數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差抽 樣 方 法 均 值 方 差 標(biāo) 準(zhǔn)差（1）從無限總體抽 樣和有限總體放回抽樣

4、（2）從有限總體不放回抽樣根據(jù)中心極限定理，只要樣本足夠大， 的分布就近似正態(tài)分布。（np和nq大于5時）抽樣誤差抽樣誤差兩個樣本成數(shù)之差的抽樣分布抽樣總體樣本X1,(N1)x1,(n1)抽樣總體樣本X2,(N2)x2,(n2)估計 當(dāng)n1、n2都足夠大時，樣本成數(shù) 都近似服從正態(tài)分布，兩個樣本成數(shù)之差（ ）也近似服從正態(tài)分布。P1-P2=？一個樣本方差的抽樣分布抽樣總體樣本若:從一個正態(tài)總體中抽樣所得到的樣本方差的分布n,S2則 當(dāng) 則 兩個樣本方差之比的抽樣分布抽樣總體樣本從兩個正態(tài)總體中分別獨立抽樣所得到的兩個樣本方差之比的抽樣分布。n1,S12則 抽樣總體樣本n2,S22參數(shù)估計點估計

5、以樣本指標(biāo)直接估計總體參數(shù)。評價準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)期望等于總體參數(shù)，即該估計量稱為無偏估計。無偏性有效性當(dāng) 為 的無偏估計時， 方差 越小，無偏估計越有效。一致性對于無限總體，如果對任意 滿足條件則稱的一致估計。是充分性一個估計量如能完全地包含未知參數(shù)信息，即為充分量估計量點估計常用的求點估計量的方法 1.數(shù)字特征法: 當(dāng)樣本容量增大時 ,用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征。 例如，我們可以用樣本平均數(shù)(或成數(shù))和樣本方差來估計總體的均值(或比率)和方差。2.順序統(tǒng)計量法 : 如果把取得的樣本觀測值按大小排列起來，那么與排列位置有關(guān)的統(tǒng)計量就稱為順序統(tǒng)計量。常用的順序統(tǒng)計量有樣本中位數(shù)和極差。 當(dāng)總

6、體服從正態(tài)分布時,用樣本中位數(shù)來估計總體的數(shù)學(xué)期望 :3.極大似然估計法: 極大似然估計是根據(jù)樣本的似然函數(shù)對總體參數(shù)進(jìn)行估計的一種方法 。其實質(zhì)就是根據(jù)樣本觀測值發(fā)生的可能性達(dá)到最大這一原則來選取未知參數(shù)的估計量，其理論依據(jù)就是概率最大的事件最可能出現(xiàn)。 區(qū)間估計估計未知參數(shù)所在的可能的區(qū)間。評價準(zhǔn)則隨機(jī)區(qū)間置信度精確度隨機(jī)區(qū)間包含（即可靠程度）越大越好。的概率的平均長度（誤差范圍）越小越好一般形式或總體參數(shù)估計值誤差范圍 ：一定倍數(shù)的抽樣誤差例如：抽樣誤差 一定時，越大，概率（可靠性）大；隨之增大，精確度就差。參數(shù)的區(qū)間估計簡單隨機(jī)抽樣待估計參數(shù)已知條件置信區(qū)間正態(tài)總體，2已知正態(tài)總體，2

7、未知非正態(tài)總體，n30有限總體，n30（不放回抽樣）總體均值 （）未知時，用S未知時，用S兩個正態(tài)總體已知兩個正態(tài)總體未知但相等兩個非正態(tài)總體,n1，n230兩個總體均值之差1-2簡單隨機(jī)抽樣待估計參數(shù)已知條件置信區(qū)間無限總體，np和nq都大于5總體成數(shù) （p）無限總體， n1p15, n1q1 5n2p25, n2q25兩個總體成數(shù)之差（P1 - P2）有限總體，np和nq都大于5有限總體， n1p15, n1q1 5n2p25, n2q25簡單隨機(jī)抽樣待估計參數(shù)已知條件置信區(qū)間正態(tài)總體總體方差 兩個正態(tài)總體兩個總體方差之比樣本數(shù)的確定待估計參數(shù)已知條件樣本數(shù)的確定正態(tài)總體，2已知總體均值（

8、） 例：誤差范圍簡單隨機(jī)抽樣有限總體，不放回抽樣，2已知總體成數(shù) （P）服從正態(tài)分布有限總體，不放回抽樣 假設(shè)檢驗 基本思想 檢驗規(guī)則 檢驗步驟 常見的假設(shè)檢驗 方差分析 基本思想小概率原理：如果對總體的某種假設(shè)是真實的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實性，拒絕這一假設(shè)。總 體（某種假設(shè)）抽樣樣 本（觀察結(jié)果）檢驗（接受）（拒絕）小概率事件未 發(fā) 生小概率事件發(fā) 生假設(shè)的形式： H0原假設(shè)， H1備擇假設(shè) 雙側(cè)檢驗：H0：=0 ， H1：0單側(cè)檢驗： H0： = 0 ， H1：0 H0： =

9、0 ， H1：0 假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本觀察結(jié)果對原假設(shè)（H0）進(jìn)行檢驗，接受H0，就否定H1；拒絕H0，就接受H1。 檢驗規(guī)則確定檢驗規(guī)則檢驗過程是比較樣本觀察結(jié)果與總體假設(shè)的差異。差異顯著，超過了臨界點，拒絕H0；反之，差異不顯著，接受H0差 異臨界點拒絕H0接受H0cc判 斷兩類錯誤接受或拒絕H0，都可能犯錯誤I類錯誤棄真錯誤， 發(fā)生 的概率為 II類錯誤取偽錯誤，發(fā)生 的概率為檢驗決策 H0為真 H0非真拒絕H0 犯I類錯誤（） 正確接受H0 正確 犯II類錯誤（） 怎樣確定c?大就小，小就大基本原則：力求在控制前提下減少 顯著性水平，取值：0.1, 0.05, 0.01, 等。如果犯I

10、類錯誤損失更大，為減少損失，值取??；如果犯II類錯誤損失更，值取大。 確定，就確定了臨界點c。設(shè)有總體：XN（，2），2已知。隨機(jī)抽樣：樣本均值標(biāo)準(zhǔn)化：確定值，查概率表，知臨界值計算Z值，作出判斷0接受區(qū)拒絕區(qū)拒絕區(qū) 當(dāng)檢驗判斷為接受原假設(shè)H0時，就有可能犯取偽的錯誤即II類錯誤。確定犯第類錯誤的概率比較困難 ，具體計算可根據(jù)書上的例子。統(tǒng)計上把 稱為統(tǒng)計檢驗的勢，它是原假設(shè)實際上是錯誤的應(yīng)該被拒絕的概率。 II類錯誤的概率的計算 檢驗步驟根據(jù)具體問題的要求，建立總體假設(shè)H0，H112選擇統(tǒng)計量確定H0為真時的抽樣分布3給定顯著性水平，當(dāng)原假設(shè)H0為真時，求出臨界值。計算檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值與臨界

11、值比較4 幾種常見的假設(shè)檢驗總體均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0：=0 H1：0z(2) H0： = 0 H1：0(3) H0： = 0 H1：z0z0正態(tài)總體2已知總體均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0：=0 H1：0t(2) H0： = 0 H1：0(3) H0： = 0 H1：t0t00正態(tài)總體2未知(n30)總體均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0：=0 H1：0z(2) H0： = 0 H1：0(3) H0： = 0 H1：z0z00非正態(tài)總體n302已知或未知兩個總體均值之差的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0： 1

12、=2 H1: 1 2 z(2) H0：1 = 2 H1: 1 2 (3) H0： 1 = 2 H1：1 2 z0z00兩個正態(tài)總體已知兩個總體均值之差的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0: 1 = 2 H1: 1 2 t(2) H0: 1 = 2 H1: 1 2 (3) H0： 1 = 2 H1： 1 2 t0t00兩個正態(tài)總體未知，但相等兩個總體均值之差的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0：1 = 2 H1：1 2 (2) H0：1 = 2 H1：1 2 (3) H0：1 = 2 H1：1 2 0z00兩個非正態(tài)體n130 n230已知或未知zz總體成數(shù)的檢驗條件檢驗

13、條件量拒絕域H0、H1(1) H0：P=P0 H1：PP0z(2) H0：P = P0 H1：PP0(3) H0：P = P0 H1：PP0z0z00np5nq5兩個總體成數(shù)之差的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1) H0：P1=P2 H1：P1 P2 z(2) H0： P1 P2 H1：P1 P2(3) H0：P1 P2 H1：P1 P2z0z00n1p15n1q15n2p25n2q25一個總體方差的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1總體服從正態(tài)分布兩個總體方差之比的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1總體服從正態(tài)分布FFF 方差分析一、問題的提出同一原材料加工產(chǎn)品質(zhì)量產(chǎn)地各組產(chǎn)品的質(zhì)量是

14、否有顯著差異？隨機(jī) 原則一個班級 的學(xué)生，某門課程的成績專業(yè) 分組各組學(xué)生的成績是否有顯著差異？差異隨機(jī)誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī) 原則加以比較若存在顯著性差異，則說明該因素的影響是顯著的二、假定條件各組水平都服從正態(tài)分布，均值和方差未知，但方差相同（i=1,2,3, ,k)三、單因素方差分析H0：各水平的均值相等 H1：各水平均值不全相等總離差平方和=組間離差平方和+組內(nèi)離差平方和 離差平方和：SST= SSB + SSE自由度： n-1 = k-1 + n-k方差： MST MSB MSE檢驗量=系統(tǒng)誤差/隨機(jī)誤差即： F=MSB/MSE檢驗規(guī)則因為：F=3.15 (0.05)所以接受原假設(shè)，認(rèn)為不

15、同的家庭背景對學(xué)員成績沒有顯著影響。 四、不考慮交互作用的兩因素方差分析H0 (A):因素A的k個水平的均值相等 H1 (A): 不全相等總離差平方和=組間離差平方和 +組內(nèi)離差平方和 離差平方和：SST= SS(A)+SS(B)+ SSE自由度： kh-1 = k-1 +h-1 + (k-1)(h-1)方差： MST MS(A) MS(B) MSE檢驗量=系統(tǒng)誤差/隨機(jī)誤差即： F(A)=MS(A)/MSE F(B)=MS(B)/MSE H0(B): 因素B的h個水平的均值相等 H1(B):不全相等檢驗規(guī)則 因為：F(A)=0.3935.14 F(B)=0.028 (0.05) P(B)（0.99) (0.05)所以接受原假設(shè)，認(rèn)為不同的機(jī)器設(shè)備和不同的工藝方法對生產(chǎn)量都沒有顯著影響。 五、考慮交互作用的兩因素方差分析H0 (A):因素A的k個水平的均值相等 H1(A）：不全相等總離差平方和=組間離差平方和 +組內(nèi)離差平方和