高中數(shù)學(xué)直線和圓地方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、專業(yè)整理高中數(shù)學(xué)之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向；平行：=0；X圍：0180。2、斜率：找k：k=tan（90）；垂直：斜率k不存在；X圍：斜率kR。y1y2y2y13、斜率與坐標(biāo)：ktanx1x2x2x1構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）；斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無關(guān)；注意下標(biāo)的位置對(duì)應(yīng)。4、直線與直線的位置關(guān)系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）特例-垂直時(shí)：l1x軸，即k1不存在，則k20；斜率都存在時(shí)：k1k21。平行：斜率都存在時(shí)：k1k2,b1b2；斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。重合：斜率都存在時(shí)：k1k2

2、,b1b2；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程：點(diǎn)斜式：斜截式：yy0k(xx0)將已知點(diǎn)(x0,y0)與斜率k直接帶入即可；ykxb將已知截距(0,b)與斜率k直接帶入即可；兩點(diǎn)式：yy1xx1，(其中x1x2,y1y2)將已知兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)直接y2y1x2x1帶入即可；截距式：一般式：xy1將已知截距坐標(biāo)(a,0),(0,b)直接帶入即可；abAxByC0，其中A、B不同時(shí)為0用得比較多的是點(diǎn)斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可WORD格式專業(yè)整理3、距離公式：兩點(diǎn)間距離：P1P2(x1x2)2(y1y2)2點(diǎn)到直線距離：d

3、Ax0By0CA2B2C1C2平行直線間距離：dA2B24、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)AB中點(diǎn)(x0,y0)：(x1x2,y1y2)22AB三分點(diǎn)(s1,t1),(s2,t2)：(2x1x2,2y1y2)靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo)33(x12x2,y12y2)靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo)33中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對(duì)稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見于大題難題。直線的對(duì)稱性問題已知點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱:設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P（x0，y0）,對(duì)稱后的點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點(diǎn)坐標(biāo)在已知直線上。三、解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：1、

4、解析法（坐標(biāo)法）：建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點(diǎn)在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果；將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。y2、動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問題”：PAPB的最小值：找對(duì)稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示：PAPB的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”；ox2PAPB的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”。3、直線必過點(diǎn)：含有一個(gè)參數(shù)-y=(a-1)x+2a+1=y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0=必過點(diǎn)(-2,3)含有兩個(gè)參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=m(3x+y)+n(2y-x

5、-1)=0令：3x+y=0、2y-x-1=0聯(lián)立方程組求解=必過點(diǎn)(-1/7,3/7)4、易錯(cuò)辨析：討論斜率的存在性：解題過程中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時(shí)，是否滿足題意；斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解；（求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見。）WORD格式專業(yè)整理直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況：直線與兩定點(diǎn)所在直線平行；直線過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。圓的方程定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)以定長(zhǎng)繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)稱為圓的圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑.圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程x2y2DxEyF0其中圓心CD,E，22半徑r

6、D2E24F.當(dāng)D2E224F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)D,E.22當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程無圖形.第二種：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2.其中點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：xarcos（為參數(shù)）ybrsin注：圓的直徑方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)03.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.M在圓C內(nèi)(x0a)M在圓C上（x0a)M在圓C外(x0a)2(y0b)(y0b)2(y0b)r2r2r2直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓C：(xa)

7、2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離AaBbCdA2B2.dr時(shí)，l與C相切；dr時(shí)，l與C相交；，dr時(shí)，l與C相離.5、圓的切線方程：一般方程若點(diǎn)00 x0a)+(yb)(y02特別地，(x,y)在圓上，則(xa)(b)=R.過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0 xy0yr2.(注:該點(diǎn)在圓上，則切線方程只有一條)WORD格式專業(yè)整理y1y0k(x1x0)若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則by1k(ax1)，聯(lián)立求出k切線方程.（注：RR21過圓外的點(diǎn)引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個(gè)解，那么另外一條

8、切線必定是垂直于軸的直線。）圓系方程：過兩圓的交點(diǎn)的圓方程：假設(shè)兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0222222則過兩圓的交點(diǎn)圓方程可設(shè)為：22111C:x+y+Dx+Ey+F=0 x+y+Dx+Ey+F+x2+y2+D2x+E2y+F2）=0過兩圓的交點(diǎn)的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關(guān)的計(jì)算：弦長(zhǎng)的計(jì)算：AB=2*R2-d2其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（1+k2）*X1-X2其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個(gè)根過圓內(nèi)的一點(diǎn)的最

9、短弦長(zhǎng)是垂直于過圓心的直線圓內(nèi)的最長(zhǎng)弦是直徑8.圓的一些最值問題圓上的點(diǎn)到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點(diǎn)到直線的最長(zhǎng)距離=圓心到直線的距離加上半徑假設(shè)P（x，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（x-a）/（y-b）的最值可以轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與該點(diǎn)（a，b）的斜率問題，即先求過該定點(diǎn)的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設(shè)（Px，y）是在某個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，則求x+y或x-y的最值可以轉(zhuǎn)化為：設(shè)T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(diǎn)(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。圓的對(duì)稱問題已知圓關(guān)于已知的直線對(duì)稱，則對(duì)稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直

10、線對(duì)稱后得到的圓心坐標(biāo)即可。若某條直線無論其如何移動(dòng)都能平分一個(gè)圓，則這個(gè)直線必過某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)圓錐曲線橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的集合1、定義：PF1PF22a(2aF1F2)PFc第二定義：e(0e1)da2、標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y21(ab0)或y2x21(ab0)；a2b2a2b2WORD格式專業(yè)整理xacos3、參數(shù)方程（為參數(shù)）幾何意義：離心角ybsin4、幾何性質(zhì)：（只給出焦點(diǎn)在x軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)）、頂點(diǎn)(a,0),(0,b)、焦點(diǎn)(c,0)、離心率ec(0e1)a準(zhǔn)線：xa2（課改后對(duì)準(zhǔn)線不再要求，但題目中偶爾給出）c5

11、、焦點(diǎn)三角形面積：SPF1F2b2tan（設(shè)F1PF2）(推導(dǎo)過程必須會(huì))26、橢圓面積：S橢ab（了解即可）7、直線與橢圓位置關(guān)系：相離（0）；相交（0）；相切（0）判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判斷根的個(gè)數(shù)8、橢圓切線的求法1）切點(diǎn)（x0y0）已知時(shí)，x2y21(ab0)切線x0 xy0y1a2b2a2b2y2x21(ab0)切線y0yx0 x1a2b2a2b22）切線斜率k已知時(shí)，x2y21(ab0)切線222a2b2ykxakby2x21(ab0)切線ykxb2k2a2a2b29、焦半徑：橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離x2y21(ab0)raex0（左加右減）a2b2y2a21(a

12、b0)raey0（下加上減）a2b2雙曲線1、定義：PF1PF22aPFc第二定義：e(e1)daWORD格式專業(yè)整理2、標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y21(a0,b0)（焦點(diǎn)在x軸）a2b2y2x21(a0,b0)（焦點(diǎn)在y軸）a2b2xasec（為參數(shù)）用法：可設(shè)曲線上任一點(diǎn)P(asec,btan)參數(shù)方程：btany3、幾何性質(zhì)頂點(diǎn)(a,0)焦點(diǎn)(c,0)c2a2b2ce1離心率ea準(zhǔn)線xa2c漸近線x2y21(a0,b0)bx2y20a2b2yx或b2aa2y2x21(a0,b0)by2x20a2b2yx或b2aa24、特殊雙曲線、等軸雙曲線x2y21e2漸近線yxa2a2、雙曲線x2y21的共軛雙

13、曲線x2y21a2b2a2b2性質(zhì)1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線性質(zhì)2：雙曲線與其共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系相離（0）；相切（0）；相交（0）判定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)系一起0時(shí)可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式x2y21(a0,b0)點(diǎn)P在右支上rex0a（左加右減）a2b2點(diǎn)P在左支上r(ex0a)（左加右減）WORD格式專業(yè)整理y2x21(a0,b0)點(diǎn)P在上支上a2b2點(diǎn)P在上支上rey0a（下加上減）r(ey0a)（下加上減）7、雙曲線切線的求法切點(diǎn)Px2y21(a0,b0)切線x0 xy0y1(x0,y0)已知b2a2b2a2y2x

14、21(a0,b0)切線y0yx0 x1a2b2a2b2切線斜率x2y21ykxa2k2b2(kbK已知2b2)aay2x21ykxa2b2k2(kb)a2b2a8、焦點(diǎn)三角形面積：SPF1F2b2cot（為F1PF2）2拋物線1、定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)和一定直線的距離相等的點(diǎn)的集合（軌跡）2、幾何性質(zhì)：P幾何意義：焦準(zhǔn)距焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離設(shè)為P標(biāo)準(zhǔn)方程：y22px(p0)y22px(p0)圖像：X圍：x0 x0對(duì)稱軸：x軸x軸頂點(diǎn)：（0，0）（0，0）焦點(diǎn)：（p,0）（p,0）22離心率：e1e1準(zhǔn)線：xpxp22標(biāo)準(zhǔn)方程：x22py(p0)x22py(p0)圖像：X圍：y0y0對(duì)稱軸：y軸y軸W

15、ORD格式專業(yè)整理定點(diǎn)：（0，0）（0，0）焦點(diǎn)：（0，p）(0,p)22離心率：e1e1準(zhǔn)線：ypyp22x2pt2y22px(p0)3、參數(shù)方程2pt（t為參數(shù)方程）y4、通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦橢圓：雙曲線通徑長(zhǎng)2b2拋物線通徑長(zhǎng)2Pa5、直線與拋物線的位置關(guān)系1）相交（有兩個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)）2）相切（有一個(gè)交點(diǎn)）；3）相離（沒有交點(diǎn)）6、拋物線切線的求法1）切點(diǎn)P(x0,y0)已知：y22px(p0)的切線；y0yp(xx0)2）切線斜率K已知：y22px(p0):ykxp2ky22px(p0):ykxp2kx22py(p0):ykxpk2222py(p0):ykxpk2x2此類

16、公式填空選擇或解答題中（部分）可作公式直接應(yīng)用附加：弦長(zhǎng)公式：ykxb與曲線交與兩點(diǎn)A、B則21dABx2x11ky2y11k2解題指導(dǎo)：軌跡問題：(一)求軌跡的步驟1、建模：設(shè)點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)p（x，y）2、立式：寫出適條件的p點(diǎn)的集合3、代換：用坐標(biāo)表示集合列出方程式f（x，y）=04、化簡(jiǎn)：化成簡(jiǎn)單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線上（二）求軌跡的方法WORD格式專業(yè)整理1、直接法：求誰設(shè)誰，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一曲線上的動(dòng)點(diǎn)變化問題4、交軌法

17、：適用于求兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡問題。用一個(gè)變量分別表示兩條動(dòng)直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個(gè)變量分別表示所求軌跡上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長(zhǎng)問題：|AB|=(1k2)(x1x2)24x1x2。弦的中點(diǎn)問題：中點(diǎn)坐標(biāo)公式-注意應(yīng)用判別式。.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。1（1994年全國(guó)）已知直線L過原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上。若點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，8）關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法

18、。設(shè)出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).設(shè)A、B關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)分別為A/、B/，則利用對(duì)稱性可求得它們的坐標(biāo)分別為：/（k212k/（16k8(k21)）。因?yàn)?均在拋物線上，代入，消去p，Ak2,k2），Bk2,1A、B111k2得：k2-k-1=0.解得：k=15,p=25.25所以直線L的方程為：y=125x,拋物線C的方程為y2=45x.52曲線的形狀未知-求軌跡方程3（1994年全國(guó)）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1,動(dòng)M點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)（0）,N求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設(shè)MN切圓C于

19、點(diǎn)N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的OQWORD格式專業(yè)整理集合是：2222P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識(shí)可知：|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入，22222可得：(-1)(x+y)-4x+(1+4)=0.當(dāng)=1時(shí)它表示一條直線；當(dāng)1時(shí)，它表示圓。這種方法叫做直接法。.研究圓錐曲線有關(guān)的問題B1有關(guān)最值問題例6(1990年全國(guó))C設(shè)橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x上，離心率，OAx已知點(diǎn)P（0，3）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，2求這個(gè)橢圓方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：最值問題，函數(shù)思想。關(guān)鍵是將點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識(shí)求其最大值。設(shè)橢圓方程為x2y21，則由e=3a2b22得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設(shè)Q(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn)，則:|PQ|=x2(y3)2=4b24y2(y3)23