2019年上海市秋季高考數(shù)學試卷word版含參考答案與解析

1、XX市 2019屆秋季高考數(shù)學考試卷一、選擇題：（本大題共12 題， 1-6 題每題4 分， 7-12題每題 5 分，共54 分）1.已知集合 A,3、 B2,，則 AB_.2.已知 zC且滿足 15i ，求 z_.z3.已知向量 a(1,0,2) ， b(2,1,0) ，則 a 與 b 的夾角為 _.4.2x5項的系數(shù)為 _.已知二項式1，則展開式中含 x2x05.已知 x 、y 滿足y0，求 z2x3y 的最小值為 _.xy26.已知函數(shù) fx 周期為 1，且當 0 x 1 ， f xlog 2x ，則 f ( 3 )_.1y 的最大值為 _.27.x yR，且2 y3，則若 、xx8.已

2、知數(shù)列 an 前 n 項和為 Sn ，且滿足 Sn an2，則 S5_.9.過 y24x 的焦點 F 并垂直于 x 軸的直線分別與y24x 交于 A、 B ， A 在 B 上方， M為拋物線上一點， OMOA2 OB，則_.10. 某三位數(shù)密碼鎖， 每位數(shù)字在09 數(shù)字中選取， 其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是_.11. 已知數(shù)列an 滿足 anan 1 （ nN ）， Pnn, an在雙曲線 x2y 21 上，則62lim Pn Pn 1_.n12. 已知 fx2ax1, a0 ，若 a a0 ， f x與 x 軸交點為 A ， fx 為曲x1線 L ，在 L 上任意一點 P ，總存在一點 Q

3、（ P 異于 A ）使得 APAQ且 APAQ ，則a0_.二. 選擇題 （本大題共4 題，每題5 分，共20 分）13. 已知直線方程 2 xyc0 的一個方向向量d 可以是（）A. (2, 1)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,2)一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1 和 2 ，將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個圓錐的體積之比為（）A.1B.2C.4D. 815.R ，函數(shù) f xx 62x ，存在常數(shù) aR ，使得 f xa 為偶函已知sin數(shù)，則可能的值為（）A.2B.3C.4D.516.已知 tan tantan() .存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第

4、四象限；A. 均正確；B.均錯誤；C.對，錯；D.錯，對；三.解答題 （本大題共5 題，共76 分）17. （本題滿分14分）如圖，在長方體ABCDA1B1C1 D1 中，M 為 BB1 上一點，已知BM2 ，AD4， CD3，AA15 .1 ）求直線 A1C 與平面 ABCD 的夾角；2 ）求點 A 到平面 A1 MC 的距離 .18. （本題滿分14分）已知 fxax1(a R) .x1（1）當 a1時，求不等式 fx1fx1 的解集；（2）若 x1,2 時， fx 有零點，求 a 的X圍 .19. （本題滿分14分）如圖， ABC 為海岸線， AB 為線段， BC 為四分之一圓弧，BD

5、39.2km，BDC22，CBD68， BDA 58.（1）求 BC 長度；（2）若 AB40km ，求 D 到海岸線 ABC 的最短距離 .（精確到 0.001km ）（本題滿分 16 分）已知橢圓x2y 21， F1 , F2 為左、右焦點，直線l 過 F2 交橢圓于 A、B 兩點 .41 ）若 AB 垂直于 x 軸時，求 AB ；（2 ）當F1 AB90 時， A 在 x 軸上方時，求A, B 的坐標；（3 ）若直線AF1 交y 軸于M ，直線BF1 交y 軸于N ，是否存在直線l ，使 S F1ABS F1 MN，若存在，求出直線l 的方程；若不存在，請說明理由.21. （本題滿分18

6、 分）數(shù)列an有 100 項， a1a ，對任意n2,100，存在anaid ,i1, n1 ，若 ak與前n 項中某一項相等，則稱ak 具有性質(zhì)P .1 ）若 a1 1，求 a4 可能的值；2 ）若 an 不為等差數(shù)列，求證：an 中存在滿足性質(zhì) P ；（3 ）若an 中恰有三項具有性質(zhì)P ，這三項和為C ，使用 a, d, c 表示 a1a2a100 .XX市 2019屆秋季高考數(shù)學考試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共12 題， 1-6 題每題 4 分， 7-12 題每題 5 分，共 54 分）1.已知集合A,3 、B2,，則 AB_.【思路分析】然后根據(jù)交集定義得結(jié)果【解析】：

7、根據(jù)交集概念，得出：(2,3) .【歸納與總結(jié)】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ)15i ，求 z _.2.已知 z C 且滿足z【思路分析】解復數(shù)方程即可求解結(jié)果15 i ， z15i51i .【解析】：5 i(5 i )(5 i )2626z【歸納與總結(jié)】本題主要考查復數(shù)的基本運算，比較基礎(chǔ)3.已知向量 a(1,0,2)， b( 2,1,0) ，則 a 與 b 的夾角為 _.【思路分析】根據(jù)夾角運算公式cosa ba求解b【解析】： cosa b22ab55.5【歸納與總結(jié)】本題主要考查空間向量數(shù)量積，比較基礎(chǔ)4.已知二項式2x 15x 2 項的系數(shù)為 _.，則展開式中含【思路分析】根據(jù)

8、二項式展開式通項公式求出取得含x2 項的的項，再求系數(shù)【解析】： Tr 1 C5r (2x)5 r 1rC5r25 rx5 r令 5 r 2 ，則 r3 ， x 2 系數(shù)為 C532240 .【歸納與總結(jié)】本題主要考查項式展開式通項公式的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)x05.已知 x、 y 滿足y0，求 z2x3y 的最小值為 _.xy2【思路分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案【解析】：線性規(guī)劃作圖： 后求出邊界點代入求最值，當 x0 ，y2 時，zmin6 .【歸納與總結(jié)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題

9、6.已知函數(shù) f x 周期為 1，且當 0 x 1， f x3log2 x ，則 f ( ) _.1 ，將轉(zhuǎn) 3 到已知X圍 02【思路分析】直接利用函數(shù)周期為x 1 內(nèi)，代入函數(shù)解析式即2可【解析】： f ( 3 )f ( 1)log11.222 2【歸納與總結(jié)】本題考查函數(shù)圖像與性質(zhì)，是中檔題7.若 x、 yR ，且12 y 3 ，則y的最大值為 _.xxy 的式子求解【思路分析】利用已知等式轉(zhuǎn)化為一個變量或者轉(zhuǎn)化為函有2x2 y 2 12 y ， y【解析】：法一： 3139 ；xxx2 28法二：由13 2y ，y(32y)y2y 23y （ 0y3），求二次最值y9.xx2x max

10、8【歸納與總結(jié)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，是中檔題8.已知數(shù)列an 前 n 項和為 Sn ，且滿足 Snan2，則 S5_.【思路分析】將和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項的遞推關(guān)系，得到數(shù)列為等比數(shù)列.【解析】：由Snan2得： an1 an1 （ n2 ）Sn 1an2( n12)211 1 (1)531 an 為等比數(shù)列，且a11 ， q2， S51.216129.過 y24x 的焦點 F 并垂直于 x 軸的直線分別與y24x 交于 A、B ，A 在 B 上方， M 為拋物線上一點， OMOA2 OB，則_.【思路分析】根據(jù)等式建立坐標方程求解【解析】：依題意求得：A(1,2)， B(1,2)，設(shè) M坐標

11、 M ( x, y)有： (x, y)(1,2)(2) (1,2)( 22,4) ，代入 y24x 有： 16 4 (22)即：3 .【歸納與總結(jié)】 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題10 某三位數(shù)密碼鎖， 每位數(shù)字在 09 數(shù)字中選取， 其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是 _.【思路分析】分別計算出總的排列數(shù)和恰有兩位數(shù)字相同的種類求解.【解析】：法一： PC101C32 C9127 （分子含義：選相同數(shù)字選位置選第三個數(shù)字）103100C1P327法二：P 11010（分子含義：三位數(shù)字都相同+ 三位數(shù)字都不同）103100【歸納與總結(jié)】本題考查古典概型的求解，

12、是中檔題11. 已知數(shù)列an 滿足 anan 1 （ nx 2y2N ）， Pn n,an 在雙曲線1 上，則62lim Pn Pn 1_.n【思路分析】利用點在曲線上得到Pn Pn 1 關(guān)于 n的表達式，再求極限 .【解析】：法一：由n2an22(n 21) ， Pn(n, 2(n 281得： an61)，26Pn 1( n 1, 2( ( n 1)21) ) ，利用兩點間距離公式求解極限。limP P236nn n 13法二（極限法）：當n時， Pn Pn 1 與漸近線平行，Pn Pn 1 在 x 軸投影為1 ，漸近線傾斜3Pn Pn 1123角 滿足： tan3 .3，所以cos6【歸納

13、與總結(jié)】本題考查數(shù)列極限的求解，是中檔題2a x 1,a0，若 aa0 ， fx與 x 軸交點為 A ， fx 為曲線12. 已知 f x1xL ，在 L 上任意一點P ，總存在一點Q（P異于 A）使得 APAQ且 APAQ ，則a0 _.【思路分析】【解析】：【歸納與總結(jié)】二. 選擇題 （本大題共4 題，每題5 分，共20 分）13. 已知直線方程 2xy c 0 的一個方向向量d 可以是（）B. (2, 1)B. ( 2,1)C.(1,2)D.(1,2)【思路分析】根據(jù)直線的斜率求解.【解析】：依題意： ( 2, 1) 為直線的一個法向量，方向向量為 (1,2) ，選 D.【歸納與總結(jié)】本

14、題考查直線方向向量的概念，是基礎(chǔ)題一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1 和 2 ，將該三角形分別繞其兩個直角邊旋轉(zhuǎn)得到的兩個圓錐的體積之比為（）B. 1B. 2C.4D.8【思路分析】根據(jù)直線的斜率求解.【解析】：依題意： V112214， V211222，選 B.333315. 已知R ，函數(shù) fxx62sinx，存在常數(shù) aR ，使得 fxa 為偶函數(shù)，則 可能的值為（）B.B.C.4D.523【思路分析】根據(jù)選擇項代入檢驗或者根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解.【解析】：法一（推薦）：依次代入選項的值，檢驗f xa的奇偶性，選C；法二： f(xa)(x a6)2sin(xa ，若 f ( xa) 為偶函數(shù)

15、， 則a6，且 sin w( x 6)也為偶函數(shù)（偶函數(shù)偶函數(shù)= 偶函數(shù)），6k，當 k 1時，選 C.2416. 已知 tantantan() .存在在第一象限，角在第三象限；存在在第二象限，角在第四象限；B. 均正確；B.均錯誤；C.對，錯；D.錯，對；【思路分析】根據(jù)選擇項代入檢驗或者根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解.【解析】：法一：（推薦）取特殊值檢驗法：例如：令1和 tan1看tan，求 tan33是否存在 .(考試中，若有解時則認為存在，取多組解時發(fā)現(xiàn)沒有解，則可認為不存在)，選D.法二：解： tantantantan1 tantan設(shè) tanx,tany，則原式可化為xyxy ，整理得 x2 y

16、2y 1xx0 ，1xy以 y 為主元，則要使方程有解，需使1x234x3x22 x10 有解，4x令 fx4 x3x22x1，則 fx12 x22 x 2 0恒成立函數(shù) fx4x3x22x1在 R上單調(diào)遞減，又f 010, f140存在 x00,1使 fx00，當 xx0 時f x0設(shè)方程 x2 y2y 1 xx0 的兩根分別為y1 , y2 ，當x0時， y1y2x 10, y1 y210 ，故必有一負根，對；x2x當 0 xx0 時， y1y2x10, y1 y210 ，故兩根均為負根，錯；選D.x2x三. 解答題（本大題共5 題，共 76分）17.（本題滿分14 分）如圖，在長方體 A

17、BCDA1B1C1D1 中， M 為BB1 上一點，已知BM2， AD4， CD3， AA15 .1 ）求直線 A1C 與平面 ABCD 的夾角；2 ）求點 A 到平面 A1 MC 的距離 .【思路分析】根據(jù)幾何圖形作出線面角度求解；建立坐標系計算平面的法向量求解.【解析】：（ 1）依題意： A1 A面ABCD ，連接 AC，則 A1C 與平面 ABCD 所成夾角為A1CA ； A1A5 ，AC32425 ， A1CA 為等腰直角，A1CA4； 直線A1C與平面ABCD 的夾角為4.（2 ）法一（空間向量）：如圖建立坐標系：則： A(0,0,0) ， C(3,4,0) ， A1(0,0,5)

18、， M (3,0,2)AC(3,4,0) ， A1C(3,4, 5) ， MC(0,4, 2)求平面 A1 MC 的法向量 n(x, y, z) ：n A1C3x4y5z0(2,1,2)n MC4 y2z0，得： nA 到平面 A1MC 的距離為： dACn324110n2212223法二（等體積法）：利用VAA1MCVC A1 AM 求解，求 S A1MC 時，需要求出三邊長（不是特殊S1三角形），利用ab sinC 求解 .2【歸納與總結(jié)】 本題考查點到平面的距離的求法，考查異面直線所成角的正切值的求法，考查空間中線線、 線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思

19、想，是基礎(chǔ)題18. （本題滿分14分）已知 fxax1(aR) .x1（1 ）當 a1時，求不等式fx1fx1的解集；（2 ）若 x1,2時， fx有零點，求 a 的X圍 .【思路分析】將不等式具體化，直接解不等式；分離參數(shù)得到新函數(shù)，研究新函數(shù)的最值與值域 .【解析】：（ 1）當 a1 時， f (x)x1；x1代入原不等式：x11x 11；即：11x1x1x 22x移項通分：10 ，得：2x1；( x1)( x2)（2 ）依題意：f (x)ax10 在 x1,2 上有解x111參編分離： a，即求 g( x)在 x1,2 值域，x( x1)x(x1)x( x 1) 在 x1,2 單調(diào)遞增，

20、 x( x1) 2,6 ；11 ,1 ，故： a11 .6,x( x 1)622【歸納與總結(jié)】 本題考查了分式不等式的解法、分式函數(shù)最值與值域的求解， 也考查了轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用19. （本題滿分14分）如圖， ABC 為海岸線，AB 為線段， BC 為四分之一圓弧，BD 39.2km，BDC22，CBD68 ，BDA 58 .（1 ）求 BC 長度；（2 ）若 AB40km，求 D 到海岸線 ABC 的最短距離 .（精確到 0.001km）【思路分析】根據(jù)弧長公式求解；利用正弦定理解三角形.【解析】：（ 1）依題意： BCBDsin 22 ，弧 BC 所在圓的半徑 RBC sin4弧 BC

21、 長度為： RBC22sin 22 16.310 km23.141 39.2224（2 ）根據(jù)正弦定理：BDAB，求得： sin A39.20.831， A 56.2sin Asin 58sin 5840ABD 180 56.2 58 65.8DHBDsinABD35.752 kmCD= 36.346 kmD 到海岸線最短距離為 35.752km.【歸納與總結(jié)】 本題考查了圓弧弧長求法、 正弦定理在解三角形中的應(yīng)用， 考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（本題滿分 16 分）x2y 2已知橢圓1， F1 , F2 為左、右焦點，直線 l 過 F2 交橢圓于 A、B 兩點 .84（1）若 AB 垂直于 x

22、軸時，求 AB ；（2）當 F1 AB90 時， A 在 x 軸上方時，求A, B 的坐標；（3）若直線 AF1 交 y 軸于 M ，直線 BF1 交 y 軸于 N ，是否存在直線 l ，使 S F1ABS F1MN ，若存在，求出直線l 的方程；若不存在，請說明理由.【思路分析】直接求出A,B坐標；利用三角形面積公式和點在曲線上建立方程；.根據(jù)面積關(guān)系S F1ABS F1MN轉(zhuǎn)化出關(guān)于點的坐標關(guān)系，再求解出關(guān)于點直線斜率的方程.【解析】：（ 1）依題意：F2(2,0)，當ABx 軸，則坐標A(2,2)，B(2,2)，AB 22（2 ）法一（秒殺）：焦點三角形面積公式：SF1AF2b2tan4

23、tan44 ；12又： F1F22c4，SFAF2c y A2y A4 ，即 y A2221所以 A 在短軸端點，即A(0,2)yx22直線 l AF （即 l AB ）方程為： yx 2 ，聯(lián)立：x2y28，得 B(,) .84133法二（常規(guī)）：依題意：設(shè)坐標A( x1 , y1 ) ，F(xiàn)1 AF2（注意：用點F2 更方便計算）2則有： AFAF( x12, y ) ( x2, y )x 24y21211111又 A 在橢圓上，滿足：x 2y 21 ，即： y24(1x2111)8418 AF1 AF2x1244(1x12)0 ，解出： x10， A(0,2)8B 點坐標求解方法同法一，B

24、(8,2 ) .33（3 ）設(shè)坐標 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， M (0, y3 ) ， N (0, y4 ) ，直線 l： xmy2 （k 不存在時不滿足題意）1則： SF ABF1F2y1y22 y1y2 ；12SF MN1F Oy3y4y3y4；211xmy2y1 y24m22m22聯(lián)立方程：x2y22) y4my40 ，韋達定理：， (m4841y1 y2m22由直線 AF方程： yy1( x2)得M 縱坐標：y2y1 ；1x123x12由直線 BF1 方程： yy2( x2)得 N 縱坐標： y42 y2；x2x222若 SF1ABS F1MN ，即

25、2 y1y2y3y4y3 y42 y12 y22 y12 y28( y1y2 )y2x1 2x22my14my2 4(my12 y14)(my2 4) (my14)( my24)4， m2 y1 y24m( y1y2 )164 ，代入韋達定理：4m24m164 ，解出： m3得：4mm22m22 存在直線 x3y20 或 x3y2 0滿足題意 .【歸納與總結(jié)】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于中檔題21. （本題滿分18 分）數(shù)列 an有 100 項， a1a ，對任意 n2,100 ，存在 an ai d ,i1, n 1 ，若 ak與前 n 項中某一項相等，則稱ak 具有性質(zhì) P .1 ）若 a1 1，求 a4 可能的值；2 ）若 an 不為等差數(shù)列，求證：an 中存在滿足性質(zhì) P ；（3 ）若 an 中恰有三項具有性質(zhì) P ，這三項和為 C ，使用 a, d, c 表示 a1 a2a100 .【思路分析】根據(jù)定義式子代入即可求解a4 ；通過證明逆否命題證明；去掉具有P 性質(zhì)三項，求和【解析】：（ 1） a4 可能的值為 3,5,7 ；（