2011下均值不等式

1、算術(shù)平均值-幾何平均值不等式 英文名：Arithmetic-mean-Geometric-mean inequality 簡稱均值不等式，或AG不等式1設(shè)a1，a2，an是n個正數(shù)，An= 它們的幾何平均值記為 Gn= 它們的算術(shù)平均值記為探索An與Gn的大小關(guān)系？轉(zhuǎn)化為探索a1a2an與Ann的大小關(guān)系 2我省高中教材對均值不等式的處理閱讀材料：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)如果a,b,cR+，那么a3+b3+c33abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）證明：由a3+b3a2b+ab2,同理b3+c3b2c+bc2,c3+a3c2a+ca2,三式相加得2(a3+b3+c3)a2b+ab2

2、+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(ab2+c2a)+(b2c+ca2)=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(b2+a2)b2ac+a2bc+c2ba=6abca3+b3+c33abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，取“=”號最后，直接給出了n元平均值不等式。 3類比與歸納協(xié)同發(fā)現(xiàn)均值不等式a12+a222a1a2；a13+a23+a333a1a2a3；事實(shí)上，a13+a23+a33-3a1a2a3=(a1+a2+a3)(a1-a2)2+(a2-a3)2+(a3-a1)2/2。a14+a24+a34+a444a1a2a3a4； 猜想：若a1,a2,an為正數(shù)，則a1n+a2n+

3、annna1a2an。 4=重復(fù)上述論證 ，有化歸：對于任意的n，設(shè)m是使2mn的最小正整數(shù)， 取bi=ai(i=1,2,n),bn+1= =An，得 化簡即得 5二元均值不等式形的經(jīng)驗(yàn)：等周長的長方形越“方正” 面積越大； 當(dāng)它成為正方形時，面積最大；如兩邊1，7；2，6；3，5；4，4。數(shù)的經(jīng)驗(yàn)：和相等的兩個正數(shù)越接近時乘積越大；當(dāng)這兩個正數(shù)相等時乘積最大。經(jīng)驗(yàn)抽象：正數(shù)a1,a2滿足a1a2(a1+a2)/22. 實(shí)際上這是(a1-a2)20的變形。 6幾何意義（二元）幾何意義（三元）表面積一定的長方體，以其中的正方體體積最大。兩個不同的等腰直角三角形面積之和大于矩形面積 7從二元推廣到

4、n元三元：24953249456555= 53四元：249137424913497878677777 =74五元：234620 75。2346203467154677116777877777=75。 推廣：n個正數(shù)的乘積不大于它們的算術(shù)平均值的n次冪。思考：如何證明呢？8證明：設(shè)a1，a2，an是n個正數(shù)， 不妨假定a1a2an-1an， a1a2an-1ana2a3an-1(a1+an-An)An Ann 最多調(diào)整(n-1)次,而每一次調(diào)整，積都變大，直至最大的Ann，得證。n個正數(shù)的乘積不大于它們的算術(shù)平均值的n次冪。9定理：設(shè)a1，a2，an是n個正數(shù)，則 用第一數(shù)學(xué)歸納法證明1）當(dāng)n=2時易證2）假設(shè)n=k-1時結(jié)論成立。當(dāng)n=k時，不妨假定a1a2ak-1ak，令 ，則a1Aak。 a1ak-(a1+ak-A)A=(A-a1)(A-ak)0。即a1ak(a1+ak-A)A。 而由歸納假設(shè)，有下式成立：a1a2ak-1aka2a3ak-1(a1+ak-A)AAk， 當(dāng)n=k時，不等式也成立。 由1)2)，不等式成立。 10調(diào)和平均值2次冪平均值延伸：11凸函數(shù)證法 要證兩邊取對數(shù)后，即證